Первая статья Кантора по теории множеств

Первая статья Кантора по теории множеств содержит первые теоремы Георга Кантора трансфинитной теории множеств , изучающей бесконечные множества и их свойства. Одной из этих теорем является его «революционное открытие» о том, что множество всех действительных чисел не счетно , а не счетно бесконечно. ^{[ 1 ]} Эта теорема подтверждается с использованием первого доказательства неисправности Кантора , которое отличается от более знакомого доказательства, используя его диагональный аргумент . Название статьи « О собственности коллекции всех реальных алгебраических чисел » («Ueber Eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller Reellen Algebraischen Zahlen») относится к своей первой теореме: набор реальных алгебраических чисел является оценкой. Статья Кантора была опубликована в 1874 году. В 1879 году он изменил свой доказательство недооценки, используя топологическое представление о том, что набор плотный в интервале.

Статья Кантора также содержит доказательство существования трансцендентных чисел . Как конструктивные, так и неконструктивные доказательства были представлены как «доказательство Кантора». Популярность представления неконструктивного доказательства привела к неправильному представлению о том, что аргументы Кантора неконструктивны. Поскольку доказательство того, что Кантор опубликовал либо конструкции трансцендентальных чисел, либо нет, анализ его статьи может определить, является ли это доказательство конструктивным. ^{[ 2 ]} Переписка Кантора с Ричардом Дедекиндом показывает развитие его идей и показывает, что у него был выбор между двумя доказательствами: неконструктивным доказательством, которое использует несортируемость реальных чисел, и конструктивное доказательство, которое не использует нес довольство.

Историки математики изучили статью Кантора и обстоятельства, в которых она была написана. Например, они обнаружили, что Кантору посоветовали пропустить свою теорему о неисчиренности в статье, которую он представил - он добавил ее во время коррекции . Они проследили это и другие факты о статье до влияния Карла Вейерштрасса и Леопольд -Кронекера . Историки также изучали вклад Дедекинда в статью, в том числе его вклад в теорему по количественному количеству реальных алгебраических чисел. Кроме того, они признали роль теоремы о нес довольственности и концепцию счетной оценки в разработке теории наборов, теории измерений и интеграла Lebesgue .

Статья

Статья Кантора короткая, менее четырех с половиной страниц. ^{[ А ]} Он начинается с обсуждения действительных алгебраических чисел и формулировки его первой теоремы: множество действительных алгебраических чисел можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел. ^{[ 3 ]} Кантор переформулирует эту теорему в терминах, более знакомых математикам его времени: множество действительных алгебраических чисел можно записать как бесконечную последовательность , в которой каждое число встречается только один раз. ^{[ 4 ]}

Вторая теорема Кантора работает с замкнутым интервалом [ a , b ], который представляет собой набор действительных чисел ≥ a и ≤ b . Теорема гласит: для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ] существует число из [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности. Следовательно, таких чисел бесконечно много. ^{[ 5 ]}

Кантор отмечает, что объединение двух его теорем дает новое доказательство теоремы Лиувилля о том, что каждый интервал [ a , b ] содержит бесконечно много трансцендентных чисел . ^{[ 5 ]}

Затем Кантор отмечает, что его вторая теорема такова:

причина, по которой наборы действительных чисел, образующие так называемый континуум (например, все действительные числа ≥ 0 и ≤ 1), не могут взаимно однозначно соответствовать набору (ν) [набору всех положительных целых чисел]; таким образом, я обнаружил четкое различие между так называемым континуумом и набором, подобным совокупности действительных алгебраических чисел. ^{[ 6 ]}

Это замечание содержит теорему Кантора о несчетности, которая лишь утверждает, что интервал [ a , b ] не может быть приведен во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел. В нем не утверждается, что этот интервал представляет собой бесконечное множество большей мощности , чем множество положительных целых чисел. Кардинальность определена в следующей статье Кантора, опубликованной в 1878 году. ^{[ 7 ]}

Доказательство теоремы о нес доцентировке Кантора
Cantor does not explicitly prove his uncountability theorem, which follows easily from his second theorem. It can be proved by using proof by contradiction. Assume that the interval [a, b] can be put into one-to-one correspondence with the set of positive integers, or equivalently: The real numbers in [a, b] can be written as a sequence in which each real number appears only once. Applying Cantor's second theorem to this sequence and [a, b] produces a real number in [a, b] that does not belong to the sequence. This contradicts the original assumption and proves the uncountability theorem.^[8]

Кантор только заявляет о своей теореме о неисправности. Он не использует его ни в каких доказательствах. ^{[ 3 ]}

Доказательства

Первая теорема

что набор реальных алгебраических чисел является рассчитанным, определите высоту полинома Чтобы доказать , степени n с целочисленными коэффициентами как: n - 1 + | a ₀ | + | A ₁ | + ... + | a _n |, где , ₀ A 1 _, ..., A _N являются коэффициентами полинома. Закажите полиномы на их высоту и закажите реальные корни полиномов той же высоты по числовым порядкам. Поскольку существует лишь конечное количество корней полиномов данной высоты, эти порядок помещают реальные алгебраические числа в последовательность. Кантор пошел на шаг вперед и произвел последовательность, в которой каждое реальное алгебраическое число появляется только один раз. Он сделал это, используя только полиномы, которые не подлежат целым числу. Следующая таблица содержит начало перечисления Кантора. ^{[ 9 ]}

Нумерация Кантора действительных алгебраических чисел
Real algebraic number	Polynomial	Height of polynomial
x₁ = 0	x	1
x₂ = −1	x + 1	2
x₃ = 1	x − 1	2
x₄ = −2	x + 2	3
x₅ = −⁠1/2⁠	2x + 1	3
x₆ = ⁠1/2⁠	2x − 1	3
x₇ = 2	x − 2	3
x₈ = −3	x + 3	4
x₉ = ⁠−1 − √5/2⁠	x² + x − 1	4
x₁₀ = −√2	x² − 2	4
x₁₁ = −⁠1/√2⁠	2x² − 1	4
x₁₂ = ⁠1 − √5/2⁠	x² − x − 1	4
x₁₃ = −⁠1/3⁠	3x + 1	4
x₁₄ = ⁠1/3⁠	3x − 1	4
x₁₅ = ⁠−1 + √5/2⁠	x² + x − 1	4
x₁₆ = ⁠1/√2⁠	2x² − 1	4
x₁₇ = √2	x² − 2	4
x₁₈ = ⁠1 + √5/2⁠	x² − x − 1	4
x₁₉ = 3	x − 3	4

Вторая теорема

Остается доказать только первую часть второй теоремы Кантора. Он гласит: для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ] существует число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности. ^{[ Б ]}

Чтобы найти число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности, постройте две последовательности действительных чисел следующим образом: Найдите первые два числа данной последовательности, которые находятся в открытом интервале ( a , b ). Обозначим меньшее из этих двух чисел через a ₁ и большее через b ₁ . Аналогично найдите первые два числа заданной последовательности, входящие в ( a ₁ , b ₁ ). Обозначим меньшее через a ₂ и большее через b ₂ . Продолжение этой процедуры генерирует последовательность интервалов ( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ ), ( a ₃ , b ₃ ), ... такую, что каждый интервал в последовательности содержит все последующие интервалы , то есть он генерирует последовательность вложенных интервалов . Это означает, что последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... возрастает, а последовательность b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... убывает. ^{[ 10 ]}

Либо количество генерируемых интервалов конечное или бесконечное. Если конечно, пусть ( a _L , b _L ) будет последним интервалом. Если бесконечно, возьмем пределы a _∞ = lim _{n → ∞} и _an b ∞ ₌ lim _{n → ∞} b _n . Поскольку a _n < b _n для всех n , либо a _∞ = b _∞, либо a _∞ < b _∞ . Таким образом, следует рассмотреть три случая:

Случай 1: существует последний интервал ( a _L , b _L ). Поскольку в этом интервале может находиться не более одного x _n , каждый y в этом интервале, кроме x _n (если он существует), не входит в данную последовательность.

Случай 2: а _∞ знак равно б _∞ . Тогда a∞ _но последовательность, поскольку для всех находится в интервале _{n: a∞} ( , _xn bn ) _{не входит в} , не _{принадлежит} ( , _an bn ) _an . В символах: a _∞ ∈ ( a _n , b _n ), но x _n ∉ ( a _n , b _n ).

Доказательство того, что для всех n : x _n ∉ ( a _n , b _n )
This lemma is used by cases 2 and 3. It is implied by the stronger lemma: For all n, (a_n, b_n) excludes x₁, ..., x_2n. This is proved by induction. Basis step: Since the endpoints of (a₁, b₁) are x₁ and x₂ and an open interval excludes its endpoints, (a₁, b₁) excludes x₁, x₂. Inductive step: Assume that (a_n, b_n) excludes x₁, ..., x_2n. Since (a_n+1, b_n+1) is a subset of (a_n, b_n) and its endpoints are x_2n+1 and x_2n+2, (a_n+1, b_n+1) excludes x₁, ..., x_2n and x_2n+1, x_2n+2. Hence, for all n, (a_n, b_n) excludes x₁, ..., x_2n. Therefore, for all n, x_n ∉ (a_n, b_n).^[C]

Случай 3: a _∞ < b _∞ . Тогда каждый y в [ a _∞ , b _∞ ] не содержится в данной последовательности, поскольку для всех N : y принадлежит ( a _n , b _n ), но x _n не делает. ^{[ 11 ]}

Доказательство завершено, поскольку во всех случаях , по крайней мере, одно реальное число в [ A , B ], которое не содержится в данной последовательности. было обнаружено ^{[ D ]}

Доказательства Кантора являются конструктивными и использовались для написания компьютерной программы , которая генерирует цифры трансцендентального номера. Эта программа применяет конструкцию Кантора к последовательности, содержащей все реальные алгебраические числа от 0 до 1. ^{[ 12 ]}

Пример строительства Кантора

Пример показывает, как работает строительство Кантора. Рассмотрим последовательность: ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 2 / 3 ⁠ , ⁠ 1 / 4 ⁠ , ⁠ 3 / 4 ⁠ , ⁠ 1 / 5 ⁠ , ⁠ 2 / 5 ⁠ , ⁠ 3 / 5 ⁠ , ⁠ 4 / 5 ⁠ , ... Эта последовательность получается путем упорядочивания рациональных чисел в (0, 1) путем увеличения знаменателей, упорядочивания чисел с одинаковым знаменателем путем увеличения числителей и исключения сокращаемых дробей . В таблице ниже показаны первые пять этапов строительства. столбец таблицы содержит интервалы ( an _Первый , b _n ). во время поиска первых двух терминов в ( an _{столбце перечислены термины, посещенные} , bn _{Во втором} ). Эти два термина выделены красным. ^{[ 13 ]}

**Создание числа, используя конструкцию Кантора**
Интервал	Поиск следующего интервала	Интервал (десятичный)
$\left(\;{\frac {1}{3}},\;\;\!{\frac {1}{2}}\;\right)$	$\;{\frac {2}{3}},\;\!{\frac {1}{4}},\;\!{\frac {3}{4}},\;\!{\frac {1}{5}},\;\!{\color {red}{\frac {2}{5}},}\;\!\;\!{\frac {3}{5}},\;\!{\frac {4}{5}},\;\!{\frac {1}{6}},\;\!{\frac {5}{6}},\;\!{\frac {1}{7}},\;\!{\frac {2}{7}},\;\!{\color {red}{\frac {3}{7}}}$	$\left(0.3333\dots ,\;0.5000\dots \right)$
$\left(\;{\frac {2}{5}},\;\;\!{\frac {3}{7}}\;\right)$	$\;{\frac {4}{7}},\;\dots ,\;{\frac {1}{12}},{\color {red}{\frac {5}{12}},}\;\!{\frac {7}{12}},\;\dots ,\;{\frac {6}{17}},{\color {red}{\frac {7}{17}}}$	$\left(0.4000\dots ,\;0.4285\dots \right)$
$\left({\frac {7}{17}},{\frac {5}{12}}\right)$	${\frac {8}{17}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {11}{29}},{\color {red}{\frac {12}{29}},}\;\!{\frac {13}{29}},\;\dots ,\;{\frac {16}{41}},{\color {red}{\frac {17}{41}}}$	$\left(0.4117\dots ,\;0.4166\dots \right)$
$\left({\frac {12}{29}},{\frac {17}{41}}\right)$	${\frac {18}{41}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {27}{70}},{\color {red}{\frac {29}{70}},}\;\!{\frac {31}{70}},\;\dots ,\;{\frac {40}{99}},{\color {red}{\frac {41}{99}}}$	$\left(0.4137\dots ,\;0.4146\dots \right)$
$\left({\frac {41}{99}},{\frac {29}{70}}\right)$	${\frac {43}{99}},\dots ,{\frac {69}{169}},{\color {red}{\frac {70}{169}},}\;\!{\frac {71}{169}},\,\dots ,{\frac {98}{239}},{\color {red}{\frac {99}{239}}}$	$\left(0.4141\dots ,\;0.4142\dots \right)$

