Диагональный аргумент Кантора

Диагональный аргумент Кантора (среди различных похожих названий ^{[ примечание 1 ]}) является математическим доказательством того, что существуют бесконечные множества , которые нельзя привести во взаимно однозначное соответствие с бесконечным множеством натуральных чисел – неформально, что существуют множества , которые в некотором смысле содержат больше элементов, чем положительных целых чисел. Такие множества теперь называются несчетными множествами , а размер бесконечных множеств трактуется теорией кардинальных чисел , которую начал Кантор.

Георг Кантор опубликовал это доказательство в 1891 году. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^: 20–^{[ 3 ]} Но это было не его первое доказательство бесантиваемости реальных чисел , которое появилось в 1874 году. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Тем не менее, он демонстрирует общую технику, которая с тех пор использовалась в широком спектре доказательств, ^{[ 6 ]} в том числе первая из теорем о неполноте Гёделя ^{[ 2 ]} и ответ Тьюринга на entscheidungsproblem . Аргументы диагонализации часто также являются источником противоречий, таких как парадокс Рассела ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} и парадокс Ричарда . ^{[ 2 ]}^: 27

Бесчисленный набор

Кантор рассмотрел набор всех бесконечных последовательностей бинарных цифр (то есть каждая цифра равна нулю или одной). ^{[ Примечание 2 ]} Он начинается с конструктивного доказательства следующей леммы :

Если S ₁ , S ₂ , ..., S _n , ... это любое перечисление элементов из T , ^{[ Примечание 3 ]} элемент S Тогда может быть построен , который не соответствует какому -либо S _N в перечислении.

Доказательство начинается с перечисления элементов из T , например,

S ₁ =	(0,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
s2 =	(1,	1,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
с ₃ =	(0,	1,	0,	1,	0,	1,	0,	...)
с ₄ =	(1,	0,	1,	0,	1,	0,	1,	...)
с ₅ =	(1,	1,	0,	1,	0,	1,	1,	...)
с ₆ =	(0,	0,	1,	1,	0,	1,	1,	...)
с ₇ =	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0,	...)
...

Затем последовательность s строится путем выбора 1-й цифры как дополнительной к 1-й цифре s ₁ (замена 0 на 1 и наоборот), 2-й цифры как дополнительной к 2-й цифре s ₂ , 3-й цифры как дополняет третью цифру 3 _, и обычно для каждого n n s ^тур цифра как дополнительная для N ^тур цифра S _n . Для примера выше, это дает

с ₁	=	( 0 ,	0,	0,	0,	0,	0,	0,	...)
S ₂	=	(1,	1 ,	1,	1,	1,	1,	1,	...)
с ₃	=	(0,	1,	0 ,	1,	0,	1,	0,	...)
S ₄	=	(1,	0,	1,	0 ,	1,	0,	1,	...)
S ₅	=	(1,	1,	0,	1,	0 ,	1,	1,	...)
S ₆	=	(0,	0,	1,	1,	0,	1 ,	1,	...)
S ₇	=	(1,	0,	0,	0,	1,	0,	0 ,	...)
...

с	=	( 1 ,	0 ,	1 ,	1 ,	1 ,	0 ,	1 ,	...)

По строительству S является членом T , который отличается от каждого S _N , поскольку их n ^тур Цифры различаются (выделены в примере). Следовательно, S не может произойти в перечислении.

Основываясь на этой лемме, затем Кантор использует доказательство по противоречию, чтобы показать, что:

Набор T бесчисленен.

Доказательство начинается с предположения, что T является исчисляемой . Тогда все его элементы могут быть написаны в перечислении S ₁ , S ₂ , ..., S _n , .... Применение предыдущей леммы к этому перечислению дает последовательность S , которая является членом T , но не в перечислении. Однако, если T перечислен, то каждый член T , включая этот S , находится в перечислении. Это противоречие подразумевает, что первоначальное предположение является ложным. Следовательно, t не является бесостежным. ^{[ 1 ]}

Реальные числа

Несчетность действительных чисел уже была установлена первым доказательством несчетности Кантора , но она также следует из приведенного выше результата. Чтобы доказать это, будет построена инъекция множества T бесконечных двоичных строк в множество R действительных чисел. Поскольку T несчетно, образ этой функции, являющейся подмножеством R , несчетен. Следовательно, R несчетно. Кроме того, используя метод построения, разработанный Кантором, биекция построена между T и R. будет Следовательно, T и R имеют одинаковую мощность, которую называют « мощностью континуума » и обычно обозначают через ${\mathfrak {c}}$ или $2^{\aleph _{0}}$ .

