Конверс (логика)

В логике и математике обращение . категорического или подразумеваемого утверждения является результатом обращения двух составляющих его утверждений Для импликации P → Q обратным Q → P. является Для категорического предложения Все S есть P , обратное: Все P есть S. В любом случае истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения.

Импликативное обратное

Венна Диаграмма $P\leftarrow Q$
Белая область показывает, где утверждение неверно.

Пусть S — утверждение вида P, влечет Q ( P → Q ). Тогда обратным утверждением S является утверждение Q, подразумевающее P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности его обратного: если только антецедент P и последующий Q логически эквивалентны.

Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение этого утверждения: «Если я смертен, то я человек», что не обязательно верно .

Однако обратное утверждение с взаимовключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это эквивалентно утверждению, что обратное определение верно. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», поскольку определение «треугольника» такое: трехсторонний многоугольник».

Таблица истинности проясняет, что S и обратное к S логически не эквивалентны, если только оба термина не подразумевают друг друга:

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$ (обратный разговор)
Ф	Ф	Т	Т
Ф	Т	Т	Ф
Т	Ф	Ф	Т
Т	Т	Т	Т

Переход от утверждения к его обратному является ошибкой утверждения следствия . Однако если утверждение S и обратное ему эквивалентны (т. е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.

Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции $P$ и $\neg Q$

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

На естественном языке это можно было бы перевести как «не Q без P ».

Обращение теоремы

В математике обратной теоремой формы P → Q будет Q → P . Обратное утверждение может быть верным, а может и не быть, и даже если оно верно, доказательство может оказаться трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная к ней — только в 1997 году.

На практике при определении обращения математической теоремы аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающий контекст. То есть, обратным высказыванию «Дано P, если Q, то R » будет «Дано P, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной $a$, $b$, и $c$, если угол, противолежащий стороне длины $c$ является прямым углом, то $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Обратное утверждение, которое также появляется в Евклида «Началах» (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длиной $a$, $b$, и $c$, если $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, то угол, противолежащий стороне длины $c$ является прямым углом.

Обратное отношение

Обратим простое математическое соотношение

Если $R$ представляет собой бинарное отношение с $R\subseteq A\times B,$ тогда обратное соотношение $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ еще называется транспонированием .

Обозначения

Обратную импликацию P → Q можно записать Q → P , $P\leftarrow Q$, но также может быть обозначено $P\subset Q$, или «B pq » (в обозначениях Боченского ).

Категорический обратный

Смотрите также: Категорическое суждение § Преобразование

В традиционной логике процесс переключения субъектного термина на термин-предикат называется конверсией . Например, переход от «Нет S — это P» к обратному «Нет P — это S» . По словам Асы Махана :

«Исходное предложение называется экспозицией; когда оно преобразовано, оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не подтверждено или не подразумевается в экспозиции».

«Exposita» чаще называют «конвертированным». В своей простой форме преобразование справедливо только для E и I : предложений

Тип	Конвертировать	Простой конверс	Обратное преобразование для каждой аварии (действительно, если P существует)
А	Все S есть P	недействительно	Некоторое P есть S
И	Нет S - это P	Нет P — это S	Некоторое P не является S
я	Некоторое S есть P	Некоторое P есть S	–
О	Некоторое S не есть P	недействительно	–

Действительность простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением: «Ни один термин не может быть распределен в обратном направлении, если он не распределен в преобразуемом». Для E предложений распределены как подлежащее, так и предикат , а для предложений I — ни то, ни другое.

Для предложений А субъект распределен, а предикат — нет, поэтому вывод из утверждения А к обратному недействителен. Например, для предложения А «Все кошки — млекопитающие» обратное «Все млекопитающие — кошки» очевидно ложно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие — кошки» верно. Логики определяют преобразование на случайность как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод из утверждения к обратному ему per Accidens обычно верен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от всеобщего к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: фраза «Все единороги — млекопитающие» часто принимается за истину, тогда как обратное утверждение per Accidens «Некоторые млекопитающие — единороги» явно ложно.

В предикатов первого порядка исчислении все S есть P можно представить как $\forall x.S(x)\to P(x)$. Таким образом, ясно, что категориальное обращение тесно связано с импликативным обращением и что S и P нельзя поменять местами в All S is P .

См. также

• Аристотель
• Противопоставление
• Инверсия (логика)
• Логическая связка
• Обверсия
• Термин логика
• Транспонирование (логика)

Дальнейшее чтение

• Аристотель . Органон .
• Копи, Ирвинг . Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . Макмиллан, 1979, пятое издание.
• Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Рота Кромвеля, 1931 год.