Поскольку последовательность содержит все рациональные числа в (0, 1), конструкция генерирует иррациональное число , которое оказывается √ 2 - 1. ^{[ 14 ]}

Доказательство того, что сгенерированное число составляет √ 2 - 1
The proof uses Farey sequences and continued fractions. The Farey sequence $F_{n}$ is the increasing sequence of completely reduced fractions whose denominators are $\leq n.$ If ${\frac {a}{b}}$ and ${\frac {c}{d}}$ are adjacent in a Farey sequence, the lowest denominator fraction between them is their mediant ${\frac {a+c}{b+d}}.$ This mediant is adjacent to both ${\frac {a}{b}}$ and ${\frac {c}{d}}$ in the Farey sequence $F_{b+d}.$ ^[15] Cantor's construction produces mediants because the rational numbers were sequenced by increasing denominator. The first interval in the table is $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ Since ${\frac {1}{3}}$ and ${\frac {1}{2}}$ are adjacent in $F_{3},$ their mediant ${\frac {2}{5}}$ is the first fraction in the sequence between ${\frac {1}{3}}$ and ${\frac {1}{2}}.$ Hence, ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ In this inequality, ${\frac {1}{2}}$ has the smallest denominator, so the second fraction is the mediant of ${\frac {2}{5}}$ and ${\frac {1}{2}},$ which equals ${\frac {3}{7}}.$ This implies: ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ Therefore, the next interval is $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ We will prove that the endpoints of the intervals converge to the continued fraction $[0;2,2,\dots ].$ This continued fraction is the limit of its convergents: ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}=[0;2,\dots ,2]\;\;(n\;2{\text{'s}}).$ The $p_{n}$ and $q_{n}$ sequences satisfy the equations:^[16] $p_{0}=0\;\;\;\;\;\;\;p_{1}=1\;\;\;\;\;\;\;p_{n+1}=2p_{n}+p_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1$ $q_{0}=1\;\;\;\;\;\;\;q_{1}=2\;\;\;\;\;\;\;q_{n+1}=2q_{n}+q_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1$ First, we prove by induction that for odd n, the n-th interval in the table is: $\left({\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}},{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right)\!,$ and for even n, the interval's endpoints are reversed: $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ This is true for the first interval since: $\left({\frac {p_{1}+p_{0}}{q_{1}+q_{0}}},{\frac {p_{1}}{q_{1}}}\right)=\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)\!.$ Assume that the inductive hypothesis is true for the k-th interval. If k is odd, this interval is: $\left({\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}},{\frac {p_{k}}{q_{k}}}\right)\!.$ The mediant of its endpoints ${\frac {2p_{k}+p_{k-1}}{2q_{k}+q_{k-1}}}={\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ is the first fraction in the sequence between these endpoints. Hence, ${\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ In this inequality, ${\frac {p_{k}}{q_{k}}}$ has the smallest denominator, so the second fraction is the mediant of ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ and ${\frac {p_{k}}{q_{k}}},$ which equals ${\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}.$ This implies: ${\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ Therefore, the (k + 1)-st interval is $\left({\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}},{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}\right)\!.$ This is the desired interval; ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ is the left endpoint because k + 1 is even. Thus, the inductive hypothesis is true for the (k + 1)-st interval. For even k, the proof is similar. This completes the inductive proof. Since the right endpoints of the intervals are decreasing and every other endpoint is ${\frac {p_{2n-1}}{q_{2n-1}}},$ their limit equals $\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}.$ The left endpoints have the same limit because they are increasing and every other endpoint is ${\frac {p_{2n}}{q_{2n}}}.$ As mentioned above, this limit is the continued fraction $[0;2,2,\dots ],$ which equals ${\sqrt {2}}-1.$ ^[17]

Кантор 1879 г.

Везде плотный

В 1879 году Кантор опубликовал новое доказательство неисправности, которое изменяет его доказательство 1874 года. Сначала он определяет топологическое представление о том, что точечный набор P «везде плотный в интервале»: ^{[ E ]}

Если P лежит частично или полностью в интервале [α, β], то может произойти замечательный случай, что каждый интервал [γ, Δ] содержится в [α, β], независимо от того, насколько мал, содержит точки p . В таком случае мы скажем, что повсюду P плотный в интервале [α, β]. ^{[ F ]}

В этом обсуждении доказательства Кантора: A , B , C , D используются вместо α, β, γ, δ. Кроме того, Кантор использует свою интервальную нотацию только в том случае, если первая конечная точка меньше, чем вторая. Для этого обсуждения это означает, что ( a , b ) подразумевает A < b .

Поскольку обсуждение доказательства Кантора 1874 года было упрощено с использованием открытых интервалов, а не закрытых интервалов, здесь используется та же упрощение. Это требует эквивалентного определения везде плотного: набор P повсюду плотный в интервале [ A , B если и только тогда, когда каждый открытый субтерваль ( C , D ) из [ a , b ] содержит как минимум одну точку P. ] , ^{[ 18 ]}

Кантор не указал, сколько точек P открытого поднтерваля ( C , D ) должно содержать. Ему не нужно было указывать это, потому что предположение о том, что каждый открытый поднтерваль содержит по крайней мере одно точке P, , что каждый открытый субтерваль содержит бесконечно много точек P. подразумевает ^{[ G ]}

Доказательство Кантора 1879 года

Кантор изменил свое доказательство 1874 года новым доказательством его второй теоремы : Учитывая любую последовательность P реальных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ], есть число в [ a , б ] это не содержится в с . Новое доказательство Кантора имеет только два случая. Во -первых, он обрабатывает случай, когда P не является плотным в интервале, а затем касается более сложного случая, когда P плотный в интервале. Это разделение на случаи не только указывает, какие последовательности труднее справиться, но также показывает важную роль плотности роли в доказательстве. ^{[ Доказательство 1 ]}

В первом случае P не является плотным в [ a , b ]. По определению, P плотный в [ a , b ], если и только тогда, когда для всех субтервалов ( C , D ) из [ a , b ] есть x ∈ P , такой, что x ∈ ( c , d ) . Принимая отрицание каждой стороны «если и только тогда, если», производит: P не является плотным в [ a , b ], если и только если существует subinterval ( c , d ) [ a , b ], что для всех x ∈ P : x ∉ ( c , D ) . Следовательно, каждое число в ( c , d ) не содержится в последовательности p . ^{[ Доказательство 1 ]} Этот случай обрабатывает случай 1 и случай 3 доказательства Кантора 1874 года.

Во втором случае, который обрабатывает случай 2 доказательства Кантора 1874 года, P плотно в [ a , b ]. Плотность последовательности P используется для рекурсивного определения последовательности вложенных интервалов, которая исключает все числа из P и чье пересечение содержит одно действительное число из [ a , b ]. Последовательность интервалов начинается с ( a , b ). Учитывая интервал в последовательности, следующий интервал получается путем нахождения двух чисел с наименьшими индексами, принадлежащих P и текущему интервалу. Эти два числа являются конечными точками следующего открытого интервала. Поскольку открытый интервал исключает свои конечные точки, каждый вложенный интервал исключает два числа из начала последовательности P что пересечение вложенных интервалов исключает все числа в P. , что означает , ^{[ Доказательство 1 ]} Подробности этого доказательства и доказательство того, что это пересечение содержит одно действительное число из [ a , b ], приведены ниже.

Определение и доказательства для вложенных интервалов
The denseness of sequence P is used to recursively define a nested sequence of intervals that excludes all of the numbers in P. The base case starts with the interval (a, b). Since P is dense in [a, b], there are infinitely many numbers of P in (a, b). Let x_k₁ be the number with the least index and x_k₂ be the number with the next larger index, and let a₁ be the smaller and b₁ be the larger of these two numbers. Then, k₁ < k₂, a < a₁ < b₁ < b, and (a₁, b₁) is a proper subinterval of (a, b). Also, x_m ∉ (a₁, b₁) for m ≤ k₂ since these x_m are the endpoints of (a₁, b₁). Repeating the above proof with the interval (a₁, b₁) produces k₃, k₄, a₂, b₂ such that k₁ < k₂ < k₃ < k₄ and a < a₁ < a₂ < b₂ < b₁ < b and x_m ∉ (a₂, b₂) for m ≤ k₄.^{[proof 1]} The recursive step starts with the interval (a_n–1, b_n–1), the inequalities k₁ < k₂ < . . . < k_2n–2 < k_2n–1 and a < a₁ < . . . < a_n–1 < b_n–1 . . . < b₁ < b, and the fact that the interval (a_n–1, b_n–1) excludes the first 2n –2 members of the sequence P — that is, x_m ∉ (a_n–1, b_n–1) for m ≤ k_2n–2. Since P is dense in [a, b], there are infinitely many numbers of P in (a_n–1, b_n–1). Let x_{k_2n –1} be the number with the least index and x_{k_2n} be the number with the next larger index, and let a_n be the smaller and b_n be the larger of these two numbers. Then, k_2n –1 < k_2n, a_n–1 < a_n < b_n < b_n–1, and (a_n, b_n) is a proper subinterval of (a_n–1, b_n–1). Combining these inequalities with the ones for step n –1 of the recursion produces k₁ < k₂ < . . . < k_2n–1 < k_2n and a < a₁ < . . . < a_n < b_n . . . < b₁ < b. Also, x_m ∉ (a_n, b_n) for m = k_2n–1 and m = k_2n since these x_m are the endpoints of (a_n, b_n). This together with (a_n–1, b_n–1) excluding the first 2n –2 members of sequence P implies that the interval (a_n, b_n) excludes the first 2n members of P — that is, x_m ∉ (a_n, b_n) for m ≤ k_2n. Therefore, for all n, x_n ∉ (a_n, b_n) since n ≤ k_2n.^{[proof 1]} The sequence a_n is increasing and bounded above by b, so the limit A = lim_n → ∞ a_n exists. Similarly, the limit B = lim_n → ∞ b_n exists since the sequence b_n is decreasing and bounded below by a. Also, a_n < b_n implies A ≤ B. If A < B, then for every n: x_n ∉ (A, B) because x_n is not in the larger interval (a_n, b_n). This contradicts P being dense in [a, b]. Hence, A = B. For all n, A ∈ (a_n, b_n) but x_n ∉ (a_n, b_n). Therefore, A is a number in [a, b] that is not contained in P.^{[proof 1]}

Развитие идей Кантора

Развитие событий, приведшее к написанию статьи Кантора 1874 года, появляется в переписке между Кантором и Ричардом Дедекиндом . 29 ноября 1873 года Кантор спросил Дедекинда, «можно ли соотнести набор положительных целых чисел и набор положительных действительных чисел так, чтобы каждый индивидуум одного набора соответствовал одному и только одному индивидууму из другого?» что наборы, имеющие такое соответствие, включают наборы положительных рациональных чисел и наборы вида ( an _{Кантор добавил , ₁ , n ₂ ,..., n _ν} ), где n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν и ν — положительные целые числа. ^{[ 19 ]}

Дедекинд ответил, что не может ответить на вопрос Кантора, и сказал, что он «не заслуживает слишком больших усилий, поскольку не имеет особого практического интереса». Дедекинд также послал Кантору доказательство того, что множество алгебраических чисел счетно. ^{[ 20 ]}

