Наименьший общий знаменатель

В математике наименьший общий знаменатель или наименьший общий знаменатель (сокращенно ЖК ) — это наименьшее общее знаменателей кратное набора дробей . Это упрощает сложение, вычитание и сравнение дробей.

Описание

Наименьший общий знаменатель набора дробей — это наименьшее число, кратное всем знаменателям: их наименьшее общее кратное . Произведение знаменателей всегда является общим знаменателем, например:

${\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\;=\;{\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}}\;=\;{\frac {7}{6}}$

но это не всегда наименьший общий знаменатель, например:

${\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}\;=\;{\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}}\;=\;{\frac {37}{36}}$

Здесь 36 — наименьшее общее кратное 12 и 18. Их произведение 216 также является общим знаменателем, но при вычислении с этим знаменателем используются большие числа:

${\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}.$

С переменными, а не с числами, применяются те же принципы:

${\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}\;=\;{\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}\;=\;{\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}$

Некоторые методы расчета ЖК имеют по крайней мере общее кратное § ​​Расчет .

Роль в арифметике и алгебре

Одна и та же дробь может быть выражена во многих различных формах. Если соотношение между числителем и знаменателем одинаково, дроби представляют одно и то же число. Например:

${\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,000}{300,000}}$

потому что все они умножены на 1, записанные в виде дроби:

${\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {6}{6}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {72}{72}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {100,000}{100,000}}.$

Обычно проще всего складывать, вычитать или сравнивать дроби, если каждая из них выражена одним и тем же знаменателем, называемым «общим знаменателем». Например, числители дробей с общими знаменателями можно просто сложить так, что ${\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}$ и это ${\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}$, поскольку каждая дробь имеет общий знаменатель 12. Без вычисления общего знаменателя неясно, что именно ${\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}$ равно, или ${\frac {5}{12}}$ больше или меньше ${\frac {11}{18}}$. Подойдет любой общий знаменатель, но обычно желателен наименьший общий знаменатель, поскольку он максимально упрощает остальную часть вычислений.

Практическое

ЖК-дисплей имеет множество практических применений, например, для определения количества объектов двух разных длин, необходимых для их выравнивания в ряд, который начинается и заканчивается в одном и том же месте, например, при кирпичной кладке , мозаике и мозаике . Это также полезно при планировании графиков работы сотрудников с y выходными каждые x дней.

В музыкальном ритме ЖК-дисплей используется в перекрестных ритмах и полиметрах для определения наименьшего количества нот, необходимых для отсчета времени с учетом двух или более метрических делений. Например, большая часть африканской музыки записана в западной нотации с использованием ¹²
_8, потому что каждая такта делится на 4 и на 3, ЖК-дисплей которых равен 12.

Разговорное употребление

Выражение «наименьший общий знаменатель» используется для описания (обычно в неодобрительной форме) правила, предложения, мнения или средства массовой информации, которые намеренно упрощены, чтобы привлечь как можно большее количество людей.

См. также

• Аномальная отмена
• Наибольший общий делитель
• Разложение на частичные дроби обращает процесс сложения дробей к необычным знаменателям.