Jump to content

Полная группа

В математике группа если G называется полной, каждый автоморфизм группы G является внутренним и бесцентровым; то есть он имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов и тривиальный центр .

Эквивалентно, группа является полной сопряжения , если отображение G → Aut( G ) (отправляющее элемент g к сопряжению с помощью g ) является изоморфизмом : инъективность подразумевает , что только сопряжение единичным элементом является тождественным автоморфизмом, что означает, что группа бесцентрен, а сюръективность подразумевает, что он не имеет внешних автоморфизмов.

Например, все симметрические группы S n полны , за исключением случаев, когда n ∈ {2, 6 }. Для случая n = 2 группа имеет нетривиальный центр, а для случая n = 6 существует внешний автоморфизм .

Группа автоморфизмов простой группы почти простая группа ; для неабелевой простой группы G группа автоморфизмов группы G полна.

Характеристики

[ редактировать ]

Полная группа всегда изоморфна своей группе автоморфизмов (посредством отправки элемента на сопряжение этим элементом), хотя обратное не обязательно верно: например, группа диэдра из 8 элементов изоморфна своей группе автоморфизмов, но она не является полной. . Более подробную информацию см. ( Robinson 1996 , раздел 13.5).

Расширения полных групп

[ редактировать ]

Предположим, что группа G является расширением группы, заданным как короткая точная последовательность групп.

1 ⟶ Н Г Г ′ ⟶ 1

с ядром N фактором и G . Если ядро ​​N является полной группой, то расширение расщепляется: G изоморфно произведению прямому N × G . Доказательство с использованием гомоморфизмов точных последовательностей может быть дано естественным образом: действие G (путем сопряжения ) на нормальную подгруппу N и приводит к гомоморфизму группы φ : G → Aut( N ) ≅ N . Поскольку Out( N ) = 1 и N имеет тривиальный центр, гомоморфизм φ сюръективен и имеет очевидное сечение, заданное включением N в G . Ядро φ является централизатором CG , ( N ) группы N в G , поэтому G является по крайней мере произведением CG ( N полупрямым ) N но действие N на CG ( , N ) тривиально, и поэтому произведение является прямым.

Это можно переформулировать с точки зрения элементов и внутренних условий: если N — нормальная полная подгруппа группы G , то G = C G ( N ) × N — прямое произведение. Доказательство следует непосредственно из определения: N бесцентрово, поэтому C G ( N ) ∩ N тривиально. Если g является элементом G , то он индуцирует автоморфизм N путем сопряжения, но N = Aut( N ) , и это сопряжение должно быть равно сопряжению некоторым элементом n из N . Тогда сопряжение с помощью gn −1 является тождеством на N и, следовательно, gn −1 находится в C G ( N ), и каждый элемент g из G является произведением ( gn −1 ) п в C G ( N ) N .

  • Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94461-6
  • Ротман, Джозеф Дж. (1994), Введение в теорию групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94285-8 (глава 7, в частности теоремы 7.15 и 7.17).
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bf556beab5308eef04c536f0b89b31ea__1654458780
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bf/ea/bf556beab5308eef04c536f0b89b31ea.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Complete group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)