2 декабря Кантор ответил, что его вопрос действительно представляет интерес: «Было бы хорошо, если бы на него можно было ответить; например, при условии, что на него можно ответить «нет» , можно было бы получить новое доказательство теоремы Лиувилля о существовании трансцендентных чисел. " ^{[ 21 ]}

7 декабря Кантор отправил Дедекинду доказательство от противного , что множество действительных чисел неисчислимо. Кантор начинает с предположения, что действительные числа в $[0,1]$ может быть написан как последовательность. Затем он применяет конструкцию к этой последовательности, чтобы произвести число в $[0,1]$ Это не в последовательности, таким образом, противоречит его предположению. ^{[ 22 ]} Вместе буквы 2 и 7 декабря предоставляют неконструктивное доказательство существования трансцендентальных чисел. ^{[ 23 ]} Кроме того, доказательство в письме Кантора 7 декабря показывает некоторые из причин, которые привели к его открытию, что реальные цифры образуют неосведомленный набор. ^{[ 24 ]}

Кантор 7 декабря 1873 г. Доказательство
The proof is by contradiction and starts by assuming that the real numbers in $[0,1]$ can be written as a sequence: $(\mathrm {I} )\;\;\omega _{1},\,\omega _{2},\,\omega _{3},\,\ldots ,\,\omega _{n},\,\ldots$ An increasing sequence is extracted from this sequence by letting $\omega _{1}^{1}=$ the first term $,\ \omega _{1}^{2}=$ the next largest term following $\omega _{1}^{1},\ \omega _{1}^{3}=$ the next largest term following $\omega _{1}^{2},$ and so forth. The same procedure is applied to the remaining members of the original sequence to extract another increasing sequence. By continuing this process of extracting sequences, one sees that the sequence $(\mathrm {I} )$ can be decomposed into the infinitely many sequences:^[22] $(1)\;\;\omega _{1}^{1},\,\omega _{1}^{2},\,\omega _{1}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{1}^{n},\,\ldots$ $(2)\;\;\omega _{2}^{1},\,\omega _{2}^{2},\,\omega _{2}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{2}^{n},\,\ldots$ $(3)\;\;\omega _{3}^{1},\,\omega _{3}^{2},\,\omega _{3}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{3}^{n},\,\ldots$ $\ \ \vdots$ Let $[p,q]$ be an interval such that no term of sequence (1) lies in it. For example, let $p$ and $q$ satisfy $\omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{2}.$ Then $\omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{n}$ for $n\geq 2,$ so no term of sequence (1) lies in $[p,q].$ ^[22] Now consider whether the terms of the other sequences lie outside $[p,q].$ All terms of some of these sequences may lie outside of $[p,q];$ however, there must be some sequence such that not all its terms lie outside $[p,q].$ Otherwise, the numbers in $[p,q]$ would not be contained in sequence $(\mathrm {I} ),$ contrary to the initial hypothesis. Let sequence $(k)$ be the first sequence that contains a term in $[p,q]$ and let $\omega _{k}^{n}$ be the first term. Since $p<\omega _{k}^{n}<q,$ let $p_{1}$ and $q_{1}$ satisfy $p<p_{1}<q_{1}<\omega _{k}^{n}<q.$ Then $[p,q]$ is a proper superset of $[p_{1},q_{1}]$ (in symbols, $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ ). Also, the terms of sequences $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ lie outside of $[p_{1},q_{1}].$ ^[22] Repeat the above argument starting with $[p_{1},q_{1}]\!:\,$ Let sequence $(k_{1})$ be the first sequence containing a term in $[p_{1},q_{1}]$ and let $\omega _{k_{1}}^{n}$ be the first term. Since $\ p_{1}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1},$ let $p_{2}$ and $q_{2}$ satisfy $p_{1}<p_{2}<q_{2}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1}.$ Then $[p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]$ and the terms of sequences $(k_{1}),\ldots ,(k_{2}-1)$ lie outside of $[p_{2},q_{2}].$ ^[22] One sees that it is possible to form an infinite sequence of nested intervals $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ such that: the members of the $1^{\text{st}},2^{\text{nd}},\ldots ,(k-1)^{\text{st}}$ sequence lie outside $[p,q];$ the members of the $k^{\text{th}},\ldots ,(k_{1}-1)^{\text{st}}$ sequence lie outside $[p_{1},q_{1}];$ the members of the $(k_{1})^{\text{th}},\ldots ,(k_{2}-1)^{\text{st}}$ sequence lie outside $[p_{2},q_{2}];$ $\ldots ;$ ^[22] Since $p_{n}$ and $q_{n}$ are bounded monotonic sequences, the limits $\lim _{n\to \infty }p_{n}$ and $\lim _{n\to \infty }q_{n}$ exist. Also, $p_{n}<q_{n}$ for all $n$ implies $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ Hence, there is at least one number $\eta$ in $(0,1)$ that lies in all the intervals $[p,q]$ and $[p_{n},q_{n}].$ Namely, $\eta$ can be any number in $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ This implies that $\eta$ lies outside all the sequences $(1),(2),(3),\ldots ,$ contradicting the initial hypothesis that sequence $(\mathrm {I} )$ contains all the real numbers in $[0,1].$ Therefore, the set of all real numbers is uncountable.^[22]

Dedekind получил доказательство Кантора 8 декабря. В тот же день Dedekind упростил доказательство и отправил свое доказательство Кантора. Кантор использовал доказательство Дедекинда в своей статье. ^{[ 25 ]} Письмо, содержащее доказательство Кантора от 7 декабря, не было опубликовано до 1937 года. ^{[ 26 ]}

9 декабря Кантор объявил теорему, которая позволила ему построить трансцендентные числа, а также доказать несчетность множества действительных чисел:

Я прямо показываю, что если я начну с последовательности

(1) ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n , ...

Я могу определить в каждом заданном интервале [ α , β ] число η , не входящее в (1). ^{[ 27 ]}

Это вторая теорема статьи Кантора. Это связано с осознанием того, что его конструкцию можно применить к любой последовательности, а не только к последовательностям, которые предположительно перечисляют действительные числа. Итак, у Кантора был выбор между двумя доказательствами, демонстрирующими существование трансцендентных чисел: одно доказательство конструктивно, а другое — нет. Эти два доказательства можно сравнить, начав с последовательности, состоящей из всех действительных алгебраических чисел.

Конструктивное доказательство применяет конструкцию Кантора к этой последовательности и интервалу [ a , b ] для получения трансцендентного числа в этом интервале. ^{[ 5 ]}

Неконструктивное доказательство использует два доказательства от противного:

Доказательство от противного, используемое для доказательства теоремы о несчетности (см. Доказательство теоремы Кантора о несчетности ).
Доказательство от противоречия, используемое для доказывания существования трансцендентных чисел от счетной числа реальных алгебраических чисел и неисправности реальных чисел. В письме Кантора 2 декабря упоминается это доказательство существования, но не содержит его. ] нет трансцендентных чисел Вот доказательство: предположим, что в [ a , b . Тогда все числа в [ a , b ] являются алгебраическими. Это подразумевает, что они формируют последующую последовательность всех реальных алгебраических чисел, которые противоречат теореме о нес довольной кантора. Таким образом, предположение, что нет трансцендентных чисел в [ a , b ], является ложным. Следовательно, существует трансцендентное число в [ a , b ]. ^{[ Ч ]}

Кантор решил опубликовать конструктивное доказательство, которое не только дает трансцендентное число, но и короче и позволяет избежать двух доказательств от противного. Неконструктивное доказательство из переписки Кантора проще, чем приведенное выше, поскольку оно работает со всеми действительными числами, а не с интервалом [ a , b ]. Это исключает шаг подпоследовательности и все вхождения [ a , b ] во втором доказательстве от противного. ^{[ 5 ]}

Заблуждение о творчестве Кантора

Акихиро Канамори , специализирующийся на теории множеств, заявил, что «Описания работ Кантора в основном меняют порядок вывода о существовании трансцендентных чисел, устанавливая сначала несчетность действительных чисел и только затем делая вывод о существовании из счетности алгебраических чисел. В учебниках инверсия может быть неизбежна, но это способствовало ошибочному представлению о неконструктивности аргументов Кантора». ^{[ 29 ]}

Опубликованное доказательство Кантора и доказательство обратного порядка Используют теорему: Учитывая последовательность реальных, можно найти реальную, которая не находится в последовательности. Применяя эту теорему к последовательности реальных алгебраических чисел, Кантор произвел трансцендентное число. Затем он доказал, что реальные являются бесчисленными: предположим, что существует последовательность, содержащая все реальные. Применение теоремы к этой последовательности создает реальное не в последовательности, противоречащей предположению, что последовательность содержит все реальные. Следовательно, реальные бесчисленные. ^{[ 5 ]} Доказательство обратного порядка начинается с первого доказывания, что реальные являются бесчисленными. Затем это доказывает, что существуют трансцендентные числа: если бы не было трансцендентных чисел, все реальные были бы алгебраичными и, следовательно, счетными, что противоречит тому, что было только что доказано. Это противоречие доказывает, что трансцендентные числа существуют без каких -либо построения. ^{[ 29 ]}

Переписка, содержащая неконструктивные рассуждения Кантора, была опубликована в 1937 году. К тому времени другие математики заново открыли его неконструктивное доказательство обратного порядка. Еще в 1921 году это доказательство было названо «доказательством Кантора» и подвергнуто критике за отсутствие каких-либо трансцендентных чисел. ^{[ 30 ]} В том же году Оскар Перрон дал доказательство в обратном порядке, а затем заявил: «... Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел имеет, наряду с его простотой и элегантностью, тот большой недостаток, что это всего лишь доказательство существования; не позволяют нам фактически указать хотя бы одно трансцендентное число». ^{[ 31 ]}^{[ Я ]}

Еще в 1930 году некоторые математики пытались исправить это заблуждение о работе Кантора. В том же году теоретик -сет Авраам Фраенкель заявил, что метод Кантора - «... Метод, который, кстати, вопреки широко распространенной интерпретации, является принципиально конструктивным и не просто экзистенциальным». ^{[ 32 ]} В 1972 году Ирвинг Капланский писал: «Часто говорят, что доказательство Кантора не является« конструктивным », и поэтому не дает осязаемого трансцендентального числа. Это замечание не оправдано. Если мы установим определенный список всех алгебраических чисел .. . и затем примените диагональную процедуру ..., мы получаем совершенно определенное трансцендентное число (это может быть рассчитано на любое количество десятичных знаков) ». ^{[ 33 ]}^{[ Дж ]} Доказательство Кантора не только конструктивно, но и проще, чем доказательство Перрона, которое требует обходного пути и сначала доказывает, что множество всех действительных чисел несчетно. ^{[ 34 ]}

Диагональный аргумент Кантора часто заменял его конструкцию 1874 года в изложении его доказательства. Диагональный аргумент конструктивен и создает более эффективную компьютерную программу, чем его конструкция 1874 года. С его помощью была написана компьютерная программа, вычисляющая цифры трансцендентного числа за полиномиальное время . Программа, использующая конструкцию Кантора 1874 года, требует как минимум субэкспоненциального времени . ^{[ 35 ]}^{[ К ]}

Представление неконструктивного доказательства без упоминания конструктивного доказательства Кантора появляется в некоторых книгах, которые были весьма успешными, если судить по продолжительности появления новых изданий или переизданий, например: «Иррациональный принцип» Оскара Перрона (1921; 1960, 4-е издание), Эрик Темпл Белла «Люди математики» (1937; до сих пор переиздается), Годфри Харди и Э.М. Райт « Введение в Теория чисел (1938; 6-е издание 2008 г.), » Гаррета Биркгофа и Сондерса Маклейна «Обзор современной алгебры (1941; 5-е издание 1997 г.) и Майкла Спивака «Исчисление» (1967; 4-е издание 2008 г.). ^{[ 36 ]}^{[ L ]} С 2014 года появилось по крайней мере две книги, заявив, что доказательство Кантора конструктивно, ^{[ 37 ]} И по крайней мере четыре появились, заявив, что его доказательство не строит ни одного (или единого) трансцендентального. ^{[ 38 ]}