Инъекция от t до r определяется путем отображения бинарных строк в T -десятичных фракциях , таких как отображение t = 0111 ... к десятичным значениям 0,0111 .... Эта функция, определяемая F ( t ) = 0. T , является инъекция, потому что он отображает разные строки с разными числами. ^{[ Примечание 4 ]}

Построить биографию между T и R немного сложнее. Вместо отображения 0111 ... к десятичному 0,0111 ..., его можно отобрать с номером базы B : 0,0111 ... _b . Это приводит к семейству функций: f _b ( t ) = 0. t _b . Функции f _b ( t ) являются инъекциями, за исключением F ₂ ( t ) . будет модифицирована для получения биологии между T и R. Эта функция

Построение биекции между T и R
The function h: (0,1) → (−π/2,π/2) The function tan: (−π/2,π/2) → R This construction uses a method devised by Cantor that was published in 1878. He used it to construct a bijection between the closed interval [0, 1] and the irrationals in the open interval (0, 1). He first removed a countably infinite subset from each of these sets so that there is a bijection between the remaining uncountable sets. Since there is a bijection between the countably infinite subsets that have been removed, combining the two bijections produces a bijection between the original sets.^[9] Cantor's method can be used to modify the function f ₂(t) = 0.t₂ to produce a bijection from T to (0, 1). Because some numbers have two binary expansions, f ₂(t) is not even injective. For example, f ₂(1000...) = 0.1000...₂ = 1/2 and f ₂(0111...) = 0.0111...₂ = 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2, so both 1000... and 0111... map to the same number, 1/2. To modify f₂ (t), observe that it is a bijection except for a countably infinite subset of (0, 1) and a countably infinite subset of T. It is not a bijection for the numbers in (0, 1) that have two binary expansions. These are called dyadic numbers and have the form m / 2ⁿ where m is an odd integer and n is a natural number. Put these numbers in the sequence: r = (1/2, 1/4, 3/4, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8, ...). Also, f₂ (t) is not a bijection to (0, 1) for the strings in T appearing after the binary point in the binary expansions of 0, 1, and the numbers in sequence r. Put these eventually-constant strings in the sequence: s = (000..., 111..., 1000..., 0111..., 01000..., 00111..., 11000..., 10111..., ...). Define the bijection g(t) from T to (0, 1): If t is the n^th string in sequence s, let g(t) be the n^th number in sequence r ; otherwise, g(t) = 0.t₂. To construct a bijection from T to R, start with the tangent function tan(x), which is a bijection from (−π/2, π/2) to R (see the figure shown on the right). Next observe that the linear function h(x) = πx – π/2 is a bijection from (0, 1) to (−π/2, π/2) (see the figure shown on the left). The composite function tan(h(x)) = tan(πx – π/2) is a bijection from (0, 1) to R. Composing this function with g(t) produces the function tan(h(g(t))) = tan(πg(t) – π/2), which is a bijection from T to R.

Общие наборы

форма диагонального аргумента была использована Кантором для доказательства теоремы Кантора : для каждого множества S S степенное множество — то есть множество всех подмножеств S Обобщенная (здесь записанное как P ( S )) — не может находиться в биекция с S. самим Это доказательство проводится следующим образом:

Пусть f — любая функция от S до P ( S ). Достаточно доказать, что f не может быть сюръективным . что некоторый член T из P ( S ), т.е. некоторое подмножество S , не находится в образе f Это означает , . В качестве кандидата рассматриваю комплект:

Т знак равно { s ∈ S : s ∉ ж ( s ) }.

