Равенство (математика)

В математике , утверждающее , равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем смысле, двумя математическими выражениями что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между A и B записывается A = B и произносится как « A равно B ». Символ « = » называется знаком «равно ». Два объекта, которые не равны, называются различными .

Например:

• $x=y$ означает, что x и y обозначают один и тот же объект.
• Личность ​ $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ означает, что если x — любое число, то оба выражения имеют одно и то же значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию .
• $\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ тогда и только тогда, когда $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ Это утверждение, в котором используется нотация set-builder , означает, что если элементы, удовлетворяющие свойству $P(x)$ такие же, как элементы, удовлетворяющие $Q(x),$ тогда два использования нотации set-builder определяют один и тот же набор. Это свойство часто выражается как «два множества, состоящие из одинаковых элементов, равны». Это одна из обычных аксиом теории множеств , называемая аксиомой экстенсиональности .

Этимология

Этимология («равный», « уровень слова происходит от латинского aequālis («равный», «подобный», «сопоставимый», «похожий») от aequus », «справедливый», «справедливый»).

Основные свойства

• Свойство подстановки : для любых величин a и b и любого выражения F ( x ), если a = b , то F ( a ) = F ( b ) (при условии, что обе части правильно сформированы ).

  Вот некоторые конкретные примеры:

  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a + c = b + c (здесь F ( x ) равно x + c );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то a - c = b - c (здесь F ( x ) равно x - c );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b , то ac = bc (здесь F ( x ) равно xc );
  • Для любых действительных чисел a , b и c , если a = b и c не равно нулю , то a / c = b / c (здесь F ( x ) равно x / c ).
• Рефлексивное свойство Для любой величины a a a = . :
• Свойство симметрии : для любых величин a и b , если a = b , то b = a .
• Транзитивное свойство : для любых величин a , b и c , если a = b и b = c , то a = c .

Эти последние три свойства делают равенство отношением эквивалентности . Первоначально они были включены в аксиомы Пеано для натуральных чисел. Хотя симметричные и транзитивные свойства часто рассматриваются как фундаментальные, их можно вывести из свойств замещения и рефлексивности.

Равенство

Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство — это бинарное отношение с двумя аргументами (т. е. предикат ), которое может выдавать значение истинности ( ложь или истина ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление на основе двух выражений называется сравнением .

Личности

Основная статья: Идентичность (математика)

Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A = B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Примером является $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ Иногда, но не всегда, личность пишется с тройной чертой : $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

Уравнения

Уравнение — это задача поиска значений некоторых переменных, называемых неизвестными , для которых заданное равенство верно. Термин «уравнение» может также относиться к отношению равенства, которое удовлетворяется только для значений интересующих переменных. Например, $x^{2}+y^{2}=1$ есть уравнение единичной окружности .

Не существует стандартных обозначений, которые отличали бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать подходящую интерпретацию на основе семантики выражений и контекста. , что тождество Утверждается истинно для всех значений переменных в данной области. «Уравнение» иногда может означать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно.

Примерное равенство

Существуют некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма для решения такого равенства.

Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом $\approx$) между действительными числами или другими вещами, даже если они определены более точно, не является транзитивным (поскольку множество небольших различий могут составить нечто большое). Однако равенство почти везде транзитивно .

Сомнительное проверяемое равенство можно обозначить символом ≟ .

, конгруэнтностью и

Основные статьи: Отношение эквивалентности , Изоморфизм , Отношение конгруэнтности и Конгруэнтность (геометрия)

Рассматриваемое как отношение, равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Обратно, пусть R — отношение эквивалентности и обозначим через x ^Р класс эквивалентности x , состоящий из всех элементов z таких, что x R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x ^Р = и ^Р . Отсюда следует, что равенство — это наилучшее отношение эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , причем последние являются классами эквивалентности дробей: дроби $1/2$ и $2/4$ различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовой прямой). Это различие порождает понятие фактормножества .

Аналогично, множества

$\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}$ и $\{1,2,3\}$

не являются равными множествами (первое состоит из букв, а второе состоит из чисел), но оба они представляют собой множества из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что существует взаимно однозначное соответствие между ними . Например

${\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.$

Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как

${\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,$

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.

В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, эквивалентных лишь по рассматриваемым свойствам и структуре. Слово «конгруэнтность » (и связанный с ним символ $\cong$) часто используется для такого рода равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. в геометрии Например, две геометрические фигуры называются равными или конгруэнтными, если одну можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности представляет собой классы изоморфизма изометрий между формами. Подобно изоморфизмам множеств, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотиваций для развития теории категорий , а также теории гомотопических типов и однолистных оснований .

Логические определения

См. Также: Логика первого порядка § Равенство и его аксиомы и Тождество неразличимых.

Лейбниц охарактеризовал понятие равенства следующим образом:

Учитывая любые x и y , x = y тогда и только тогда, когда , учитывая любой предикат P , P ( x ) тогда и только тогда, когда P ( y ).

Равенство в теории множеств

Основная статья: Аксиома экстенсиональности

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, представляют собой одно и то же множество.

• Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
• Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$
• Аксиома теории множеств: $(\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y$

Как заметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как просто вопрос удобства.

«Причина, по которой мы приступаем к исчислению предикатов первого порядка с равенством, — это вопрос удобства; этим мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; это бремя теперь берет на себя логика».

Установить равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах.

• Определение теории множеств: $(x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
• Аксиома теории множеств: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$

См. также

• Экстенсиональность
• Теория гомотопических типов
• Неравенство
• Список математических символов
• Логическое равенство
• Пропорциональность (математика)

Ссылки

• Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42533-7 .
• Леви, Азриэль (2002) [1979]. Базовая теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42079-0 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
• Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2019 г. , получено 13 декабря 2009 г.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
• Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN  978-0-486-46898-3 .
• Шонфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN  978-1-56881-135-2 .

Внешние ссылки

• «Аксиомы равенства» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]