Утверждая, что Кантор дал неконструктивный аргумент, не упоминая конструктивное доказательство, которое он опубликовал, может привести к ошибочным утверждениям об истории математики . В обзоре современной алгебры, Birkhoff и Mac Lane State: «Аргумент Кантора для этого результата [не каждое реальное число является алгебраическим], сначала было отвергнуто многими математиками, поскольку он не демонстрировал какого -либо конкретного трансцендентального числа». ^{[ 39 ]} Доказательство, опубликованное Кантором, дает трансцендентные числа, и, похоже, нет никаких доказательств того, что его аргумент был отвергнут. Даже Леопольд Кронекер , имевший строгие взгляды на то, что допустимо в математике и который мог отложить публикацию статьи Кантора, не стал медлить с ней. ^{[ 4 ]} Фактически, применение конструкции Кантора к последовательности действительных алгебраических чисел приводит к предельному процессу, который принял Кронекер, а именно: он определяет число с любой необходимой степенью точности. ^{[ М ]}

Влияние Вейерштрасса и Кронекера на статью Кантора

Историки математики обнаружили следующие факты о статье Кантора «О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»:

Теорема о бесоценке Кантора была исключена из статьи, которую он представил. Он добавил это во время коррекции . ^{[ 43 ]}
Название статьи относится к набору реальных алгебраических чисел. Основной темой в переписке Кантора был набор реальных чисел. ^{[ 44 ]}
Доказательство второй теоремы Кантора пришло от Dedekind. менее, он опускает объяснение Дедекинда о том, почему существуют ограничения ∞ _{Тем не} и b _∞ . ^{[ 45 ]}
Кантор ограничил свою первую теорему набором реальных алгебраических чисел. Доказательство, которое он использовал, демонстрирует счетность набора всех алгебраических чисел. ^{[ 20 ]}

Чтобы объяснить эти факты, историки указали на влияние бывших профессоров Кантора, Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера. Кантор обсудил свои результаты с Вейерштрас 23 декабря 1873 года. ^{[ 46 ]} Вейерштрас был сначала поражен концепцией счетности, но затем обнаружил полезную оценку набора реальных алгебраических чисел. ^{[ 47 ]} Кантор еще не хотел публиковать, но Вейерштрас чувствовал, что он должен опубликовать хотя бы свои результаты, касающиеся алгебраических номеров. ^{[ 46 ]}

Из его переписки кажется, что Кантор обсудил свою статью только с Вейерштрас. Тем не менее, Кантор сказал Dedekind: «Ограничение, которое я наложил на опубликованную версию моих расследований, частично вызвано местными обстоятельствами ...» ^{[ 46 ]} Биограф -кантор Джозеф Дабен считает, что «местные обстоятельства» относится к Кронекеру, который, как член редакционного совета журнала Crelle's , отложил публикацию статьи 1870 года Эдуарда Хейне , одного из коллег -Кантора. Кантор отправит свою статью в журнал Crelle's Journal . ^{[ 48 ]}

Вейерштрасс посоветовал Канрору оставить свою теорему о неисправности из статьи, которую он представил, но Вейерштрас также сказал Кантору, что может добавить ее в качестве маргинальной записки во время корректуры, что он и сделал. ^{[ 43 ]} Он появляется в замечание в конце введения статьи . Мнения Кронекера и Вейерштрасса сыграли здесь свою роль. Кронекер не принимал бесконечные наборы, и кажется, что Вейерштрас не согласился с тем, что два бесконечных набора могут быть настолько разными, а один из них был исчисляется, а другой нет. ^{[ 49 ]} Вейерштрас изменил свое мнение позже. ^{[ 50 ]} Без теоремы о неисправности статья нуждалась в названии, который не ссылался на эту теорему. Кантор выбрал «Ueber Eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller Reellen Algebraischen Zahlen» («На свойство коллекции всех реальных алгебраических чисел»), что относится к количеству счетов набора реальных алгебраических чисел, в результате, что Вейерстрас нашел полезным. ^{[ 51 ]}

Влияние Кронекера появляется в доказательстве второй теоремы Кантора. Кантор использовал версию доказательства Дедекинда, за исключением случаев, почему ограничивает A _∞ = lim _{n → ∞} A _n и B _∞ = lim _{n → ∞} B _n существует. Дедекинд использовал свой «принцип преемственности», чтобы доказать, что они существуют. Этот принцип (который эквивалентен наименьшему свойству верхней границы реальных чисел) происходит от строительства реальных чисел Дедекинда, строительный кронекер не принял. ^{[ 52 ]}

Кантор ограничил свою первую теорему набором реальных алгебраических чисел, хотя Дедекинд послал ему доказательство, которое обрабатывало все алгебраические номера. ^{[ 20 ]} Кантор делал это по пояснительным причинам и из -за «местных обстоятельств». ^{[ 53 ]} Это ограничение упрощает статью, потому что вторая теорема работает с реальными последовательностями. Следовательно, конструкция во второй теореме может быть применена непосредственно к перечислению реальных алгебраических чисел для создания «эффективной процедуры для расчета трансцендентальных чисел». Эта процедура была бы приемлемой для Вейерштрасса. ^{[ 54 ]}

Вклад Dedekind в статью Кантора

С 1856 года Дедекинд разработал теории, включающие бесконечное множество бесконечных множеств, например: идеалы , которые он использовал в теории алгебраических чисел , и дедекиндовые разрезы , которые он использовал для построения действительных чисел. Эта работа позволила ему понять и внести свой вклад в работу Кантора. ^{[ 55 ]}

Первый вклад Дедекинда касается теоремы о счетности множества действительных алгебраических чисел. Кантору обычно приписывают эту теорему, но историк математики Хосе Феррейрос называет ее «теоремой Дедекинда». Их переписка показывает, какой вклад каждый математик внес в теорему. ^{[ 56 ]}

В своем письме, введении концепции счетной оценки, Кантор не заявил, что набор положительных рациональных чисел является рассчитанным, как и наборы формы ( a _{n ₁ , n ₂ , ..., n _ν} ), где n ₁ , n ₂ , ..., n _ν и ν - позитивные целые числа. ^{[ 57 ]} Второй результат Кантора использует индексированное семейство чисел: набор формы ( a _{n ₁ , n ₂ , ..., n _ν} ) - это диапазон функции от индексов ν до набора реальных чисел. Его второй результат подразумевает его первый: пусть ν 2 и n _{= ₁ , n ₂} = ⁠ п ₁ / п ₂ ⁠ . Функция может быть весьма общей — например, a _{n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ , n ₅} = ( ⁠ n ₁/ n ₂⁠ ) ^{⁠ 1 / n ₃⁠} + загар ( ⁠ n ₄/ n ₅⁠ ).

Дедекинд ответил доказательством теоремы о счетности множества всех алгебраических чисел. ^{[ 20 ]} В своем ответе на Dedekind Кантор не утверждал, что доказал результат DeDekind. Он указывал, как он доказал свою теорему об индексированных семьях чисел: «Ваше доказательство того, что ( n ) [набор положительных целых чисел] может быть коррелирован один-к-одному с полем всех алгебраических чисел примерно так же, как и путь Я доказываю свое утверждение в последней . _букве² + n ₂² + ··· + n _ν² = ${\mathfrak {N}}$ и заказать элементы соответственно. " ^{[ 58 ]} Тем не менее, упорядочение Кантора слабее, чем у Dedekind и не может быть расширен на $n$ -Порат целых чисел, которые включают нули. ^{[ 59 ]}

Второй вклад Дедекинда — доказательство второй теоремы Кантора. Дедекинд отправил это доказательство в ответ на письмо Кантора, содержащее теорему о несчетности, которую Кантор доказал, используя бесконечное число последовательностей. Затем Кантор написал, что нашел более простое доказательство, не использующее бесконечное количество последовательностей. ^{[ 60 ]} Итак, у Кантора был выбор доказательств, и он решил опубликовать доказательства Дедекинда. ^{[ 61 ]}

Кантор в частном порядке поблагодарил Дедекинда за помощь: «...ваши комментарии (которые я высоко ценю) и ваша манера излагать некоторые моменты оказали мне большую помощь». ^{[ 46 ]} Однако в своей статье он не упомянул о помощи Дедекинда. В предыдущих статьях он выразил признательность за помощь, полученную от Кронекера, Вейерштрасса, Гейне и Германа Шварца . Неупоминание Кантора о вкладе Дедекинда повредило его отношениям с Дедекиндом. Дедекинд перестал отвечать на его письма и возобновил переписку только в октябре 1876 года. ^{[ 62 ]}^{[ N ]}

Наследие статьи Кантора

В статье Кантора была представлена теорема о неисправности и концепцию счетности. Оба приведут к значительным событиям в математике. Теорема о неисправности продемонстрировала, что для анализа бесконечных наборов можно использовать соответствие один к одному. В 1878 году Кантор использовал их для определения и сравнения кардинальности. Он также построил один на один соответствие, чтобы доказать, что n -мерные пространства r ^не (где r - набор реальных чисел), а набор иррациональных чисел имеет такую же кардинальность, что и r . ^{[ 63 ]}^{[ O ]}

В 1883 году Кантор расширил положительные целые числа своими бесконечными ординалами . Это расширение было необходимо для его работы над теоремой Кантора -Бендикссона . Кантор обнаружил другие применения для ординалов - например, он использовал наборы ординал для создания бесконечности наборов, имеющих разные бесконечные кардинальности. ^{[ 65 ]} Его работа над бесконечными наборами вместе с теоретической работой Dedekind создала теорию наборов. ^{[ 66 ]}

Концепция счетной оценки привела к исчисляемым операциям и объектам, которые используются в различных областях математики. Например, в 1878 году Кантор внедрил счетные профсоюзы наборов. ^{[ 67 ]} В 1890 -х годах Эмиле Борел использовал счетные профсоюзы в своей теории измерения , а Рене Байр использовал счетные ординалы для определения своих классов функций . ^{[ 68 ]} Основываясь на работе Borel и Baire, Анри Лебег создал свои теории меры и интеграции , которые были опубликованы с 1899 по 1901 год. ^{[ 69 ]}

Основные модели используются в теории наборов. В 1922 году Торальф Сколем доказал, что если обычные аксиомы теории наборов последовательны , то они имеют счетную модель. Поскольку эта модель является оценкой, ее набор реальных чисел является рассчитанным. Это следствие называется парадоксом Сколема , и Сколем объяснил, почему он не противоречит теореме о нес довольной кантора: хотя между этим набором существует единая переписка, и набор положительных целых чисел, нет такого к одному соответствию. модели. Таким образом, модель считает, что его набор реальных чисел является бесчисленным, или, точнее, предложение первого порядка , в котором говорится, что набор реальных чисел является бесчисленным в модели. ^{[ 70 ]} В 1963 году Пол Коэн использовал счетные модели для доказательства своих теорем независимости . ^{[ 71 ]}