Для каждого s в S либо s находится в T , либо нет. Если s находится в T , то по определению T s f находится в f ( s ), поэтому T не равно s ( не ). С другой стороны, если s не находится в T по определению T s f находится в f ( s ), поэтому T снова не равно , то ( s ); ср. картина. Более полное изложение этого доказательства см. в теореме Кантора .

Последствия

Орден кардиналов

Имея равенство, определяемое как существование биекции между лежащими в их основе множествами, Кантор также определяет двоичный предикат мощностей. $|S|$ и $|T|$ с точки зрения существования инъекций между $S$ и $T$ . Он имеет свойства предзаказа и здесь написано " $\leq$ ". Можно вставлять натуральные числа в двоичные последовательности, тем самым явно доказывая различные утверждения о существовании инъекций , так что в этом смысле $|{\mathbb {N} }|\leq |2^{\mathbb {N} }|$ , где $2^{\mathbb {N} }$ обозначает функциональное пространство ${\mathbb {N} }\to \{0,1\}$ . Но, как следует из рассуждений предыдущих разделов, не существует сюръекции , а значит, и биекции, т. е. множество несчетно. Для этого можно написать $|{\mathbb {N} }|<|2^{\mathbb {N} }|$ , где " $<$ Под «подразумевается наличие инъекции вместе с доказанным отсутствием биекции (в отличие от таких альтернатив, как отрицание предпорядка Кантора или определение в терминах присвоенных порядковых номеров ). Также $|S|<|{\mathcal {P}}(S)|$ в этом смысле, как было показано, и в то же время дело обстоит так, что $\neg (|{\mathcal {P}}(S)|\leq |S|)$ , для всех наборов $S$ .

Полагая закон исключенного третьего , характеристические функции сюръектируются на множества степеней, а затем $|2^{S}|=|{\mathcal {P}}(S)|$ . Итак, несчетное $2^{\mathbb {N} }$ также не является перечислимым и его также можно отобразить на ${\mathbb {N} }$ . В классическом смысле теорема Шредера-Бернштейна действительна и гласит, что любые два множества, находящиеся в инъективном образе друг друга, также находятся в биекции. Здесь каждое неограниченное подмножество ${\mathbb {N} }$ тогда находится в биекции с ${\mathbb {N} }$ само по себе, и всякое подсчетное множество (свойство в терминах сюръекций) тогда уже счетно, т. е. в сюръективном образе ${\mathbb {N} }$ . В этом контексте возможности тогда исчерпаны, что делает " $\leq$ « нестрогий частичный порядок или даже полный порядок, если предположить выбор ». Таким образом, диагональный аргумент устанавливает, что, хотя оба рассматриваемых множества бесконечны, на самом деле существует больше бесконечных последовательностей единиц и нулей, чем натуральных чисел. Результат Кантора также подразумевает, что понятие множества всех множеств противоречиво: если $S$ были множеством всех множеств, тогда ${\mathcal {P}}(S)$ в то же время было бы больше, чем $S$ и подмножество $S$ .

При отсутствии исключенного среднего

Также в конструктивной математике нет сюръекции из полной области. ${\mathbb {N} }$ в пространство функций ${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ или на коллекцию подмножеств ${\mathcal {P}}({\mathbb {N} })$ , то есть эти две коллекции неисчислимы. Снова используя " $<$ «для доказанного существования инъекций в сочетании с отсутствием биекции ${\mathbb {N} }<2^{\mathbb {N} }$ и $S<{\mathcal {P}}(S)$ . Дальше, $\neg ({\mathcal {P}}(S)\leq S)$ , как отмечалось ранее. Так же, $2^{\mathbb {N} }\leq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ , $2^{S}\leq {\mathcal {P}}(S)$ и конечно $S\leq S$ , а также в конструктивной теории множеств .

