Расширение за счет новых имен констант и функций.

В математической логике теорию можно расширить с помощью новые константы или имена функций при определенных условиях с уверенностью, что расширение внесет никакого противоречия. Расширение посредством определений , пожалуй, самый известный подход, но он требует уникальное существование объекта с искомым свойством. Также можно добавить новые имена. безопасно без уникальности.

Предположим, что замкнутая формула

$\exists x_{1}\ldots \exists x_{m}\,\varphi (x_{1},\ldots ,x_{m})$

является теоремой теории первого порядка $T$. Позволять $T_{1}$ быть теорией, полученной из $T$ расширяя свой язык новыми константами

$a_{1},\ldots ,a_{m}$

и добавляем новую аксиому

$\varphi (a_{1},\ldots ,a_{m})$.

Затем $T_{1}$ представляет собой консервативное продолжение $T$, а это означает, что теория $T_{1}$ имеет тот же набор теорем на исходном языке (т.е. без констант $a_{i}$) как теория $T$.

Такую теорию также можно консервативно расширить, введя новый функциональный символ :

Предположим, что замкнутая формула $\forall {\vec {x}}\,\exists y\,\!\,\varphi (y,{\vec {x}})$ является теоремой теории первого порядка $T$, где мы обозначим ${\vec {x}}:=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Позволять $T_{1}$ быть теорией, полученной из $T$ расширив свой язык новым функциональным символом $f$ (арности $n$) и добавив новую аксиому $\forall {\vec {x}}\,\varphi (f({\vec {x}}),{\vec {x}})$. Затем $T_{1}$ представляет собой консервативное продолжение $T$, то есть теории $T$ и $T_{1}$ докажите те же теоремы, не используя функциональный символ $f$).

Шенфилд формулирует теорему в виде нового имени функции, а константы такие же, как функции нулевых аргументов. В формальных системах, допускающих упорядоченные кортежи, расширение за счет нескольких констант, как показано здесь. может быть достигнуто путем добавления нового кортежа констант и новых имен констант. имеющие значения элементов кортежа.

См. также

• Консервативное расширение
• Расширение по определению