См. также

Теорема Кантора

Примечания

↑ В письме Дедекинду от 25 декабря 1873 года Кантор заявляет, что он написал и представил «короткую статью» под названием « О свойстве множества всех действительных алгебраических чисел» . ( Нётер и Кавайлес, 1937 , стр. 17; английский перевод: Эвальд, 1996 , стр. 847.)
^ Отсюда следует остальная часть теоремы , ] существует бесконечно много чисел а именно: в [ a , b , не содержащихся в данной последовательности. Например, пусть $[0,1]$ — интервал и рассмотрим его подинтервалы $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ Поскольку эти подинтервалы попарно не пересекаются , применение первой части теоремы к каждому подинтервалу дает бесконечно много чисел в $[0,1]$ которые не содержатся в данной последовательности. В целом для интервала $[a,b],$ применить первую часть теоремы к подинтервалам $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots .$
^ Кантор не доказывает эту лемму. сноске к случаю 2 он утверждает, что n _не лежит внутри интервала [ an _x , bn _В ]. ^{[ 11 ]} Это доказательство основано на его доказательстве 1879 года , которое содержит более сложное индуктивное доказательство, демонстрирующее несколько свойств сгенерированных интервалов, включая доказанное здесь свойство.
^ что он генерирует последовательность замкнутых интервалов [ an _{том ,} , bn _{Основное различие между доказательством Кантора и приведенным выше доказательством состоит в} ]. найти a _{n + 1} bn + _{an 1} , он использует часть интервала [ , _Чтобы bn ] ₎ , который является открытым интервалом ( an _, внутреннюю bn _и . Генерация открытых интервалов сочетает в себе использование Кантором закрытых интервалов и их внутренностей, что позволяет диаграммам случаев отображать все детали доказательства.
^ Кантор не был первым, кто дал определение «везде плотный», но его терминология была принята с «везде плотным» или без него (везде плотный: Архангельский и Федорчук 1990 , стр. 15; плотный: Келли 1991 , стр. 49). В 1870 году Герман Ханкель определил это понятие, используя другую терминологию: «множество точек... заполняет отрезок , если внутри отрезка не может быть задан интервал, каким бы малым он ни был, в котором нельзя найти хотя бы одну точку из этого множества». ( Феррейрос 2007 , стр. 155). Ханкель опирался на статью Питера Густава Лежена Дирихле 1829 года, в которой содержится функция Дирихле , неинтегрируемая Риману по функция , значение которой равно 0 для рациональных чисел и 1 для иррациональных чисел . ( Феррейрос 2007 , стр. 149.)
^ Перевод Кантора 1879 , с. 2: частично или полностью лежит Если P в интервале (α...β), то может произойти замечательный случай, когда каждый интервал (γ...δ), каким бы малым он ни был, содержится в (α...β). ) содержит точки P . В таком случае мы хотим сказать, что P в интервале (α...β) плотно всюду .
^ Это доказывается путем создания последовательности точек, принадлежащих как P , так и ( c , d ). Поскольку P плотно в [ a , b ], подинтервал ( c , d хотя бы одну точку x ₁ из P. ) содержит По предположению, подинтервал ( x ₁ , d ) содержит хотя бы одну точку x ₂ из P и x ₂ > x _1, поскольку x ₂ принадлежит этому подинтервалу. В общем, после генерации x _n подинтервал (x _n , d ) используется для создания точки x _{n + 1,} удовлетворяющей x _{n + 1} > x _n . Бесконечное множество точек принадлежат _xn как P , так и ( c , d ).
^ Начало этого доказательства получено из доказательства ниже путем ограничения его чисел до интервала [ a , b ] и с использованием последующей последовательности, поскольку Кантор использовал последовательности в своей работе 1873 года по счете.
Немецкий текст: предложение 68. Существуют трансцендентные числа.
Если бы не было трансцендентов, все числа были бы алгебраичными, поэтому континуум будет идентичен количеству всех алгебраических чисел. Тем не менее, это невозможно, потому что количество всех алгебраических чисел может быть подсчитано, но континуум - нет. ^{[ 28 ]}
Перевод: Теорема 68. Существуют трансцендентные номера.
Если бы не было трансцендентальных чисел, то все числа были бы алгебраичными. Следовательно, континуум будет идентичен набору всех алгебраических чисел. Однако это невозможно, потому что набор всех алгебраических чисел является счетным, но континуум - нет.
^ Под «доказательством Кантора» Перрон не подразумевает, что это доказательство, опубликованное Кантором. Скорее, он имеет в виду, что в доказательстве используются только аргументы, опубликованные Кантором. Например, чтобы получить вещественное число, не входящее в заданную последовательность, Перрон следует доказательству Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует диагональный аргумент Кантора 1891 года вместо аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения вещественного числа. Кантор никогда не использовал диагональный аргумент для опровержения своей теоремы. В этом случае и доказательство Кантора, и доказательство Перрона конструктивны, поэтому никаких заблуждений здесь возникнуть не может. Затем Перрон модифицирует доказательство Кантора существования трансцендентного, давая доказательство обратного порядка. Это превращает конструктивное доказательство Кантора 1874 года в неконструктивное доказательство, что приводит к неправильному представлению о работе Кантора.
^ Это доказательство то же самое, что и доказательство Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует его диагональный аргумент 1891 года вместо его аргумента вложенного в 1874 году, чтобы получить реальное.
^ Программа с использованием диагонального метода производит $n$ цифры в ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ шаги, в то время как программа, использующая метод 1874 $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ шаги для производства $n$ цифры. ( Грей 1994 , с. 822–823.)
^ Начиная с книги Харди и Райта, эти книги связаны с книгой Перрона с помощью их библиографий: книга Перрона упоминается в библиографии книги Харди и Райта, которая, в свою очередь, упоминается в библиографии «Библиография Биркхоффа» и «Книга Библиографии» и «Библиография». книги Спивака. ( Hardy & Wright 1938 , стр. 400; Birkhoff & Mac Lane 1941 , стр. 441; Spivak 1967 , p. 515.)
^ Мнение Кронекера заключалось в следующем: «Определения должны содержать средства достижения решения за конечное число шагов, а доказательства существования должны проводиться так, чтобы рассматриваемую величину можно было вычислить с любой необходимой степенью точности». ^{[ 40 ]} Таким образом, Кронекер принял аргумент Кантора как достоверное доказательство существования, но не принял его вывод о существовании трансцендентных чисел. По Кронекеру, они не существуют, потому что их определение не содержит средств для решения за конечное число шагов, является ли данное число трансцендентным. ^{[ 41 ]} Конструкция Кантора 1874 года вычисляет числа с любой необходимой степенью точности, потому что: Учитывая a k , n можно вычислить так, что b _n – a _n ≤ ⁠ 1 / k ⁠ где ( a _n , b _n ) — n -й интервал канторовой конструкции. Пример того, как это доказать, дан у Gray 1994 , с. 822. Диагональный аргумент Кантора обеспечивает точность 10. ^{− п} после того, как n действительных алгебраических чисел, поскольку каждое из этих чисел порождает одну цифру трансцендентного числа. вычислены ^{[ 42 ]}
^ Феррейрос проанализировал отношения между Кантором и Дедекиндом. Он объясняет, почему «отношения между обоими математиками были трудными после 1874 года, когда в них произошел перерыв...» ( Феррейрос 1993 , стр. 344, 348–352.)
^ Метод Кантора построения единого соответствия между набором иррациональных чисел и R может использоваться для построения одного между набором трансцендентальных чисел и r . ^{[ 64 ]} Конструкция начинается с набора трансцендентальных чисел t и удаляет исчисляемое подмножество { t _n } (например, t _n = ⁠ E / N ⁠ ). Пусть этот набор будет t ₀ . Тогда t = t ₀ ∪ { t _n } = t ₀ ∪ { t _{2 n - 1} } ∪ { t _{2 n} }, и r = t ∪ { a _n } = t ₀ ∪ { t _n } ∪ { a _n } где n _. - последовательность реальных алгебраических чисел Таким образом, оба T и R являются союзом трех парных дискретизационных наборов: T ₀ и два счетных набора. Соответствие одного к одному между t и r определяется функцией: g ( t ) = t, если t ∈ T ₀ , g ( t _{2 n -1} ) = t _n и g ( t _{2 n} ) = a _не

Примечание о доказательстве Кантора 1879 года

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^фон Поскольку доказательство Кантора не было опубликовано на английском языке, английский перевод дается вместе с оригинальным немецким текстом, который из Кантора 1879 , с. 5–7. Перевод начинает одно предложение перед доказательством, потому что в этом предложении упоминается доказательство Кантора 1874 года. Кантор заявляет, что он был напечатан в журнале Борчардта. Журнал Crelle's также был назван журналом Борчардта с 1856-1880, когда Карл Вильгельм Борчардт отредактировал журнал ( Audin 2011 , стр. 80). Квадратные кронштейны используются для определения этого упоминания о предыдущем доказательстве Кантора, для прояснения перевода и для предоставления номеров страниц. Кроме того, « Mannichfaltigkeit » (коллектор) был переведен как «установить», а нотация Кантора для закрытых наборов (α ... β) была переведена в [α, β]. Кантор изменил свою терминологию с Mannichfaltigkeit на Menge (Set) в своей статье 1883 года, в которой вводили наборы порядковых номеров ( Kanamori 2012 , стр. 5). В настоящее время в математике коллектор - это тип топологического пространства .

английский перевод	Немецкий текст
[Page 5] . . . But this contradicts a very general theorem, which we have proved with full rigor in Borchardt's Journal, Vol. 77, page 260; namely, the following theorem: "If one has a simply [countably] infinite sequence ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . of real, unequal numbers that proceed according to some rule, then in every given interval [α, β] a number η (and thus infinitely many of them) can be specified that does not occur in this sequence (as a member of it)." In view of the great interest in this theorem, not only in the present discussion, but also in many other arithmetical as well as analytical relations, it might not be superfluous if we develop the argument followed there [Cantor's 1874 proof] more clearly here by using simplifying modifications. Starting with the sequence: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . (which we give [denote by] the symbol (ω)) and an arbitrary interval [α, β], where α < β, we will now demonstrate that in this interval a real number η can be found that does not occur in (ω). I. We first notice that if our set (ω) is not everywhere dense in the interval [α, β], then within this interval another interval [γ, δ] must be present, all of whose numbers do not belong to (ω). From the interval [γ, δ], one can then choose any number for η. It lies in the interval [α, β] and definitely does not occur in our sequence (ω). Thus, this case presents no special considerations and we can move on to the more difficult case. II. Let the set (ω) be everywhere dense in the interval [α, β]. In this case, every interval [γ,δ] located in [α,β], however small, contains numbers of our sequence (ω). To show that, nevertheless, numbers η in the interval [α, β] exist that do not occur in (ω), we employ the following observation. Since some numbers in our sequence: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .	[Seite 5] . . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd. 77, pag. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz: "Hat man eine einfach unendliche Reihe ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt." In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis], unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln. Unter Zugrundelegung der Reihe: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . . β), wo α < β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω) nicht vorkommt. I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . . β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ . . . δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α . . . β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen. II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α . . . β) überall-dicht. In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α . . . β) gelegene Intervall (γ . . . δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α . . . β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an. Da in unserer Reihe: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
[Page 6] definitely occur within the interval [α, β], one of these numbers must have the least index, let it be ω_κ₁, and another: ω_κ₂ with the next larger index. Let the smaller of the two numbers ω_κ₁, ω_κ₂ be denoted by α', the larger by β'. (Their equality is impossible because we assumed that our sequence consists of nothing but unequal numbers.) Then according to the definition: α < α' < β' < β , furthermore: κ₁ < κ₂ ; and all numbers ω_μ of our sequence, for which μ ≤ κ₂, do not lie in the interior of the interval [α', β'], as is immediately clear from the definition of the numbers κ₁, κ₂. Similarly, let ω_κ₃ and ω_κ₄ be the two numbers of our sequence with smallest indices that fall in the interior of the interval [α', β'] and let the smaller of the numbers ω_κ₃, ω_κ₄ be denoted by α'', the larger by β''. Then one has: α' < α'' < β'' < β' , κ₂ < κ₃ < κ₄ ; and one sees that all numbers ω_μ of our sequence, for which μ ≤ κ₄, do not fall into the interior of the interval [α'', β'']. After one has followed this rule to reach an interval [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}], the next interval is produced by selecting the first two (i. e. with lowest indices) numbers of our sequence (ω) (let them be ω_{κ_{2ν - 1}} and ω_{κ_2ν}) that fall into the interior of [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]. Let the smaller of these two numbers be denoted by α^(ν), the larger by β^(ν). The interval [α^(ν), β^(ν)] then lies in the interior of all preceding intervals and has the specific relation with our sequence (ω) that all numbers ω_μ, for which μ ≤ κ_2ν, definitely do not lie in its interior. Since obviously: κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . . and these numbers, as indices, are whole numbers, so: κ_2ν ≥ 2ν , and hence: ν < κ_2ν ; thus, we can certainly say (and this is sufficient for the following): That if ν is an arbitrary whole number, the [real] quantity ω_ν lies outside the interval [α^(ν) . . . β^(ν)].	[Seite 6] sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α . . . β) vorkommen, so muss eine von diesen Zahlen den kleinsten Index haben, sie sei ω_κ₁, und eine andere: ω_κ₂ mit dem nächst grösseren Index behaftet sein. Die kleinere der beiden Zahlen ω_κ₁, ω_κ₂ werde mit α', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.) Es ist alsdann der Definition nach: α < α' < β' < β , ferner: κ₁ < κ₂ ; und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω_μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₂, nicht im Innern des Intervalls (α' . . . β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ₁, κ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') fallen und die kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α'', die grössere mit β'' bezeichnet. Man hat alsdann: α' < α'' < β'' < β' , κ₂ < κ₃ < κ₄ ; und man erkennt, dass alle Zahlen ω_μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₄ nicht in das Innere des Intervalls (α'' . . . β'') fallen. Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α^{(ν - 1)}, . . . β^{(ν - 1)}) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω_{κ_{2ν – 1}} und ω_{κ_2ν}), welche in das Innere von (α^{(ν – 1)} . . . β^{(ν – 1)}) fallen; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α^(ν), die grössere mit β^(ν) bezeichnet. Das Intervall (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω_μ, für welche μ ≤ κ_2ν sicher nicht in seinem Innern liegen. Da offenbar: κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . . und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, so ist: κ_2ν ≥ 2ν , und daher: ν < κ_2ν ; wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen: Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω_ν ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt.
[Page 7] Since the numbers α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . are continually increasing by value while simultaneously being enclosed in the interval [α, β], they have, by a well-known fundamental theorem of the theory of magnitudes [see note 2 below], a limit that we denote by A, so that: A = Lim α^(ν) for ν = ∞. The same applies to the numbers β', β'', β''', . . ., β^(ν), . . ., which are continually decreasing and likewise lying in the interval [α, β]. We call their limit B, so that: B = Lim β^(ν) for ν = ∞. Obviously, one has: α^(ν) < A ≤ B < β^(ν). But it is easy to see that the case A < B can not occur here since otherwise every number ω_ν of our sequence would lie outside of the interval [A, B] by lying outside the interval [α^(ν), β^(ν)]. So our sequence (ω) would not be everywhere dense in the interval [α, β], contrary to the assumption. Thus, there only remains the case A = B and now it is demonstrated that the number: η = A = B does not occur in our sequence (ω). If it were a member of our sequence, such as the ν^th, then one would have: η = ω_ν. But the latter equation is not possible for any value of ν because η is in the interior of the interval [α^(ν), β^(ν)], but ω_ν lies outside of it.	[Seite 7] Da die Zahlen α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass: A = Lim α^(ν) für ν = ∞. Ein Gleiches gilt für die Zahlen β', β'', β''', . . ., β^(ν), . . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α . . . β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass: B = Lim β^(ν) für ν = ∞. Man hat offenbar: α^(ν) < A ≤ B < β^(ν). Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung. Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt. Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν^te, so hätte man: η = ω_ν. Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α^(ν), β^(ν)], ω_ν aber ausserhalb desselben liegt.
Note 1: This is the only occurrence of "unserer Reihen" ("our sequences") in the proof. There is only one sequence involved in Cantor's proof and everywhere else "Reihe" ("sequence") is used, so it is most likely a typographical error and should be "unserer Reihe" ("our sequence"), which is how it has been translated. Note 2: Grössenlehre, which has been translated as "the theory of magnitudes", is a term used by 19th century German mathematicians that refers to the theory of discrete and continuous magnitudes. (Ferreirós 2007, pp. 41–42, 202.)