Однако конструктивно упорядочить ординалы, а также кардиналы труднее или невозможно. Например, теорема Шредера-Бернштейна требует закона исключенного третьего. ^{[ 10 ]} Фактически, стандартное упорядочение на реальных, расширяющее упорядочение рациональных чисел, также не обязательно является определенным. Ни один из них не является наиболее наиболее характерным классом функций, по теореме Райса , то есть набор подсчетных чисел для подпадных наборов может быть не рекурсивным и, следовательно, не может быть счетным. Сложная коллекция подмножества набора конструктивно не обменивается сбором его характерных функций. В ином конструктивном контексте (в котором закон исключенной средней не принимается как аксиома), согласованно принимать неклассические аксиомы, которые противоречат последствиям закона исключенного среднего. Бесчисленные наборы, такие как $2^{\mathbb {N} }$ или ${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ можно утверждать, что они являются счетными . ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Это понятие размера является избыточным в классическом контексте, но в противном случае не обязательно подразумевает счетность. Существование инъекций от несчетного числа $2^{\mathbb {N} }$ или ${\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }$ в ${\mathbb {N} }$ здесь тоже возможно. ^{[ 13 ]} Таким образом, кардинальное отношение не может быть антисимметричным . Следовательно, даже при наличии множеств функциональных пространств, которые даже классически неисчислимы, интуиционисты не принимают это отношение в качестве иерархии трансфинитных размеров. ^{[ 14 ]} Когда аксиома Powerset не будет принята, в конструктивной рамках даже подкатовая доходность всех подходов является тогда последовательной. Все сказано, в общих теориях, небытие набора всех наборов также уже следует из предикативного разделения .

В теории наборов теории математики смоделированы . Более слабые логические аксиомы означают меньше ограничений и, таким образом, позволяют более богатый класс моделей. Набор может быть идентифицирован как модель поля реальных чисел , когда он выполняет некоторые аксиомы реальных чисел или конструктивную перефразирование . Были изучены различные модели, такие как Cauchy Reals или Dedekind Reals , среди прочих. Первые относятся к коэффициентам последовательностей, в то время как позднее-это хорошо поведение, взятые из Powerset, если они существуют. В присутствии исключенной середины все они изоморфны и нерешенные. В противном случае, варианты Dedekind Reals могут быть рассчитываемыми ^{[ 15 ]} или вводить в натуральные, но не совместно. При предположении исчезного выбора , конструктивные Cauchy Reals даже без явного модуля конвергенции затем Cauchy-Complete ^{[ 16 ]} И Dedekind Reals упрощает, чтобы стать изоморфными для них. Действительно, здесь выбор также способствует диагональным конструкциям, и когда они предполагают, что модели Cauchy-Complete of Reals не являются досчетными.

Открытые вопросы

Мотивированный пониманием того, что набор реальных чисел «больше», чем набор естественных чисел, приведен к тому, чтобы спросить, есть ли набор, чьи кардинальности «между» чисел и набором реальных. Этот вопрос ведет к знаменитой гипотезе континуума . Точно так же вопрос о том, существует ли набор, чья кардинальность находится между | S | и | P ( S ) | Для некоторых бесконечных S приводит к генерализованной гипотезе континуума .

Диагонализация в более широком контексте

Парадокс Рассела показал, что теория установок, которая включает в себя неограниченную схему понимания, является противоречивой. Обратите внимание, что существует сходство между построением T и набором в парадоксе Рассела. Следовательно, в зависимости от того, как мы модифицируем схему понимания аксиомы, чтобы избежать парадокса Рассела, такие аргументы, как небытие набора всех наборов, могут оставаться действительными.

Аналоги диагонального аргумента широко используются в математике, чтобы доказать существование или отсутствие определенных объектов. Например, обычным доказательством неразрешимости проблемы остановки является по сути диагональным аргументом. Кроме того, диагонализация была первоначально использована для демонстрации существования произвольно тяжелых классов сложности и сыграла ключевую роль в ранних попытках доказать, что P не равняется NP .

Версия для новых фондов Куайна

Приведенное выше доказательство не удается для теории наборов WV Quine « Новые основы » (NF). В NF наивная схема понимания аксиомы модифицируется, чтобы избежать парадоксов путем введения своего рода «локальной» теории типа . В этой схеме аксиомы,

{ s ∈ S : s ∉ f ( s )}

является не набором - т.е. не удовлетворяет схеме аксиомы. С другой стороны, мы могли бы попытаться создать модифицированный диагональный аргумент, заметив, что

{ s ∈ S : s ∉ f ({ s })}

является множеством в NF. В этом случае, если P ₁ ( S ) — множество одноэлементных подмножеств S , а f — предлагаемая биекция из P ₁ ( S ) в P ( S ), можно использовать доказательство от противного, чтобы доказать, что | п ₁ ( С )| < | П ( С ) |.

