Проективная линия

В математике — проективная линия это, грубо говоря, продолжение обычной прямой точкой, называемой точкой , находящейся на бесконечности . Формулировка и доказательство многих теорем геометрии упрощаются за счет исключения частных случаев; например, две различные проективные прямые на проективной плоскости встречаются ровно в одной точке (случай «параллельности» отсутствует).

Существует множество эквивалентных способов формального определения проективной прямой; один из наиболее распространенных — определение проективной прямой над полем K , обычно обозначаемой P ¹ ( K ), как множество одномерных подпространств двумерного K - векторного пространства . Это определение является частным случаем общего определения проективного пространства .

Проективная линия над вещественными числами представляет собой многообразие ; см . в разделе «Реальная проективная линия» подробности .

Однородные координаты

Произвольная точка проективной прямой P ¹ ( K ) может быть представлена ​​классом эквивалентности однородных координат , которые принимают вид пары

$[x_{1}:x_{2}]$

элементов K , которые оба не равны нулю. Две такие пары эквивалентны , если они отличаются общим ненулевым коэффициентом λ :

$[x_{1}:x_{2}]\sim [\lambda x_{1}:\lambda x_{2}].$

Линия, продленная до бесконечности

Проективную линию можно отождествить с линией К, продолженной бесконечно удаленной точкой . Точнее,линия K может быть отождествлена ​​с подмножеством P ¹ ( K ) определяется выражением

$\left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}.$

Это подмножество охватывает все точки в P ¹ ( K ), кроме одной, которая называется точкой на бесконечности :

$\infty =[1:0].$

Это позволяет расширить арифметику над K до P ¹ ( K ) по формулам

${\frac {1}{0}}=\infty ,\qquad {\frac {1}{\infty }}=0,$

$x\cdot \infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =0$

$x+\infty =\infty \quad {\text{if}}\quad x\not =\infty$

Перевод этой арифметики в термины однородных координат дает, когда [0 : 0] не встречается:

$[x_{1}:x_{2}]+[y_{1}:y_{2}]=[(x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}):x_{2}y_{2}],$

$[x_{1}:x_{2}]\cdot [y_{1}:y_{2}]=[x_{1}y_{1}:x_{2}y_{2}],$

$[x_{1}:x_{2}]^{-1}=[x_{2}:x_{1}].$

Примеры

Реальная проективная линия

Основная статья: Настоящая проективная линия

Проективная линия над действительными числами называется действительной проективной прямой . Ее также можно рассматривать как линию K вместе с идеализированной точкой на бесконечности ∞; точка соединяется с обоими концами K, создавая замкнутый контур или топологический круг.

Пример получается путем проектирования точек в R ² на единичную окружность и затем идентифицируя диаметрально противоположные точки. С точки зрения теории групп мы можем факторизовать по подгруппе {1, −1} .

Сравните расширенную линию действительных чисел , которая различает ∞ и −∞.

: сфера

Добавление точки, находящейся на бесконечности, к комплексной плоскости приводит к образованию пространства, которое топологически является сферой . Следовательно, комплексная проективная линия также известна как сфера Римана (или иногда сфера Гаусса ). Он постоянно используется в комплексном анализе , алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий как простейший пример компактной римановой поверхности .

Для конечного поля

Проективная прямая над конечным полем F _q из q элементов имеет q + 1 точку. Во всем остальном она ничем не отличается от проективных линий, определенных над другими типами полей. В терминах однородных координат [ x : y ] этих q точек имеют вид:

[ a : 1] для каждого a в F _q ,

а оставшаяся точка на бесконечности может быть представлена ​​как [1:0] .