Ссылки

^ Даубен 1993 , с. 4.
^ Грей 1994 , стр. 819–821.
^ Jump up to: ^а ^б Кантор 1874 г. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–843.
^ Jump up to: ^а ^б Грей 1994 , с. 828.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Кантор 1874 , с. 259. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–841.
^ Кантор 1874 , с. 259. Английский перевод: Грей 1994 , с. 820.
^ Певица 1878 , с. 242.
^ Грей 1994 , с. 820.
^ Кантор 1874 , стр. 259–260. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 841.
^ Кантор 1874 , с. 260–261. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 841–842.
^ Jump up to: ^а ^б Кантор 1874 , с. 261. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 842.
^ Грей 1994 , с. 822.
^ Havil 2012 , с. 208-209.
^ Havil 2012 , p. 209
^ Leveque 1956 , стр. 154–155.
^ Leveque 1956 , p. 174.
^ Weisstein 2003 , p. 541.
^ Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , p. 16.
^ Noether & Cavaillès 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827; Ewald 1996 , p. 844.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Нётер и Кавай, 1937 , с. 18. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 848.
^ Нётер и Кавай, 1937 , с. 13. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^фон ^г Нётер и Кавай, 1937 , стр. 14–15. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 845–846.
^ Грей 1994 , с. 827
^ Даубен 1979 , с. 51.
^ Нётер и Кавай, 1937 , с. 19. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 849.
^ Эвальд 1996 , с. 843.
^ Нётер и Кавай, 1937 , с. 16. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827.
^ Перрон 1921 , с. 162.
^ Jump up to: ^а ^б Канамори 2012 , с. 4.
^ Грей 1994 , с. 827–828.
^ Perron 1921 , p. 162
^ Фраенкель 1930 , с. 237. Английский перевод: Грей 1994 , с. 823.
^ Kaplansky 1972 , p. 25
^ Грей 1994 , с. 829–830.
^ Грей 1994 , с. 821–824.
^ Bell 1937 , с. 568–569; Hardy & Wright 1938 , p. 159 (6 -е изд., С. 205–206); Birkhoff & Mac Lane 1941 , p. 392, (5 -е изд., С. 436–437); Spivak 1967 , с. 369–370 (4 -е изд., С. 448–449).
^ Дасгупта 2014 , с. 107; Sheppard 2014 , с. 131–132.
^ Джарвис 2014 , с. 18; Чоудхари 2015 , с. 19; Стюарт 2015 , с. 285; Стюарт и высокий 2015 , с. 333.
^ Birkhoff & Mac Lane 1941 , с. 392, (5 -е изд., С. 436–437).
^ Бертон 1995 , с. 595.
^ Dapots 1979 , p. 69
^ Грей 1994 , с. 824.
^ Jump up to: ^а ^б Ferreirós 2007 , p. 184.
^ Noether & Cavaillès 1937 , с. 12–16. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 843–846.
^ Dapots 1979 , p. 67
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Noether & Cavaillès 1937 , с. 16–17. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 847.
^ Граттан-Гуиннесс 1971 , с. 124
^ Dip's 1979 , стр. 67, 308-309.
^ Ferreirós 2007 , стр. 184–185, 245.
^ Ferreirós 2007 , p. 185: Неясно, когда изменилось его отношение, но есть доказательства того, что к середине 1880-х годов он пришел к выводу, что бесконечные наборы имеют разные полномочия [кардинальность].
^ Ferreirós 2007 , p. 177.
^ Dip's 1979 , стр. 67-68.
^ Ferreirós 2007 , p. 183.
^ Ferreirós 2007 , p. 185.
^ Ferreirós 2007 , стр. 109–111, 172–174.
^ Феррейрос 1993 , стр. 349–350.
^ Нётер и Кавай, 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 844–845.
^ Нётер и Кавай, 1937 , с. 13. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 845.
^ Феррейрос 2007 , с. 179.
^ Noether & Cavailles 1937 , стр. 14–16, 19. Английский перевод: Ewald 1996 , стр. 845–847, 849.
^ Феррейрос 1993 , стр. 358–359.
^ Феррейрос 1993 , с. 350.
^ Кантор 1878 , стр. 245–254.
^ Кантор 1879 , с. 4
^ Ferreirós 2007 , стр. 267–273.
^ Ferreirós 2007 , стр. XVI, 320–321, 324.
^ Кантор 1878 , с. 243.
^ Hawkins 1970 , pp. 103–106, 127.
^ Hawkins 1970 , pp. 118, 120–124, 127.
^ Ferreirós 2007 , стр. 362–363.
^ Cohen 1963 , с. 1143–1144.

Библиография

Архангельский, ав; Fedorchuk, VV (1990), «Основные концепции и конструкции общей топологии», в Arkhangel'skii, av; Pontryagin, LS (Eds.), General Topology I , New York, Berlin: Springer-Verlag, с. 1–90, ISBN 978-0-387-18178-3 .
Addin, Mi Michata (2011), вспомнив Софя Ковалевская , Лондон: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4 .
Белл, Эрик Темпл (1937), «Мужчины математики» , Нью -Йорк: Simon & Schuster, ISBN 978-0-671-62818-5 .
Биркхофф, Гаррет; Mac Lane, Saunders (1941), Обзор современной алгебры , Нью -Йорк: Macmillan, ISBN 978-1-56881-068-3 .
Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона (3 -е изд.), Дубьюк, Айова: Уильям С. Браун, ISBN 978-0-697-16089-8 .
Кантор, Георг (1874), «О свойстве воплощения всех реальных алгебраических чисел» , журнал для чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515/crll.1874.77.258 , S2CID 199545885 .
Кантор, Георг (1878), «Вклад в теорию многообразия» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1878 (84): 242–258, doi : 10.1515/crll.1878.84.242 .
Кантор, Георг (1879), «О бесконечных линейных точечных многообразиях. 1». , Mathematical Annals (на немецком языке), 15 : 1–7, doi : 10.1007/bf01444101 , S2CID 179177510 .
Чоудхари, КР (2015), Основы дискретных математических структур (3-е изд.), Дели, Индия: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8 .
Коэн, Пол Дж. (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963pnas ... 50.1143c , doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC 221287 , PMID 16578557 .
Dasgupta, Abhijit (2014), Теория набора: с введением в реальные наборы , Нью -Йорк: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8 .
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: его математика и философия Infinite , Cambridge, Mass.: Harvard University Press, ISBN 978-0-674-34871-4 .
Даубен, Джозеф (1993), «Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств» (PDF) , Материалы 9-й конференции ACMS .
Эдвардс, Гарольд М. (1989), «Взгляды Кронекера на основы математики» , в Роу, Дэвид Э.; Макклири, Джон (ред.), История современной математики, Том 1 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 67–77 , ISBN 978-0-12-599662-4 .
Эвальд, Уильям Б., изд. (1996), От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5 .
José (1993) : , 20 : doi Ferrest , 343–363 ,
Ferreirós, Hosé (2007), Labyrinth of Gonder: история теории наборов и ее роль в математической мысли (2 -е пересмотренное изд.), Базель: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7 .
Fraenkel, Abraham (1930), «Georg Cantor» , Годовой отчет немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 39 : 189–266 .
Grattan-Guinness, Ivor (1971), «Переписка между Георгом Кантором и Филиппом Журдейном» , Годовой отчет Германской математической ассоциации , 73 : 111–130 .
Грей, Роберт (1994), «Георг Кантор и Трансцендентальные Числа» (PDF) , американский математический месяц , 101 (9): 819–832, DOI : 10.2307/2975129 , JSTOR 2975129 , MR 1300488 , ZBL 0827.01004 , Archived из оригинала . (PDF) 2022-01-21 , извлечен 2016-02-13 .
Харди, Годфри; Райт, Эм (1938), введение в теорию чисел , Оксфорд: Кларендон Пресс, ISBN 978-0-19-921985-8 .
Havil, Julian (2012), The Irrationals , Принстон, Оксфорд: издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-16353-6 .
Хокинс, Томас (1970), Теория интеграции Лебега , Мэдисон, Висконсин: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9 .
Джарвис, Фрейзер (2014), Алгебраическая теория чисел , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-3-319-07544-0 .
Канамори, Акихиро (2012), «Теория множеств от Кантора до Коэна» (PDF) , в Габбае, Дов М.; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Х. (ред.), Множества и расширения в двадцатом веке , Амстердам, Бостон: Издательство Кембриджского университета, стр. 1–71, ISBN 978-0-444-51621-3 .
Каплански, Ирвинг (1972), Теория множеств и метрические пространства , Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-8284-0298-9 .
Келли, Джон Л. (1991), Общая топология , Нью-Йорк: Springer, ISBN. 978-3-540-90125-9 .
ЛеВек, Уильям Дж. (1956), Темы теории чисел , том. Я, Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-486-42539-9 . (Перепечатано Dover Publications, 2002 г.)
Нётер, Эмми ; Кавайес, Жан , ред. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (на немецком языке), Париж: Hermann .
Перрон, Оскар (1921), Irrationalzahlen (на немецком языке), Лейпциг, Берлин: В. де Грюйтер, OCLC 4636376 .
Шеппард, Барнаби (2014), Логика бесконечности , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-67866-8 .
Спивак, Майкл (1967), Исчисление , Лондон: WA Бенджамин, ISBN 978-0914098911 .
Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4 -е изд.), Бока -Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0 .
Стюарт, Ян; Tall, David (2015), Основы математики (2 -е изд.), Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета, ISBN 978-0-19-870644-1 .
Вейсштейн, Эрик У. , изд. (2003), «Продолжающаяся дробь», CRC Краткая энциклопедия математики , Бока -Ратон, Флорида: Чепмен и Холл/CRC, ISBN 978-1-58488-347-0 .