Доказательство следует из того факта, что если бы f действительно было отображением на P ( S ), то мы могли бы найти r в S такой, что f ({ r }) совпадает с модифицированным диагональным множеством, указанным выше. Мы бы пришли к выводу, что если r нет в f ({ r }), то r находится в f ({ r }) и наоборот.

Невозможно . поместить P ₁ ( S ) во взаимно однозначное отношение с S , поскольку они имеют разные типы, и поэтому любая функция, определенная таким образом, нарушит правила типизации для схемы понимания

См. также

Примечания

^ , аргумент диагонализации аргумент диагональной косой черты , аргумент антидиагонали , диагональный метод и доказательство диагонализации Кантора
^ Кантор использовал « m» и « w » вместо «0» и «1», « M » вместо « T » и « Ei _» вместо « » _si .
^ Кантор не предполагает, что каждый элемент T входит в это перечисление.
^ Хотя 0,0111... и 0,1000... были бы равны, если интерпретировать их как двоичные дроби (разрушая инъективность), они различаются при интерпретации как десятичные дроби, как это делает f . С другой стороны, поскольку t — двоичная строка, равенство 0,0999... = 0,1000... десятичных дробей здесь не имеет значения.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Георг Кантор (1891). «К элементарному вопросу теории многообразия» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 1 :75-78. Английский перевод: Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 . Издательство Оксфордского университета. стр. 920–922. ISBN 0-19-850536-1 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кейт Симмонс (30 июля 1993 г.). Универсальность и лжец: эссе об истине и диагональном аргументе . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-43069-2 .
^ Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 30 . ISBN 0070856133 .
^ Грей, Роберт (1994), «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) , American Mathematical Monthly , 101 (9): 819–832, doi : 10.2307/2975129 , JSTOR 2975129
^ Блох, Итан Д. (2011). Реальные цифры и реальный анализ . Нью-Йорк: Спрингер. п. 429 . ISBN 978-0-387-72176-7 .
^ Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности (иллюстрированное изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 73. ISBN 978-1-107-05831-6 Полем Извлечение страницы 73
^ Парадокс Рассела . Стэнфордская энциклопедия философии. 2021.
^ Бертран Рассел (1931). Принципы математики . Нортон. С. 363–366.
^ См. Стр. 254 Георг Кантор (1878), «Вклад в преподавание разнообразия» , журнал для чистой и прикладной математики , 84 : 242–258 . Это доказательство обсуждается в Джозеф Дабен (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечной , издательство Гарвардского университета, ISBN 0-674-34871-0 , стр. 61–62, 65. На странице 65 Добен доказывает результат, более сильный, чем результат Кантора. Он позволяет « φ _ν обозначать любую последовательность рациональных чисел в [0, 1]». Кантор позволяет φ _ν обозначать последовательность , перечисляющую рациональные числа в [0, 1], которая является разновидностью последовательности, необходимой для построения биекции между [0, 1] и иррациональными числами в (0, 1).
^ Прадич, Пьер; Браун, Чад Э. (2019). «Кантор-Бернштейн подразумевает исключенное среднее». arXiv : 1904.09193 [ math.LO ].
^ Белл, Джон Л. (2004), «Парадокс Рассела и диагонализация в конструктивном контексте» (PDF) , в Link, Godehard (ред.), Сто лет парадокса Рассела , Серия Де Грюйтера по логике и ее приложениям, том. 6, де Грюйтер, Берлин, стр. 221–225, MR 2104745.
^ Ратьен, М. « Принципы выбора в конструктивных и классических теориях множеств », Труды логического коллоквиума, 2002 г.
^ Бауэр, А. « Инъекция от N^N к N », 2011 г.
^ Этторе Карруччо (2006). Математика и логика в истории и современной мысли . Издатели транзакций. п. 354. ИСБН 978-0-202-30850-0 .
^ Бауэр; Хэнсон (2024). «Счетные числа». arXiv : 2404.01256 [ math.LO ].
^ Роберт С. Любарский, О полноте Коши конструктивных вещественных чисел Коши , июль 2015 г.