Группа симметрии

В общем случае группа гомографий с коэффициентами из K действует на проективной прямой P ¹ ( К ). Это групповое действие транзитивно , так что P ¹ ( K ) — однородное пространство для группы, часто записываемое PGL ₂ ( K ), чтобы подчеркнуть проективную природу этих преобразований. Транзитивность что существует гомография, которая преобразует любую точку Q в любую другую точку R. говорит , точка Бесконечная на P ¹ ( K ) поэтому является артефактом выбора координат: однородные координаты

$[X:Y]\sim [\lambda X:\lambda Y]$

выразить одномерное подпространство через одну лежащую в нем ненулевую точку ( X , Y ) , но симметрии проективной прямой могут переместить точку ∞ = [1 : 0] в любую другую, и это никоим образом не выдающийся.

Верно гораздо больше: некоторое преобразование может перевести любые отдельные точки Q _i для i = 1, 2, 3 в любую другую тройку R _i различных точек ( тройная транзитивность ). Этот объем спецификации «использует» три измерения PGL ₂ ( K ); другими словами, действие группы резко 3-транзитивно . Вычислительным аспектом этого является перекрестное отношение . Действительно, верно обобщенное обратное: точно 3-транзитивное групповое действие всегда (изоморфно) обобщенной форме действия PGL ₂ ( K ) на проективной прямой, заменяющей «поле» на «КТ-поле» (обобщающее обратное к более слабому виду инволюции) и «PGL» посредством соответствующего обобщения проективных линейных отображений.

Как

Проективная линия является фундаментальным примером алгебраической кривой . С точки зрения алгебраической геометрии P ¹ ( K ) — неособая кривая рода 0. Если K , алгебраически замкнута то это единственная такая кривая над K с точностью до рациональной эквивалентности . В общем случае (неособая) кривая рода 0 рационально эквивалентна над K конике C C , которая сама по себе бирационально эквивалентна проективной прямой тогда и только тогда, когда над имеет точку, определенную K ; геометрически такую ​​точку P можно использовать в качестве начала координат, чтобы явно указать бирациональную эквивалентность.

Функциональное поле проективной прямой — это поле K ( T ) рациональных функций над K , в одном T. неопределенном Полевые автоморфизмы K ( ( T ) над K это в точности группа PGL ₂ — K ), обсуждавшаяся выше.

Любое функциональное поле K ( V ) алгебраического многообразия V над K , кроме одной точки, имеет подполе, изоморфное K ( T ). С точки зрения бирациональной геометрии это означает, что будет существовать рациональное отображение из V в P ¹ ( K ), который не является постоянным. В изображении будет пропущено только конечное число точек P ¹ ( K ), а прообраз типичной точки P будет иметь размерность dim V − 1 . Это начало методов алгебраической геометрии, индуктивных по размерности. Рациональные отображения играют роль, аналогичную мероморфным функциям комплексного анализа , и действительно, в случае компактных римановых поверхностей эти два понятия совпадают.

Если теперь V принять размерностью 1, мы получим картину типичной алгебраической кривой C, представленной «над» P. ¹ ( К ). Предполагая, что C не является особенным (что не является потерей общности, начиная с K ( C )), можно показать, что такое рациональное отображение из C в P ¹ ( K ) фактически будет определен всюду. (Это не тот случай, если есть сингулярности, поскольку, например, двойная точка , где кривая пересекает сама себя, может дать неопределенный результат после рационального отображения.) Это дает картину, в которой основной геометрической особенностью является разветвление .

Многие кривые, например гиперэллиптические кривые , можно представить абстрактно, как разветвленные накрытия проективной прямой. Тогда согласно формуле Римана–Гурвица род зависит только от типа ветвления.

Рациональная кривая — это кривая, бирационально эквивалентная проективной прямой (см. рациональное многообразие ); ее род равен 0. Рациональная нормальная кривая в проективном пространстве P ^н — рациональная кривая, не лежащая ни в одном собственном линейном подпространстве; известно, что имеется только один пример (с точностью до проективной эквивалентности), задано параметрически в однородных координатах как

[1 : т : т ² : ... : т ^н ].

См. разделе «Витой кубик» первый интересный случай в .

См. также

• Алгебраическая кривая
• Перекрестное соотношение
• Преобразование Мёбиуса
• Проективная линия над кольцом
• Проективно расширенная действительная линия
• Проективный диапазон
• Теория колеса