[3] В письме Дедекинду от 25 декабря 1873 года Кантор заявляет, что он написал и представил «короткую статью» под названием « О свойстве множества всех действительных алгебраических чисел» . ( Нётер и Кавайлес, 1937 , стр. 17; английский перевод: Эвальд, 1996 , стр. 847.)

[11] Отсюда следует остальная часть теоремы , ] существует бесконечно много чисел а именно: в [ a , b , не содержащихся в данной последовательности. Например, пусть $[0,1]$ — интервал и рассмотрим его подинтервалы $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ Поскольку эти подинтервалы попарно не пересекаются , применение первой части теоремы к каждому подинтервалу дает бесконечно много чисел в $[0,1]$ которые не содержатся в данной последовательности. В целом для интервала $[a,b],$ применить первую часть теоремы к подинтервалам $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots .$

[14] Кантор не доказывает эту лемму. сноске к случаю 2 он утверждает, что n _не лежит внутри интервала [ an _x , bn _В ]. ^{[ 11 ]} Это доказательство основано на его доказательстве 1879 года , которое содержит более сложное индуктивное доказательство, демонстрирующее несколько свойств сгенерированных интервалов, включая доказанное здесь свойство.

[15] что он генерирует последовательность замкнутых интервалов [ an _{том ,} , bn _{Основное различие между доказательством Кантора и приведенным выше доказательством состоит в} ]. найти a _{n + 1} bn + _{an 1} , он использует часть интервала [ , _Чтобы bn ] ₎ , который является открытым интервалом ( an _, внутреннюю bn _и . Генерация открытых интервалов сочетает в себе использование Кантором закрытых интервалов и их внутренностей, что позволяет диаграммам случаев отображать все детали доказательства.

[22] Кантор не был первым, кто дал определение «везде плотный», но его терминология была принята с «везде плотным» или без него (везде плотный: Архангельский и Федорчук 1990 , стр. 15; плотный: Келли 1991 , стр. 49). В 1870 году Герман Ханкель определил это понятие, используя другую терминологию: «множество точек... заполняет отрезок , если внутри отрезка не может быть задан интервал, каким бы малым он ни был, в котором нельзя найти хотя бы одну точку из этого множества». ( Феррейрос 2007 , стр. 155). Ханкель опирался на статью Питера Густава Лежена Дирихле 1829 года, в которой содержится функция Дирихле , неинтегрируемая Риману по функция , значение которой равно 0 для рациональных чисел и 1 для иррациональных чисел . ( Феррейрос 2007 , стр. 149.)

[23] Перевод Кантора 1879 , с. 2: частично или полностью лежит Если P в интервале (α...β), то может произойти замечательный случай, когда каждый интервал (γ...δ), каким бы малым он ни был, содержится в (α...β). ) содержит точки P . В таком случае мы хотим сказать, что P в интервале (α...β) плотно всюду .

[25] Это доказывается путем создания последовательности точек, принадлежащих как P , так и ( c , d ). Поскольку P плотно в [ a , b ], подинтервал ( c , d хотя бы одну точку x ₁ из P. ) содержит По предположению, подинтервал ( x ₁ , d ) содержит хотя бы одну точку x ₂ из P и x ₂ > x _1, поскольку x ₂ принадлежит этому подинтервалу. В общем, после генерации x _n подинтервал (x _n , d ) используется для создания точки x _{n + 1,} удовлетворяющей x _{n + 1} > x _n . Бесконечное множество точек принадлежат _xn как P , так и ( c , d ).

[37] Начало этого доказательства получено из доказательства ниже путем ограничения его чисел до интервала [ a , b ] и с использованием последующей последовательности, поскольку Кантор использовал последовательности в своей работе 1873 года по счете.
Немецкий текст: предложение 68. Существуют трансцендентные числа.
Если бы не было трансцендентов, все числа были бы алгебраичными, поэтому континуум будет идентичен количеству всех алгебраических чисел. Тем не менее, это невозможно, потому что количество всех алгебраических чисел может быть подсчитано, но континуум - нет. ^{[ 28 ]}
Перевод: Теорема 68. Существуют трансцендентные номера.
Если бы не было трансцендентальных чисел, то все числа были бы алгебраичными. Следовательно, континуум будет идентичен набору всех алгебраических чисел. Однако это невозможно, потому что набор всех алгебраических чисел является счетным, но континуум - нет.

[41] Под «доказательством Кантора» Перрон не подразумевает, что это доказательство, опубликованное Кантором. Скорее, он имеет в виду, что в доказательстве используются только аргументы, опубликованные Кантором. Например, чтобы получить вещественное число, не входящее в заданную последовательность, Перрон следует доказательству Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует диагональный аргумент Кантора 1891 года вместо аргумента вложенных интервалов 1874 года для получения вещественного числа. Кантор никогда не использовал диагональный аргумент для опровержения своей теоремы. В этом случае и доказательство Кантора, и доказательство Перрона конструктивны, поэтому никаких заблуждений здесь возникнуть не может. Затем Перрон модифицирует доказательство Кантора существования трансцендентного, давая доказательство обратного порядка. Это превращает конструктивное доказательство Кантора 1874 года в неконструктивное доказательство, что приводит к неправильному представлению о работе Кантора.

[44] Это доказательство то же самое, что и доказательство Кантора 1874 года, за исключением одной модификации: он использует его диагональный аргумент 1891 года вместо его аргумента вложенного в 1874 году, чтобы получить реальное.

[47] Программа с использованием диагонального метода производит $n$ цифры в ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ шаги, в то время как программа, использующая метод 1874 $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ шаги для производства $n$ цифры. ( Грей 1994 , с. 822–823.)

[49] Начиная с книги Харди и Райта, эти книги связаны с книгой Перрона с помощью их библиографий: книга Перрона упоминается в библиографии книги Харди и Райта, которая, в свою очередь, упоминается в библиографии «Библиография Биркхоффа» и «Книга Библиографии» и «Библиография». книги Спивака. ( Hardy & Wright 1938 , стр. 400; Birkhoff & Mac Lane 1941 , стр. 441; Spivak 1967 , p. 515.)

[56] Мнение Кронекера заключалось в следующем: «Определения должны содержать средства достижения решения за конечное число шагов, а доказательства существования должны проводиться так, чтобы рассматриваемую величину можно было вычислить с любой необходимой степенью точности». ^{[ 40 ]} Таким образом, Кронекер принял аргумент Кантора как достоверное доказательство существования, но не принял его вывод о существовании трансцендентных чисел. По Кронекеру, они не существуют, потому что их определение не содержит средств для решения за конечное число шагов, является ли данное число трансцендентным. ^{[ 41 ]} Конструкция Кантора 1874 года вычисляет числа с любой необходимой степенью точности, потому что: Учитывая a k , n можно вычислить так, что b _n – a _n ≤ ⁠ 1 / k ⁠ где ( a _n , b _n ) — n -й интервал канторовой конструкции. Пример того, как это доказать, дан у Gray 1994 , с. 822. Диагональный аргумент Кантора обеспечивает точность 10. ^{− п} после того, как n действительных алгебраических чисел, поскольку каждое из этих чисел порождает одну цифру трансцендентного числа. вычислены ^{[ 42 ]}

[77] Феррейрос проанализировал отношения между Кантором и Дедекиндом. Он объясняет, почему «отношения между обоими математиками были трудными после 1874 года, когда в них произошел перерыв...» ( Феррейрос 1993 , стр. 344, 348–352.)

[80] Метод Кантора построения единого соответствия между набором иррациональных чисел и R может использоваться для построения одного между набором трансцендентальных чисел и r . ^{[ 64 ]} Конструкция начинается с набора трансцендентальных чисел t и удаляет исчисляемое подмножество { t _n } (например, t _n = ⁠ E / N ⁠ ). Пусть этот набор будет t ₀ . Тогда t = t ₀ ∪ { t _n } = t ₀ ∪ { t _{2 n - 1} } ∪ { t _{2 n} }, и r = t ∪ { a _n } = t ₀ ∪ { t _n } ∪ { a _n } где n _. - последовательность реальных алгебраических чисел Таким образом, оба T и R являются союзом трех парных дискретизационных наборов: T ₀ и два счетных набора. Соответствие одного к одному между t и r определяется функцией: g ( t ) = t, если t ∈ T ₀ , g ( t _{2 n -1} ) = t _n и g ( t _{2 n} ) = a _не

[p-26] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^фон Поскольку доказательство Кантора не было опубликовано на английском языке, английский перевод дается вместе с оригинальным немецким текстом, который из Кантора 1879 , с. 5–7. Перевод начинает одно предложение перед доказательством, потому что в этом предложении упоминается доказательство Кантора 1874 года. Кантор заявляет, что он был напечатан в журнале Борчардта. Журнал Crelle's также был назван журналом Борчардта с 1856-1880, когда Карл Вильгельм Борчардт отредактировал журнал ( Audin 2011 , стр. 80). Квадратные кронштейны используются для определения этого упоминания о предыдущем доказательстве Кантора, для прояснения перевода и для предоставления номеров страниц. Кроме того, « Mannichfaltigkeit » (коллектор) был переведен как «установить», а нотация Кантора для закрытых наборов (α ... β) была переведена в [α, β]. Кантор изменил свою терминологию с Mannichfaltigkeit на Menge (Set) в своей статье 1883 года, в которой вводили наборы порядковых номеров ( Kanamori 2012 , стр. 5). В настоящее время в математике коллектор - это тип топологического пространства .

английский перевод Немецкий текст

[Page 5]

. . . But this contradicts a very general theorem, which we have proved with full rigor in Borchardt's Journal, Vol. 77, page 260; namely, the following theorem:
"If one has a simply [countably] infinite sequence
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
of real, unequal numbers that proceed according to some rule, then in every given interval [α, β] a number η (and thus infinitely many of them) can be specified that does not occur in this sequence (as a member of it)."
In view of the great interest in this theorem, not only in the present discussion, but also in many other arithmetical as well as analytical relations, it might not be superfluous if we develop the argument followed there [Cantor's 1874 proof] more clearly here by using simplifying modifications.
Starting with the sequence:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
(which we give [denote by] the symbol (ω)) and an arbitrary interval [α, β], where α < β, we will now demonstrate that in this interval a real number η can be found that does not occur in (ω).
I. We first notice that if our set (ω) is not everywhere dense in the interval [α, β], then within this interval another interval [γ, δ] must be present, all of whose numbers do not belong to (ω). From the interval [γ, δ], one can then choose any number for η. It lies in the interval [α, β] and definitely does not occur in our sequence (ω). Thus, this case presents no special considerations and we can move on to the more difficult case.
II. Let the set (ω) be everywhere dense in the interval [α, β]. In this case, every interval [γ,δ] located in [α,β], however small, contains numbers of our sequence (ω). To show that, nevertheless, numbers η in the interval [α, β] exist that do not occur in (ω), we employ the following observation.
Since some numbers in our sequence:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .

