Несократимая дробь
( Несократимая дробь или дробь в самых простых терминах , простейшая форма или сокращенная дробь ) — это дробь , в которой числитель и знаменатель являются целыми числами , не имеющими других общих делителей , кроме 1 (и -1, если рассматривать отрицательные числа). [1] Другими словами, дробь a / b неприводима тогда и только тогда, когда a и b , взаимно просты то есть если a и b имеют наибольший общий делитель, равный 1. В высшей математике « неприводимая дробь » может также относиться к рациональным дробям, таким что числитель и знаменатель — взаимно простые многочлены . [2] Каждое рациональное число можно представить в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем ровно одним способом. [3]
Иногда полезно эквивалентное определение: если a и b — целые числа, то дробь a / b неприводима тогда и только тогда, когда не существует другой равной дроби c / d такой, что | с | < | а | или | д | < | б | , где | а | означает значение a . абсолютное [4] (Две фракции а / б и c / d равны эквивалентны или ad тогда и только тогда, когда = bc . )
Например, 1 / 4 , 5 / 6 и −101/100 — . все несократимые дроби С другой стороны, 2 / 4 сокращаемо, так как по значению оно равно 1/2 и числитель 1/2 меньше числителя 2 / 4 .
Дробь, которую можно сократить, можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью свести к наименьшим членам, если оба разделить на наибольший общий делитель . [5] Чтобы найти наибольший общий делитель, алгоритм Евклида или факторизацию простых чисел можно использовать . Алгоритм Евклида обычно предпочтительнее, поскольку он позволяет сокращать дроби, числители и знаменатели которых слишком велики, чтобы их можно было легко разложить на множители. [6]
Примеры
[ редактировать ]На первом этапе оба числа были разделены на 10, что является общим фактором для 120 и 90. На втором этапе они были разделены на 3. Конечный результат: 4 / 3 — несократимая дробь, поскольку у 4 и 3 нет общих делителей, кроме 1.
Исходную дробь также можно было уменьшить за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30. Поскольку 120 ÷ 30 = 4 и 90 ÷ 30 = 3 , получаем
Какой метод будет быстрее «вручную», зависит от дроби и легкости обнаружения общих факторов. Если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы гарантировать, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы убедиться, что дробь действительно несократима.
Уникальность
[ редактировать ]Каждое рациональное число имеет единственное представление в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем. [3] (однако 2 / 3 = −2 / −3 хотя оба они неприводимы). Уникальность является следствием уникальной факторизации простых чисел, поскольку a / b = c / d подразумевает ad = bc , и поэтому обе части последнего должны иметь одну и ту же простую факторизацию, однако a и b не имеют общих простых множителей, поэтому набор простых множителей a (с кратностью) является подмножеством тех из c и наоборот, что означает a = c и по тому же аргументу b = d .
Приложения
[ редактировать ]Тот факт, что любое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если бы √ 2 можно было представить как отношение целых чисел, то оно имело бы, в частности, полностью сокращенное представление. a / b где a и b — наименьшие из возможных; но учитывая это a / b равно √ 2 , то же самое 2 b − a / a − b (так как перекрестное умножение на a / b показывает, что они равны). Поскольку a > b (поскольку √ 2 больше 1), последнее представляет собой отношение двух меньших целых чисел. Это противоречие , поэтому предположение о том, что квадратный корень из двух представляет собой отношение двух целых чисел, неверно.
Обобщение
[ редактировать ]Понятие несократимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля можно записать как дробь, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель. [7] Это особенно относится к рациональным выражениям над полем. Несократимая дробь данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две несократимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом представлять собой монический полином . [8]
См. также
[ редактировать ]- Аномальное сокращение — ошибочная арифметическая процедура, которая дает правильную несократимую дробь путем отмены цифр исходной несократимой формы.
- Диофантова аппроксимация , приближение действительных чисел рациональными числами.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Степанов С.А. (2001) [1994], «Дробь» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- ^ Например, см. Лаудал, Олав Арнфинн; Пиене, Рагни (2004), Наследие Нильса Хенрика Абеля: Двухсотлетие Абеля, Осло, 3–8 июня 2002 г. , Springer, стр. 155, ISBN. 9783540438267
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Скотт, Уильям (1844 г.), Элементы арифметики и алгебры: для использования в Королевском военном колледже , Учебники для колледжа, Сандхерст. Королевский военный колледж, том. 1, Лонгман, Браун, Грин и Лонгманс, с. 75 .
- ^ Скотт (1844) , с. 74.
- ^ Салли, Джудит Д.; Салли, Пол Дж. Младший (2012), «9.1. Приведение дроби к наименьшим значениям», Целые числа, дроби и арифметика: Руководство для учителей , Библиотека математических кружков ИИГС, том. 10, Американское математическое общество , стр. 131–134, ISBN. 9780821887981 .
- ^ Куоко, Эл; Ротман, Джозеф (2013), «Изучение современной алгебры» , Учебники Математической ассоциации Америки, Математическая ассоциация Америки , стр. 33, ISBN 9781939512017 .
- ^ Гаррет, Пол Б. (2007), Абстрактная алгебра , CRC Press, стр. 183, ISBN 9781584886907 .
- ^ Грийе, Пьер Антуан (2007), Абстрактная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 242, Спрингер, Лемма 9.2, с. 183, ISBN 9780387715681 .