Категория ленты

В математике категория ленты , также называемая тортильной категорией , представляет собой особый тип плетеной моноидальной категории .

Определение

Моноидальная категория ${\mathcal {C}}$ — это, грубо говоря, категория , наделенная понятием, напоминающим тензорное произведение (скажем, векторных пространств). То есть для любых двух объектов $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}$, есть объект $C_{1}\otimes C_{2}\in {\mathcal {C}}$. Задание $C_{1},C_{2}\mapsto C_{1}\otimes C_{2}$ Предполагается, что он функториален и требует ряда дополнительных свойств, таких как единичный объект 1 и изоморфизм ассоциативности . Такая категория называется сплетенной, если существуют изоморфизмы

$c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}{\stackrel {\cong }{\rightarrow }}C_{2}\otimes C_{1}.$

Скрученная моноидальная категория называется ленточной категорией, если она остается жесткой слева и имеет семейство скручиваний . Первое означает, что для каждого объекта $C$ есть еще один объект (называемый левым дуалом ), $C^{*}$, с картами

$1\rightarrow C\otimes C^{*},C^{*}\otimes C\rightarrow 1$

такие, что композиции

$C^{*}\cong C^{*}\otimes 1\rightarrow C^{*}\otimes (C\otimes C^{*})\cong (C^{*}\otimes C)\otimes C^{*}\rightarrow 1\otimes C^{*}\cong C^{*}$

равно тождеству $C^{*}$, и аналогично с $C$. Повороты - это карты

$C\in {\mathcal {C}}$, $\theta _{C}:C\rightarrow C$

такой, что

${\begin{aligned}\theta _{C_{1}\otimes C_{2}}&=c_{C_{2},C_{1}}c_{C_{1},C_{2}}(\theta _{C_{1}}\otimes \theta _{C_{2}})\\\theta _{1}&=\mathrm {id} \\\theta _{C^{*}}&=(\theta _{C})^{*}.\end{aligned}}$

Чтобы попасть в категорию лент, двойные ленты должны быть совместимы с плетением и скрутками.

Конкретный пример

Рассмотрим категорию $\mathbf {FdVect} (\mathbb {C} )$ конечномерных векторных пространств над $\mathbb {C}$. Предположим, что $C$ такое векторное пространство, натянутое на базисные векторы ${\hat {e_{1}}},{\hat {e_{2}}},\cdots ,{\hat {e_{n}}}$. Мы поручаем $C$ двойной объект $C^{\dagger }$ натянуты базисными векторами ${\hat {e}}^{1},{\hat {e}}^{2},\cdots ,{\hat {e}}^{n}$. Тогда давайте определим

${\begin{aligned}\cdot :\ C^{\dagger }\otimes C&\to 1\\{\hat {e}}^{i}\cdot {\hat {e_{j}}}&\mapsto {\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}\end{aligned}}$

и его двойственность

${\begin{aligned}kI_{n}:1&\to C\otimes C^{\dagger }\\k&\mapsto k\sum _{i=1}^{n}{\hat {e_{i}}}\otimes {\hat {e}}^{i}\\&={\begin{pmatrix}k&0&\cdots &0\\0&k&&\vdots \\&&\ddots &\\0&\cdots &&k\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

(что в значительной степени сводится к присвоению заданного ${\hat {e_{i}}}$ двойной ${\hat {e}}^{i}$).

Тогда действительно мы находим, что (например)

${\begin{aligned}{\hat {e}}^{i}&\cong {\hat {e}}^{i}\otimes 1\\&{\underset {I_{n}}{\to }}{\hat {e}}^{i}\otimes \sum _{j=1}^{n}{\hat {e_{j}}}\otimes {\hat {e}}^{j}\\&\cong \sum _{j=1}^{n}\left({\hat {e}}^{i}\otimes {\hat {e_{j}}}\right)\otimes {\hat {e}}^{j}\\&{\underset {\cdot }{\to }}\sum _{j=1}^{n}{\begin{cases}1\otimes {\hat {e}}^{j}&i=j\\0\otimes {\hat {e}}^{j}&i\neq j\end{cases}}\\&=1\otimes {\hat {e}}^{i}\cong {\hat {e}}^{i}\end{aligned}}$

и аналогично для ${\hat {e_{i}}}$. Поскольку это доказательство применимо к любому конечномерному векторному пространству, мы показали, что наша структура над $\mathbf {FdVect}$ определяет (левую) жесткую моноидальную категорию.

Затем мы должны определить косы и скрутки таким образом, чтобы они были совместимыми. В данном случае это во многом заставляет одного определять другого на реалах. Например, если взять тривиальное плетение

${\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto (b,a)\end{aligned}}$

затем $c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}$, поэтому наш поворот должен подчиняться $\theta _{C_{1}\otimes C_{2}}=\theta _{C_{1}}\otimes \theta _{C_{2}}$. Другими словами, он должен работать поэлементно с тензорными произведениями. Но любой объект $C\in \mathbf {FdVect}$ можно записать в форме $C=\bigotimes _{i=1}^{n}1$ для некоторых $n$, $\theta _{C}=\bigotimes _{i=1}^{n}\theta _{1}=\bigotimes _{i=1}^{n}\mathrm {id} =\mathrm {id} _{C}$, поэтому наши повороты также должны быть тривиальными.

С другой стороны, мы можем ввести любой ненулевой мультипликативный множитель в приведенное выше правило сплетения, не нарушая изоморфизма (по крайней мере, в $\mathbb {C}$). Возьмем для примера плетение

${\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto i(b,a)\end{aligned}}$

Затем $c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=-\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}$. С $\theta _{1}=\mathrm {id}$, затем $\theta _{1\otimes 1}=-\mathrm {id} _{1\otimes 1}$; по индукции, если $C$ является $n$-мерный, тогда $\theta _{C}=(-1)^{n+1}\mathrm {id} _{C}$.

Другие примеры

• Категория проективных модулей над коммутативным кольцом . В этой категории моноидальная структура — это тензорное произведение , двойственный объект — двойственный в смысле (линейной) алгебры, которая опять-таки проективна. В данном случае поворотами являются карты идентичности .
• Более сложный пример ленточной категории — конечномерные представления квантовой группы .

Категория ленты имен мотивирована графическим изображением морфизмов.

Вариант

Сильно ленточная категория — это ленточная категория C, снабженная кинжаловой структурой такой, что функтор †: C ^на → C когерентно сохраняет ленточную структуру.

Ссылки

• Turaev, V.G. (2020) [1994]. Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds . de Gruyter. ISBN  978-3-11-088327-5 .
• Йеттер, Дэвид Н. (2001). Функториальная теория узлов . Всемирная научная. ISBN  978-981-281-046-5 . OCLC   1149402321 .
• Категория ленты в n Lab