[Seite 5]
. . . Dem widerspricht aber ein sehr allgemeiner Satz, welchen wir in Borchardt's Journal, Bd. 77, pag. 260, mit aller Strenge bewiesen haben, nämlich der folgende Satz:
"Hat man eine einfach unendliche Reihe
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt."
In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis], unter Anwendung vereinfachender Modificationen, hier deutlicher entwickeln.
Unter Zugrundelegung der Reihe:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
(welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . . β), wo α < β ist, soll also nun gezeigt werden, dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann, welche in (ω) nicht vorkommt.
I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . . β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ . . . δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α . . . β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; und wir können zu dem schwierigeren übergehen.
II. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α . . . β) überall-dicht. In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α . . . β) gelegene Intervall (γ . . . δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen, dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α . . . β) existiren, welche in (ω) nicht vorkommen, stellen wir die folgende Betrachtung an.
Da in unserer Reihe:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .

[Page 6]

definitely occur within the interval [α, β], one of these numbers must have the least index, let it be ω_κ₁, and another: ω_κ₂ with the next larger index.
Let the smaller of the two numbers ω_κ₁, ω_κ₂ be denoted by α', the larger by β'. (Their equality is impossible because we assumed that our sequence consists of nothing but unequal numbers.)
Then according to the definition:
α < α' < β' < β ,
furthermore:
κ₁ < κ₂ ;
and all numbers ω_μ of our sequence, for which μ ≤ κ₂, do not lie in the interior of the interval [α', β'], as is immediately clear from the definition of the numbers κ₁, κ₂. Similarly, let ω_κ₃ and ω_κ₄ be the two numbers of our sequence with smallest indices that fall in the interior of the interval [α', β'] and let the smaller of the numbers ω_κ₃, ω_κ₄ be denoted by α'', the larger by β''.
Then one has:
α' < α'' < β'' < β' ,
κ₂ < κ₃ < κ₄ ;
and one sees that all numbers ω_μ of our sequence, for which μ ≤ κ₄, do not fall into the interior of the interval [α'', β''].
After one has followed this rule to reach an interval [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}], the next interval is produced by selecting the first two (i. e. with lowest indices) numbers of our sequence (ω) (let them be ω_{κ_{2ν - 1}} and ω_{κ_2ν}) that fall into the interior of [α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]. Let the smaller of these two numbers be denoted by α^(ν), the larger by β^(ν).
The interval [α^(ν), β^(ν)] then lies in the interior of all preceding intervals and has the specific relation with our sequence (ω) that all numbers ω_μ, for which μ ≤ κ_2ν, definitely do not lie in its interior. Since obviously:
κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . .
and these numbers, as indices, are whole numbers, so:
κ_2ν ≥ 2ν ,
and hence:
ν < κ_2ν ;
thus, we can certainly say (and this is sufficient for the following):
That if ν is an arbitrary whole number, the [real] quantity ω_ν lies outside the interval [α^(ν) . . . β^(ν)].

[Seite 6]
sicher Zahlen innerhalb des Intervalls (α . . . β) vorkommen, so muss eine von diesen Zahlen den kleinsten Index haben, sie sei ω_κ₁, und eine andere: ω_κ₂ mit dem nächst grösseren Index behaftet sein.
Die kleinere der beiden Zahlen ω_κ₁, ω_κ₂ werde mit α', die grössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)
Es ist alsdann der Definition nach:
α < α' < β' < β ,
ferner:
κ₁ < κ₂ ;
und ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω_μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₂, nicht im Innern des Intervalls (α' . . . β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ₁, κ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') fallen und die kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α'', die grössere mit β'' bezeichnet.
Man hat alsdann:
α' < α'' < β'' < β' ,
κ₂ < κ₃ < κ₄ ;
und man erkennt, dass alle Zahlen ω_μ unserer Reihe, für welche μ ≤ κ₄ nicht in das Innere des Intervalls (α'' . . . β'') fallen.
Nachdem man unter Befolgung des gleichen Gesetzes zu einem Intervall (α^{(ν - 1)}, . . . β^{(ν - 1)}) gelangt ist, ergiebt sich das folgende Intervall dadurch aus demselben, dass man die beiden ersten (d. h. mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω_{κ_{2ν – 1}} und ω_{κ_2ν}), welche in das Innere von (α^{(ν – 1)} . . . β^{(ν – 1)}) fallen; die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α^(ν), die grössere mit β^(ν) bezeichnet.
Das Intervall (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt alsdann im Innern aller vorangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω_μ, für welche μ ≤ κ_2ν sicher nicht in seinem Innern liegen. Da offenbar:
κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . .
und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, so ist:
κ_2ν ≥ 2ν ,
und daher:
ν < κ_2ν ;
wir können daher, und dies ist für das Folgende ausreichend, gewiss sagen:
Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω_ν ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) liegt.

[Page 7]

Since the numbers α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . are continually increasing by value while simultaneously being enclosed in the interval [α, β], they have, by a well-known fundamental theorem of the theory of magnitudes [see note 2 below], a limit that we denote by A, so that:
A = Lim α^(ν) for ν = ∞.
The same applies to the numbers β', β'', β''', . . ., β^(ν), . . ., which are continually decreasing and likewise lying in the interval [α, β]. We call their limit B, so that:
B = Lim β^(ν) for ν = ∞.
Obviously, one has:
α^(ν) < A ≤ B < β^(ν).
But it is easy to see that the case A < B can not occur here since otherwise every number ω_ν of our sequence would lie outside of the interval [A, B] by lying outside the interval [α^(ν), β^(ν)]. So our sequence (ω) would not be everywhere dense in the interval [α, β], contrary to the assumption.
Thus, there only remains the case A = B and now it is demonstrated that the number:
η = A = B
does not occur in our sequence (ω).
If it were a member of our sequence, such as the ν^th, then one would have: η = ω_ν.
But the latter equation is not possible for any value of ν because η is in the interior of the interval [α^(ν), β^(ν)], but ω_ν lies outside of it.

[Seite 7]
Da die Zahlen α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass:
A = Lim α^(ν) für ν = ∞.
Ein Gleiches gilt für die Zahlen β', β'', β''', . . ., β^(ν), . . . welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α . . . β) liegen; wir nennen ihre Grenze B, so dass:
B = Lim β^(ν) für ν = ∞.
Man hat offenbar:
α^(ν) < A ≤ B < β^(ν).
Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung.
Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl:
η = A = B
in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt.
Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν^te, so hätte man: η = ω_ν.
Die letztere Gleichung ist aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α^(ν), β^(ν)], ω_ν aber ausserhalb desselben liegt.

Note 1: This is the only occurrence of "unserer Reihen" ("our sequences") in the proof. There is only one sequence involved in Cantor's proof and everywhere else "Reihe" ("sequence") is used, so it is most likely a typographical error and should be "unserer Reihe" ("our sequence"), which is how it has been translated.

Note 2: Grössenlehre, which has been translated as "the theory of magnitudes", is a term used by 19th century German mathematicians that refers to the theory of discrete and continuous magnitudes. (Ferreirós 2007, pp. 41–42, 202.)

[1] Даубен 1993 , с. 4.

[2] Грей 1994 , стр. 819–821.

[Cantor1874-4] Jump up to: ^а ^б Кантор 1874 г. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–843.

[Gray828-5] Jump up to: ^а ^б Грей 1994 , с. 828.

[Ewald840_841-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Кантор 1874 , с. 259. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 840–841.

[7] Кантор 1874 , с. 259. Английский перевод: Грей 1994 , с. 820.

[8] Певица 1878 , с. 242.

[9] Грей 1994 , с. 820.

[10] Кантор 1874 , стр. 259–260. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 841.

[12] Кантор 1874 , с. 260–261. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 841–842.

[Ewald842-13] Jump up to: ^а ^б Кантор 1874 , с. 261. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 842.

[16] Грей 1994 , с. 822.

[17] Havil 2012 , с. 208-209.

[18] Havil 2012 , p. 209

[19] Leveque 1956 , стр. 154–155.

[20] Leveque 1956 , p. 174.

[21] Weisstein 2003 , p. 541.

[24] Arkhangel'skii & Fedorchuk 1990 , p. 16.

[27] Noether & Cavaillès 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827; Ewald 1996 , p. 844.

[Noether18-28] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Нётер и Кавай, 1937 , с. 18. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 848.

[29] Нётер и Кавай, 1937 , с. 13. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827.

[Dec7letter-30] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^фон ^г Нётер и Кавай, 1937 , стр. 14–15. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 845–846.

[31] Грей 1994 , с. 827

[32] Даубен 1979 , с. 51.

[33] Нётер и Кавай, 1937 , с. 19. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 849.

[34] Эвальд 1996 , с. 843.

[35] Нётер и Кавай, 1937 , с. 16. Английский перевод: Грей 1994 , с. 827.

[36] Перрон 1921 , с. 162.

[Kanamori4-38] Jump up to: ^а ^б Канамори 2012 , с. 4.

[39] Грей 1994 , с. 827–828.

[40] Perron 1921 , p. 162

[42] Фраенкель 1930 , с. 237. Английский перевод: Грей 1994 , с. 823.

[43] Kaplansky 1972 , p. 25

[45] Грей 1994 , с. 829–830.

[46] Грей 1994 , с. 821–824.

[48] Bell 1937 , с. 568–569; Hardy & Wright 1938 , p. 159 (6 -е изд., С. 205–206); Birkhoff & Mac Lane 1941 , p. 392, (5 -е изд., С. 436–437); Spivak 1967 , с. 369–370 (4 -е изд., С. 448–449).

[50] Дасгупта 2014 , с. 107; Sheppard 2014 , с. 131–132.

[51] Джарвис 2014 , с. 18; Чоудхари 2015 , с. 19; Стюарт 2015 , с. 285; Стюарт и высокий 2015 , с. 333.

[52] Birkhoff & Mac Lane 1941 , с. 392, (5 -е изд., С. 436–437).

[53] Бертон 1995 , с. 595.

[54] Dapots 1979 , p. 69

[55] Грей 1994 , с. 824.

[Ferreiros184-57] Jump up to: ^а ^б Ferreirós 2007 , p. 184.

[58] Noether & Cavaillès 1937 , с. 12–16. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 843–846.

[59] Dapots 1979 , p. 67

[Noether16_17-60] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Noether & Cavaillès 1937 , с. 16–17. Английский перевод: Ewald 1996 , p. 847.

[61] Граттан-Гуиннесс 1971 , с. 124

[62] Dip's 1979 , стр. 67, 308-309.

[63] Ferreirós 2007 , стр. 184–185, 245.

[64] Ferreirós 2007 , p. 185: Неясно, когда изменилось его отношение, но есть доказательства того, что к середине 1880-х годов он пришел к выводу, что бесконечные наборы имеют разные полномочия [кардинальность].

[65] Ferreirós 2007 , p. 177.

[66] Dip's 1979 , стр. 67-68.

[67] Ferreirós 2007 , p. 183.

[68] Ferreirós 2007 , p. 185.

[69] Ferreirós 2007 , стр. 109–111, 172–174.

[70] Феррейрос 1993 , стр. 349–350.

[71] Нётер и Кавай, 1937 , стр. 12–13. Английский перевод: Эвальд 1996 , стр. 844–845.

[72] Нётер и Кавай, 1937 , с. 13. Английский перевод: Эвальд 1996 , с. 845.

[73] Феррейрос 2007 , с. 179.

[74] Noether & Cavailles 1937 , стр. 14–16, 19. Английский перевод: Ewald 1996 , стр. 845–847, 849.

[75] Феррейрос 1993 , стр. 358–359.

[76] Феррейрос 1993 , с. 350.

[78] Кантор 1878 , стр. 245–254.

[79] Кантор 1879 , с. 4

[81] Ferreirós 2007 , стр. 267–273.

[82] Ferreirós 2007 , стр. XVI, 320–321, 324.

[83] Кантор 1878 , с. 243.

[84] Hawkins 1970 , pp. 103–106, 127.

[85] Hawkins 1970 , pp. 118, 120–124, 127.

[86] Ferreirós 2007 , стр. 362–363.

[87] Cohen 1963 , с. 1143–1144.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ А ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[8]

[ 9 ]

[ Б ]

[ 10 ]

[C]

[ 11 ]

[ D ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[15]

[16]

[17]

[ E ]

[ F ]

[ 18 ]

[ G ]

[ Доказательство 1 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ Ч ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ Я ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ Дж ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ К ]

[ 36 ]

[ L ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ М ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ N ]

[ 63 ]

[ O ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 28 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 64 ]