Jump to content

Несократимая дробь

(Перенаправлено с Сокращаемой дроби )

( Несократимая дробь или дробь в самых простых терминах , простейшая форма или сокращенная дробь ) — это дробь , в которой числитель и знаменатель являются целыми числами , не имеющими других общих делителей , кроме 1 (и -1, если рассматривать отрицательные числа). [1] Другими словами, дробь a / b неприводима тогда и только тогда, когда a и b , взаимно просты то есть если a и b имеют наибольший общий делитель, равный 1. В высшей математике « неприводимая дробь » может также относиться к рациональным дробям, таким что числитель и знаменатель — взаимно простые многочлены . [2] Каждое рациональное число можно представить в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем ровно одним способом. [3]

Иногда полезно эквивалентное определение: если a и b — целые числа, то дробь a / b неприводима тогда и только тогда, когда не существует другой равной дроби c / d такой, что | с | < | а | или | д | < | б | , где | а | означает значение a . абсолютное [4] (Две фракции а / б и c / d равны эквивалентны или ad тогда и только тогда, когда = bc . )

Например, 1 / 4 , 5 / 6 и −101/100 . все несократимые дроби С другой стороны, 2 / 4 сокращаемо, так как по значению оно равно 1/2 и числитель 1/2 меньше числителя 2 / 4 .

Дробь, которую можно сократить, можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью свести к наименьшим членам, если оба разделить на наибольший общий делитель . [5] Чтобы найти наибольший общий делитель, алгоритм Евклида или факторизацию простых чисел можно использовать . Алгоритм Евклида обычно предпочтительнее, поскольку он позволяет сокращать дроби, числители и знаменатели которых слишком велики, чтобы их можно было легко разложить на множители. [6]

На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим фактором для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Конечный результат: 4 / 3 — несократимая дробь, поскольку у 4 и 3 нет общих делителей, кроме 1.

Исходную дробь также можно было уменьшить за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30. Поскольку 120 ÷ 30 = 4 и 90 ÷ 30 = 3 , получаем

Какой метод будет быстрее «вручную», зависит от дроби и легкости обнаружения общих факторов. Если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы гарантировать, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы убедиться, что дробь действительно несократима.

Уникальность

[ редактировать ]

Каждое рациональное число имеет единственное представление в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем. [3] (однако 2 / 3 = −2 / −3 хотя оба они неприводимы). Уникальность является следствием уникальной факторизации простых чисел, поскольку a / b = c / d подразумевает ad = bc , и поэтому обе части последнего должны иметь одну и ту же простую факторизацию, однако a и b не имеют общих простых множителей, поэтому набор простых множителей a (с кратностью) является подмножеством тех из c и наоборот, что означает a = c и по тому же аргументу b = d .

Приложения

[ редактировать ]

Тот факт, что любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если бы 2 можно было представить как отношение целых чисел, то оно имело бы, в частности, полностью сокращенное представление. a / b где a и b — наименьшие из возможных; но учитывая это a / b равно 2 , то же самое 2 b a / a b (так как перекрестное умножение на a / b показывает, что они равны). Поскольку a > b (поскольку 2 больше 1), последнее представляет собой отношение двух меньших целых чисел. Это противоречие , поэтому предположение о том, что квадратный корень из двух представляет собой отношение двух целых чисел, неверно.

Обобщение

[ редактировать ]

Понятие несократимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля можно записать как дробь, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель. [7] Это особенно относится к рациональным выражениям над полем. Несократимая дробь данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две несократимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом представлять собой монический полином . [8]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Степанов С.А. (2001) [1994], «Дробь» , Энциклопедия Математики , EMS Press
  2. ^ Например, см. Лаудал, Олав Арнфинн; Пиене, Рагни (2004), Наследие Нильса Хенрика Абеля: Двухсотлетие Абеля, Осло, 3–8 июня 2002 г. , Springer, стр. 155, ISBN.  9783540438267
  3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Скотт, Уильям (1844 г.), Элементы арифметики и алгебры: для использования в Королевском военном колледже , Учебники для колледжа, Сандхерст. Королевский военный колледж, том. 1, Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс, с. 75 .
  4. ^ Скотт (1844) , с. 74.
  5. ^ Салли, Джудит Д.; Салли, Пол Дж. Младший (2012), «9.1. Приведение дроби к наименьшим значениям», Целые числа, дроби и арифметика: Руководство для учителей , Библиотека математических кружков ИИГС, том. 10, Американское математическое общество , стр. 131–134, ISBN.  9780821887981 .
  6. ^ Куоко, Эл; Ротман, Джозеф (2013), «Изучение современной алгебры» , Учебники Математической ассоциации Америки, Математическая ассоциация Америки , стр. 33, ISBN  9781939512017 .
  7. ^ Гаррет, Пол Б. (2007), Абстрактная алгебра , CRC Press, стр. 183, ISBN  9781584886907 .
  8. ^ Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 242, Спрингер, Лемма 9.2, с. 183, ISBN  9780387715681 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8bfdb11ac76987d0d6fd9ed0b8da0a95__1706724720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8b/95/8bfdb11ac76987d0d6fd9ed0b8da0a95.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Irreducible fraction - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)