Внешние ссылки

[1] , аргумент диагонализации аргумент диагональной косой черты , аргумент антидиагонали , диагональный метод и доказательство диагонализации Кантора

[10] Кантор использовал « m» и « w » вместо «0» и «1», « M » вместо « T » и « Ei _» вместо « » _si .

[11] Кантор не предполагает, что каждый элемент T входит в это перечисление.

[12] Хотя 0,0111... и 0,1000... были бы равны, если интерпретировать их как двоичные дроби (разрушая инъективность), они различаются при интерпретации как десятичные дроби, как это делает f . С другой стороны, поскольку t — двоичная строка, равенство 0,0999... = 0,1000... десятичных дробей здесь не имеет значения.

[Cantor.1891-2] Jump up to: ^а ^б Георг Кантор (1891). «К элементарному вопросу теории многообразия» . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 1 :75-78. Английский перевод: Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Иммануила Канта до Давида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 . Издательство Оксфордского университета. стр. 920–922. ISBN 0-19-850536-1 .

[Simmons1993-3] Jump up to: ^а ^б ^с Кейт Симмонс (30 июля 1993 г.). Универсальность и лжец: эссе об истине и диагональном аргументе . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-43069-2 .

[Rubin1976-4] Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 30 . ISBN 0070856133 .

[5] Грей, Роберт (1994), «Георг Кантор и трансцендентные числа» (PDF) , American Mathematical Monthly , 101 (9): 819–832, doi : 10.2307/2975129 , JSTOR 2975129

[Bloch2011-6] Блох, Итан Д. (2011). Реальные цифры и реальный анализ . Нью-Йорк: Спрингер. п. 429 . ISBN 978-0-387-72176-7 .

[7] Шеппард, Барнаби (2014). Логика бесконечности (иллюстрированное изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 73. ISBN 978-1-107-05831-6 Полем Извлечение страницы 73

[8] Парадокс Рассела . Стэнфордская энциклопедия философии. 2021.

[9] Бертран Рассел (1931). Принципы математики . Нортон. С. 363–366.

[13] См. Стр. 254 Георг Кантор (1878), «Вклад в преподавание разнообразия» , журнал для чистой и прикладной математики , 84 : 242–258 . Это доказательство обсуждается в Джозеф Дабен (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечной , издательство Гарвардского университета, ISBN 0-674-34871-0 , стр. 61–62, 65. На странице 65 Добен доказывает результат, более сильный, чем результат Кантора. Он позволяет « φ _ν обозначать любую последовательность рациональных чисел в [0, 1]». Кантор позволяет φ _ν обозначать последовательность , перечисляющую рациональные числа в [0, 1], которая является разновидностью последовательности, необходимой для построения биекции между [0, 1] и иррациональными числами в (0, 1).

[14] Прадич, Пьер; Браун, Чад Э. (2019). «Кантор-Бернштейн подразумевает исключенное среднее». arXiv : 1904.09193 [ math.LO ].

[15] Белл, Джон Л. (2004), «Парадокс Рассела и диагонализация в конструктивном контексте» (PDF) , в Link, Godehard (ред.), Сто лет парадокса Рассела , Серия Де Грюйтера по логике и ее приложениям, том. 6, де Грюйтер, Берлин, стр. 221–225, MR 2104745.

[16] Ратьен, М. « Принципы выбора в конструктивных и классических теориях множеств », Труды логического коллоквиума, 2002 г.

[17] Бауэр, А. « Инъекция от N^N к N », 2011 г.

[18] Этторе Карруччо (2006). Математика и логика в истории и современной мысли . Издатели транзакций. п. 354. ИСБН 978-0-202-30850-0 .

[19] Бауэр; Хэнсон (2024). «Счетные числа». arXiv : 2404.01256 [ math.LO ].

[20] Роберт С. Любарский, О полноте Коши конструктивных вещественных чисел Коши , июль 2015 г.

[ примечание 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ Примечание 2 ]

[ Примечание 3 ]

[ Примечание 4 ]

[9]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

v Т и Установка теория
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo