Категория кинжала

В теории категорий — разделе математики — кинжальная категория (также называемая инволютивной категорией или категорией с инволюцией). ^[1]^[2]) — категория , снабженная определенной структурой, называемой кинжалом или инволюцией . Название категории кинжалов было придумано Питером Селинджером. ^[3]

Формальное определение [ править ]

Категория кинжала — это категория ${\mathcal {C}}$ снабжен инволютивным контравариантным эндофунктором $\dagger$ что является идентичностью объектов . ^[4]

Подробно это означает, что:

для всех морфизмов $f:A\to B$ , существует его сопряженный $f^{\dagger }:B\to A$
для всех морфизмов $f$ , $(f^{\dagger })^{\dagger }=f$
для всех объектов $A$ , $\mathrm {id} _{A}^{\dagger }=\mathrm {id} _{A}$
для всех $f:A\to B$ и $g:B\to C$ , $(g\circ f)^{\dagger }=f^{\dagger }\circ g^{\dagger }:C\to A$

Обратите внимание, что в предыдущем определении термин «сопряженный» используется способом, аналогичным (и вдохновленным) линейно-алгебраическим смыслом, а не в теоретико-категориальном смысле .

Некоторые источники ^[5] определить категорию с инволюцией как категорию кинжала с дополнительным свойством, заключающимся в том, что ее набор морфизмов частично упорядочен и порядок морфизмов совместим с композицией морфизмов, то есть $a<b$ подразумевает $a\circ c<b\circ c$ для морфизмов $a$ , $b$ , $c$ всякий раз, когда их источники и цели совместимы.

Примеры [ править ]

Категория Rel множеств и отношений имеет кинжальную структуру: для данного отношения $R:X\rightarrow Y$ в Rel соотношение $R^{\dagger }:Y\rightarrow X$ является реляционной противоположностью $R$ . В этом примере самосопряженный морфизм является симметричным отношением .
Категория Cob кобордизмов кинжально - представляет собой компактную категорию , в частности, она обладает кинжальной структурой.
Категория Hilb гильбертовых пространств также обладает кинжаловой структурой: для ограниченного линейного отображения $f:A\rightarrow B$ , карта $f^{\dagger }:B\rightarrow A$ является его сопряженным в обычном смысле.
Любой моноид с инволюцией представляет собой категорию кинжала только с одним объектом. Фактически, каждое эндоморфизмов hom-множество в категории кинжала является не просто моноидом , а моноидом с инволюцией из-за кинжала.
тривиально Дискретная категория является категорией кинжала.
Группоид ) также имеет структуру кинжала , (и, как тривиальное следствие, группа в которой сопряженный морфизм является его обратным. В этом случае все морфизмы унитарные (определение ниже).

Замечательные морфизмы [ править ]

В категории кинжалов ${\mathcal {C}}$ , морфизм $f$ называется

унитарный, если $f^{\dagger }=f^{-1},$
самосопряженный, если $f^{\dagger }=f.$

Последнее возможно только для эндоморфизма $f\colon A\to A$ . Термины унитарный и самосопряженный в предыдущем определении взяты из категории гильбертовых пространств, где морфизмы, удовлетворяющие этим свойствам, тогда унитарны и самосопряжены в обычном смысле.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ М. Бургин, Категории с инволюцией и соответствиями в γ-категориях , IX Всесоюзный алгебраический коллоквиум, Гомель (1968), стр.34–35; Бургин М., Категории с инволюцией и отношения в γ-категориях , Труды Московского математического общества, 1970, т. 22, стр. 161–228.
^ Дж. Ламбек , Погоня за диаграммой в упорядоченных категориях с инволюцией , Журнал чистой и прикладной алгебры 143 (1999), № 1–3, 293–307
^ П. Селинджер, Компактные закрытые категории Dagger и полностью положительные карты , Материалы 3-го международного семинара по квантовым языкам программирования, Чикаго, 30 июня – 1 июля 2005 г.
^ «Категория Кинжала в nLab» .
^ Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], «Категория с инволюцией» , Энциклопедия математики , EMS Press

Категория кинжалов в n Lab

[Burgin-1] М. Бургин, Категории с инволюцией и соответствиями в γ-категориях , IX Всесоюзный алгебраический коллоквиум, Гомель (1968), стр.34–35; Бургин М., Категории с инволюцией и отношения в γ-категориях , Труды Московского математического общества, 1970, т. 22, стр. 161–228.

[Lambek-2] Дж. Ламбек , Погоня за диаграммой в упорядоченных категориях с инволюцией , Журнал чистой и прикладной алгебры 143 (1999), № 1–3, 293–307

[Selinger-3] П. Селинджер, Компактные закрытые категории Dagger и полностью положительные карты , Материалы 3-го международного семинара по квантовым языкам программирования, Чикаго, 30 июня – 1 июля 2005 г.

[4] «Категория Кинжала в nLab» .

[Springer-5] Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], «Категория с инволюцией» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]