Обратное соотношение

Для функций, убывающих как 1/x, см. обратную пропорцию .

Об обратных связях в статистике см. «Отрицательная связь» .

В математике обратным является отношение, которое возникает , бинарному отношению когда порядок элементов в отношении меняется. Например, обратным отношению отношения «дочерний элемент» является отношение «родительский элемент». Формально, если $X$ и $Y$ представляют собой наборы и $L\subseteq X\times Y$ это отношение от $X$ к $Y,$ затем $L^{\operatorname {T} }$ это отношение определяется так, что $yL^{\operatorname {T} }x$ тогда и только тогда, когда $xLy.$ В обозначениях построителя множеств ,

$L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.$

Поскольку отношение может быть представлено логической матрицей , а логическая матрица обратного отношения является транспонированной исходной, обратное отношение также называется отношением транспонирования . Его также называли противоположным или двойственным исходному отношению. обратное , исходному соотношению или взаимное $L^{\circ }$ отношения $L.$

Другие обозначения обратного отношения включают $L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },$ или $L^{\vee }.$

Обозначения аналогичны обозначениям обратной функции . Хотя многие функции не имеют обратной, каждое отношение имеет единственное обратное. Унарная операция , которая отображает отношение на обратное отношение, является инволюцией , поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией в бинарных отношениях на множестве или, в более общем плане, индуцирует категорию кинжала в категории отношений, как подробно описано ниже. . В качестве унарной операции выполняется обратная операция (иногда называемая преобразованием или транспозицией ) коммутирует с операциями исчисления отношений, связанными с порядком, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Примеры

Для обычных (возможно, строгих или частичных) отношений порядка обратным является наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, ${\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.$

Отношение может быть представлено логической матрицей, например

$${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Тогда обратное отношение представляется транспонированной матрицей :

$${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.$$

Обратные родственные отношения называются: " $A$ является ребенком $B$"общается" $B$ является родителем $A$"." $A$ племянник или племянница $B$"общается" $B$ является дядей или тетей ​ $A$".Отношение" $A$ является сестрой братом или $B$" является само обратным, поскольку это симметричное отношение.

Свойства

В моноиде бинарных эндоотношений на множестве (при этом бинарная операция над отношениями является композицией отношений ) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. е. если $L$ является произвольным отношением на $X,$ затем $L\circ L^{\operatorname {T} }$ не равно тождественному отношению на $X$ в общем. Обратное соотношение действительно удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией : $\left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L$ и $(L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.$

Поскольку обычно можно рассматривать отношения между различными множествами (которые образуют категорию , а не моноид, а именно категорию отношений Rel ), в этом контексте обратное отношение соответствует аксиомам категории кинжала (также известной как категория с инволюцией). Отношение, равное обратному, является симметричным отношением ; на языке кинжальных категорий оно самосопряжено .

Более того, полугруппа эндоотношений на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным кванталом . Аналогично, категория гетерогенных отношений Rel также является упорядоченной категорией.

В отношений исчислении преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения , а также с взятием супремы и нижней. Преобразование также совместимо с упорядочиванием отношений путем включения.

Если отношение является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , связным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , строгим слабым порядком , полным предпорядком (слабый порядок) или отношением эквивалентности , его обратное тоже является отношением.

Реверс

Если $I$ представляет тождественное отношение, тогда отношение $R$ может иметь обратную величину : $R$ называется

правообратимый

если существует отношение $X,$ называется правая обратная сторона $R,$ это удовлетворяет $R\circ X=I.$

левообратимый

если существует отношение $Y,$ называется левая инверсия $R,$ это удовлетворяет $Y\circ R=I.$

обратимый

если оно обратимо одновременно вправо и влево.

Для обратимого однородного отношения $R,$ все правые и левые обратные совпадают; этот уникальный набор называется его обратный и обозначается $R^{-1}.$ В этом случае, $R^{-1}=R^{\operatorname {T} }$ держит.

Обратное отношение функции

Функция тогда и только тогда , обратима когда ее обратное отношение является функцией, и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.

Обратное соотношение функции $f:X\to Y$ это отношение $f^{-1}\subseteq Y\times X$ определяется $\operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.$

Это не обязательно функция: одно необходимое условие состоит в том, что $f$ быть инъективным , так как иначе $f^{-1}$ является многозначным . Этого условия достаточно для $f^{-1}$ является частичной функцией , и ясно, что $f^{-1}$ то является (полной) функцией тогда и только тогда, когда $f$ является сюръективным . В этом случае имеется в виду, если $f$ является биективным , $f^{-1}$ можно назвать обратной функцией $f.$

Например, функция $f(x)=2x+2$ имеет обратную функцию $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.$

Однако функция $g(x)=x^{2}$ имеет обратную зависимость $g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},$ которая не является функцией, будучи многозначной.

Композиция с отношением

Используя композицию отношений , обратное можно составить из исходного отношения. Например, отношение подмножества, составленное из обратного, всегда является универсальным отношением:

∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. Аналогично,

Для U = вселенная , A ∪ B ⊂ U ⇔ A ⊂ U ⊃ B ⇔ A ⊂ ⊃ B.

Теперь рассмотрим отношение принадлежности множества и его обратное.

$A\ni z\in B\Leftrightarrow z\in A\cap B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$

Таким образом $A\ni \in B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset .$ Противоположный состав $\in \ni$ это универсальное отношение.

Композиции используются для классификации отношений по типу: для отношения Q , когда тождественное отношение в диапазоне Q содержит Q ^Т Q , то Q называется однолистным . Когда тождественное отношение в области Q содержится в QQ ^Т , то Q называется полным . Если Q одновременно однолистна и полна, то это функция . Когда вопрос ^Т однолистно, то Q называется инъективным . Когда вопрос ^Т тотален, Q называется сюръективным .

Если Q однолистно, то QQ ^Т является отношением эквивалентности в области Q , см. Транзитивное отношение#Связанные свойства .

См. также

• Двойственность (теория порядка) - термин в математической области теории порядка.
• Транспонировать граф - Ориентированный граф с перевернутыми ребрами.

Ссылки

• Халмош, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств , Springer, стр. 40 , ISBN  978-0-387-90092-6