Аномальная отмена

{\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}

Аномальное сокращение в исчислении

Аномальная отмена или случайная отмена — это особый вид арифметической процедурной ошибки, которая дает численно правильный ответ. Предпринимается попытка уменьшить дробь цифр путем сокращения в числителе знаменателе и отдельных . Это недопустимая операция и, как правило, не дает правильного ответа, но в некоторых редких случаях результат численно такой же, как если бы была применена правильная процедура. ^[1] Тривиальные случаи отмены конечных нулей или когда все цифры равны, игнорируются.

Примеры аномальных сокращений, которые по-прежнему дают правильный результат, включают в себя (все эти и обратные им случаи относятся к десятичной дроби с дробью, отличной от 1, и с двумя цифрами):

${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!{\not 9}}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$
${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!{\not 6}}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!{\not 6}}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$
${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!{\not 9}}{\not 98}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$ ^[2]

В статье Боаса анализируются двузначные случаи с основанием, отличным от 10 , например: ⁠ 32 / 13 ⁠ = ⁠ 2 / 1 ⁠ и обратное ему число — единственные решения по основанию 4 с двумя цифрами. ^[2]

Пример аномальной отмены с более чем двумя цифрами: ⁠ 165 / 462 ⁠ = ⁠ 15/42 : ⁠ и пример с разным количеством цифр ⁠ 98 / 392 ⁠ = ⁠ 8 / 32 ⁠ .

Элементарные свойства

Если основание простое, двузначных решений не существует. Это можно доказать от противного: предположим, что решение существует. Без ограничения общности можно сказать, что это решение

{\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}},\ {\rm {base}}\ p,

где двойная вертикальная линия обозначает конкатенацию цифр . Таким образом, мы имеем

{\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c)

Но $p>a,b,a-c$ , так как это цифры по основанию $p$ ; еще $p$ делит $b(a-c)$ , а это значит, что $a=c$ . Поэтому. правая часть равна нулю, что означает, что левая часть также должна быть равна нулю, т. е. $a=b$ , противоречие по определению задачи. (Если $a=b$ , расчет становится ${\frac {a||a}{c||a}}={\frac {a}{c}}\implies {\frac {a||a}{a||a}}={\frac {a}{a}}=1$ , что является одним из исключенных тривиальных случаев.)

Другое свойство состоит в том, что количество решений в базе $n$ нечетно тогда и только тогда, когда $n$ является четным квадратом. Это можно доказать аналогично предыдущему: предположим, что у нас есть решение

{\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}

Затем, проделав те же манипуляции, получим

{\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)

Предположим, что $a>b,c$ . Тогда обратите внимание, что $a,b,c\to a,a-c,a-b$ также является решением уравнения. Это почти устанавливает инволюцию множества решений в себя. Но мы также можем заменить его, чтобы получить $(a-b)^{2}n=b^{2}$ , которое имеет решения только тогда, когда $n$ представляет собой квадрат. Позволять $n=k^{2}$ . Извлечение квадратных корней и перестановка доходностей $ak=(k+1)b$ . Поскольку наибольший общий делитель $k,(k+1)$ один из них, мы знаем это $a=(k+1)x,b=kx$ . отмечая, что $a,b<k^{2}$ , это имеет именно решения $x=1,2,3,\ldots ,k-1$ : т. е. он имеет нечетное число решений, когда $n=k^{2}$ является четным квадратом. Обратное утверждение можно доказать , заметив, что все эти решения удовлетворяют исходным требованиям.