Кинжал симметричной моноидальной категории

В математической области теории категорий является кинжально-симметричная моноидальная категория моноидальной категорией. $\langle \mathbf {C} ,\otimes ,I\rangle$ он также имеет структуру кинжала . То есть эта категория снабжена не только тензорным произведением в теоретико-категорном смысле, но и кинжаловой структурой, которая используется для описания унитарных морфизмов и самосопряженных морфизмов в $\mathbf {C}$: абстрактные аналоги найденных в FdHilb , категории конечномерных гильбертовых пространств . Этот тип категории был введен Питером Селинджером. в качестве промежуточной структуры между категориями кинжала и компактными категориями кинжала , которые используются в категориальной квантовой механике , области, которая теперь также рассматривает симметричные моноидальные категории кинжала при работе с бесконечномерными квантовомеханическими концепциями.

Формальное определение

Симметричная моноидальная категория «кинжал» — это симметричная моноидальная категория. $\mathbf {C}$ который также имеет структуру кинжала, такую, что для всех $f:A\rightarrow B$, $g:C\rightarrow D$ и все $A,B,C$ и $D$ в $Ob(\mathbf {C} )$,

• $(f\otimes g)^{\dagger }=f^{\dagger }\otimes g^{\dagger }:B\otimes D\rightarrow A\otimes C$;
• $\alpha _{A,B,C}^{\dagger }=\alpha _{A,B,C}^{-1}:A\otimes (B\otimes C)\rightarrow (A\otimes B)\otimes C$;
• $\rho _{A}^{\dagger }=\rho _{A}^{-1}:A\rightarrow A\otimes I$;
• $\lambda _{A}^{\dagger }=\lambda _{A}^{-1}:A\rightarrow I\otimes A$ и
• $\sigma _{A,B}^{\dagger }=\sigma _{A,B}^{-1}:B\otimes A\rightarrow A\otimes B$.

Здесь, $\alpha ,\lambda ,\rho$ и $\sigma$ являются естественными изоморфизмами , образующими симметричную моноидальную структуру .

Примеры

Следующие категории являются примерами симметричных моноидальных категорий кинжала:

• Категория , Rel множеств и отношений где тензор задается произведением , а кинжал отношения задается его реляционным обращением.
• Категория FdHilb гильбертовых конечномерных гильбертовых пространств представляет собой кинжало-симметричную моноидальную категорию, где тензор является обычным тензорным произведением пространств и где крестик линейного отображения задается его эрмитовым сопряженным .

Симметричная моноидальная категория «кинжал», которая также является компактно-замкнутой, является компактной категорией «кинжал» ; Оба приведенных выше примера на самом деле представляют собой компактный кинжал.

См. также

• Сильно ленточная категория