Полная группа
В математике группа если G называется полной, каждый автоморфизм группы G является внутренним и бесцентровым; то есть он имеет тривиальную внешнюю группу автоморфизмов и тривиальный центр .
Эквивалентно, группа является полной сопряжения , если отображение G → Aut( G ) (отправляющее элемент g к сопряжению с помощью g ) является изоморфизмом : инъективность подразумевает , что только сопряжение единичным элементом является тождественным автоморфизмом, что означает, что группа бесцентрен, а сюръективность подразумевает, что он не имеет внешних автоморфизмов.
Примеры
[ редактировать ]Например, все симметрические группы S n полны , за исключением случаев, когда n ∈ {2, 6 }. Для случая n = 2 группа имеет нетривиальный центр, а для случая n = 6 существует внешний автоморфизм .
Группа автоморфизмов простой группы — почти простая группа ; для неабелевой простой группы G группа автоморфизмов группы G полна.
Характеристики
[ редактировать ]Полная группа всегда изоморфна своей группе автоморфизмов (посредством отправки элемента на сопряжение этим элементом), хотя обратное не обязательно верно: например, группа диэдра из 8 элементов изоморфна своей группе автоморфизмов, но она не является полной. . Более подробную информацию см. ( Robinson 1996 , раздел 13.5).
Расширения полных групп
[ редактировать ]Предположим, что группа G является расширением группы, заданным как короткая точная последовательность групп.
- 1 ⟶ Н ⟶ Г ⟶ Г ′ ⟶ 1
с ядром N фактором и G ′ . Если ядро N является полной группой, то расширение расщепляется: G изоморфно произведению прямому N × G ′ . Доказательство с использованием гомоморфизмов точных последовательностей может быть дано естественным образом: действие G (путем сопряжения ) на нормальную подгруппу N и приводит к гомоморфизму группы φ : G → Aut( N ) ≅ N . Поскольку Out( N ) = 1 и N имеет тривиальный центр, гомоморфизм φ сюръективен и имеет очевидное сечение, заданное включением N в G . Ядро φ является централизатором CG , ( N ) группы N в G , поэтому G является по крайней мере произведением CG ( N полупрямым ) ⋊ N но действие N на CG ( , N ) тривиально, и поэтому произведение является прямым.
Это можно переформулировать с точки зрения элементов и внутренних условий: если N — нормальная полная подгруппа группы G , то G = C G ( N ) × N — прямое произведение. Доказательство следует непосредственно из определения: N бесцентрово, поэтому C G ( N ) ∩ N тривиально. Если g является элементом G , то он индуцирует автоморфизм N путем сопряжения, но N = Aut( N ) , и это сопряжение должно быть равно сопряжению некоторым элементом n из N . Тогда сопряжение с помощью gn −1 является тождеством на N и, следовательно, gn −1 находится в C G ( N ), и каждый элемент g из G является произведением ( gn −1 ) п в C G ( N ) N .
Ссылки
[ редактировать ]- Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
- Ротман, Джозеф Дж. (1994), Введение в теорию групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (глава 7, в частности теоремы 7.15 и 7.17).