Класс (теория множеств)

В теории множеств и ее приложениях в математике класс — это совокупность множеств (или иногда других математических объектов), которая может быть однозначно определена свойством, общим для всех его членов. Классы действуют как способ иметь коллекции, подобные множествам, но при этом отличаться от наборов, чтобы избежать парадоксов, особенно парадокса Рассела (см. § Парадоксы ). Точное определение «класса» зависит от основного контекста. В работах по теории множеств Цермело-Френкеля понятие класса является неформальным, тогда как другие теории множеств, такие как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя , аксиоматизируют понятие «собственного класса», например, как сущности, которые не являются членами другая сущность.

Класс, который не является множеством (неформально в Цермело-Френкеле), называется собственным классом , а класс, который является множеством, иногда называется малым классом . Например, класс всех порядковых чисел и класс всех множеств являются собственными классами во многих формальных системах.

В . теоретико-множественных трудах Куайна фраза «конечный класс» часто используется вместо фразы «собственный класс», подчеркивая, что в системах, которые он рассматривает, определенные классы не могут быть членами и, таким образом, являются последним термином в любой цепочке членства которому они принадлежат.

За пределами теории множеств слово «класс» иногда используется как синоним слова «множество». Это использование восходит к историческому периоду, когда классы и множества не различались, как в современной теоретико-множественной терминологии. ^[1] Многие дискуссии о «классах» в XIX веке и ранее на самом деле относились к множествам или, скорее, возможно, происходили без учета того, что некоторые классы могут не быть множествами.

Примеры [ править ]

Совокупность всех алгебраических структур данного типа обычно представляет собой собственный класс. Примеры включают класс всех групп , класс всех векторных пространств и многие другие. В теории категорий , категория совокупность объектов которой образует собственный класс (или совокупность морфизмов которой образует правильный класс), называется большой категорией .

Сюрреалистические числа представляют собой собственный класс объектов, обладающих свойствами поля .

В рамках теории множеств многие коллекции множеств оказываются собственными классами. Примеры включают класс всех множеств (универсальный класс), класс всех порядковых чисел и класс всех кардинальных чисел .

Один из способов доказать правильность класса — поставить его в соответствие с классом всех порядковых чисел. Этот метод используется, например, при доказательстве отсутствия свободной полной решетки на трех и более образующих .

Парадоксы [ править ]

Парадоксы наивной теории множеств можно объяснить с помощью противоречивого негласного предположения о том, что «все классы являются множествами». Имея строгое обоснование, эти парадоксы вместо этого предлагают доказательства того, что определенные классы являются собственными (т. е. что они не являются множествами). Например, парадокс Рассела предполагает доказательство того, что класс всех множеств, которые не содержат самих себя, является правильным, а парадокс Бурали-Форти предполагает, что класс всех порядковых чисел является правильным. С классами парадоксы не возникают, поскольку не существует понятия классов, содержащих классы. В противном случае можно было бы, например, определить класс всех классов, которые не содержат самих себя, что привело бы к парадоксу Рассела для классов. может иметь в качестве членов соответствующие классы. конгломерат С другой стороны, ^[2]

формальных множеств Классы теорий

Теория множеств ZF не формализует понятие классов, поэтому каждую формулу с классами необходимо синтаксически свести к формуле без классов. ^[3] Например, можно сократить формулу $A=\{x\mid x=x\}$ к $\forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)$ . Для класса $A$ и установленный символ переменной $x$ , необходимо уметь разложить каждую из формул $x\in A$ , $x=A$ , $A\in x$ , и $A=x$ в формулу без появления класса. ^[4]^{п. 339}

Семантически в метаязыке классы можно описать как классы эквивалентности логических формул : Если ${\mathcal {A}}$ представляет собой структуру , интерпретирующую ZF, а затем объектный язык «выражение построителя классов». $\{x\mid \phi \}$ интерпретируется в ${\mathcal {A}}$ путем сбора всех элементов из области ${\mathcal {A}}$ на которой $\lambda x\phi$ держит; таким образом, класс можно описать как набор всех предикатов, эквивалентных $\phi$ (которая включает в себя $\phi$ сам). В частности, можно отождествить «класс всех множеств» с множеством всех предикатов, эквивалентных $x=x$ . ^{[ нужна цитата ]}

Поскольку классы не имеют формального статуса в теории ZF, аксиомы ZF не применимы к классам непосредственно. Однако если недоступный кардинал $\kappa$ Предполагается, что множества меньшего ранга образуют модель ZF ( вселенная Гротендика ), а ее подмножества можно рассматривать как «классы».

В ZF понятие функции также можно обобщить на классы. Функция класса не является функцией в обычном смысле, поскольку она не является множеством; это скорее формула $\Phi (x,y)$ со свойством, что для любого множества $x$ есть не более одного комплекта $y$ такой, что пара $(x,y)$ удовлетворяет $\Phi$ . Например, функция класса, отображающая каждый набор в его набор степеней, может быть выражена формулой $y={\mathcal {P}}(x)$ . Тот факт, что упорядоченная пара $(x,y)$ удовлетворяет $\Phi$ может быть выражено с помощью сокращенной записи $\Phi (x)=y$ .

Другой подход основан на аксиомах фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG); классы являются основными объектами в этой теории, и тогда множество определяется как класс, который является элементом некоторого другого класса. Однако аксиомы существования классов в NBG ограничены тем, что они количественно оценивают только множества, а не все классы. Это делает NBG консервативным продолжением ZFC.

Теория множеств Морса – Келли допускает собственные классы в качестве основных объектов, таких как NBG, но также допускает количественную оценку всех правильных классов в своих аксиомах существования классов. Это приводит к тому, что MK строго сильнее, чем NBG и ZFC.

В других теориях множеств, таких как «Новые основы» или теория полумножеств , концепция «собственного класса» все еще имеет смысл (не все классы являются множествами), но критерий множественности не замкнут относительно подмножеств. Например, любая теория множеств с универсальным множеством имеет собственные классы, которые являются подклассами множеств.

Примечания [ править ]

^ Бертран Рассел (1903). Принципы математики , Глава VI: Классы , через Интернет-архив
^ Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж (2007), «Множества, классы и конгломераты» (PDF) , Теория категорий (3-е изд.), Heldermann Verlag, стр. 9–12.
^ abeq2 - Metamath Proof Explorer , us.metamath.org, 5 августа 1993 г. , получено 9 марта 2016 г.
^ Дж. Р. Шонфилд, «Аксиомы теории множеств». В Справочнике по математической логике , Исследованиях по логике и основам математики, том. 90, изд. Дж. Барвайз (1977)

Ссылки [ править ]

Джех, Томас (2003), Теория множеств , Монографии Springer по математике (изд. третьего тысячелетия), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
Леви, А. (1979), Теория базовых множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
Смалльян, Раймонд М.; Фиттинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума , Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Монк, Дональд Дж. (1969), Введение в теорию множеств , McGraw-Hill Book Co., ISBN 9780070427150

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Установить класс» , MathWorld

[1] Бертран Рассел (1903). Принципы математики , Глава VI: Классы , через Интернет-архив

[2] Херрлих, Хорст ; Стрекер, Джордж (2007), «Множества, классы и конгломераты» (PDF) , Теория категорий (3-е изд.), Heldermann Verlag, стр. 9–12.

[3] abeq2 - Metamath Proof Explorer , us.metamath.org, 5 августа 1993 г. , получено 9 марта 2016 г.

[4] Дж. Р. Шонфилд, «Аксиомы теории множеств». В Справочнике по математической логике , Исследованиях по логике и основам математики, том. 90, изд. Дж. Барвайз (1977)

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo