Жесткая категория

В теории категорий , разделе математики , жесткая категория — это моноидальная категория , в которой каждый объект является жестким, то есть имеет двойственное X. ^* ( внутренний Hom [ X , 1 ]) и морфизм 1 → X ⊗ X ^* удовлетворяющие природным условиям. Категория называется правожесткой или левожесткой в ​​зависимости от того, имеет ли она праводвойственные или леводвойственные категории. Впервые они были определены (вслед за Александром Гротендиком ) Неантро Сааведрой Ривано в его диссертации о таннакских категориях .

Определение

Существует по крайней мере два эквивалентных определения жесткости.

• Объект X моноидальной категории называется левожестким, если существует объект Y и морфизмы $\eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y$ и $\epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1}$ так что обе композиции

$X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X$

$Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y$

являются тождествами. Правый жесткий объект определяется аналогично.

Инверсия — это объект X ⁻¹ такие, что оба X ⊗ X ⁻¹ и Х ⁻¹ ⊗ X изоморфны 1 , тождественному объекту моноидальной категории. Если объект X имеет левый (соответственно правый) обратный X ⁻¹ относительно тензорного произведения, то оно является левым (соответственно правым) жестким, и X ^* = Х ⁻¹ .

Операция взятия дуалов дает контравариантный функтор на жесткой категории.

Использует

Одним из важных применений жесткости является определение следа эндоморфизма твердого объекта. След может быть определен для любой базовой категории , т.е. такой жесткой категории, что ( ) ^** , функтор взятия двойственного дважды повторенного, изоморфен тождественному функтору. Тогда для любого правожесткого объекта X и любого другого объекта Y мы можем определить изоморфизм

$\phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.$

и его обратный изоморфизм

$\psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.$.

Тогда для любого эндоморфизма $f:X\to X$, след f определяется как композиция:

$\mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,$

Мы можем пойти дальше и определить размер твердого объекта следующим образом:

$\dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}$.

Ригидность также важна из-за ее связи с внутренними Хомами. Если X — левый жесткий объект, то каждый внутренний Hom вида [ X , Z существует и изоморфен Z ⊗ Y. ] В частности, в жесткой категории существуют все внутренние Hom.

Альтернативная терминология

Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет левую (соответственно правую) двойственную категорию, также иногда называют левой (соответственно правой) автономной категорией. Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет как левый, так и правый двойственный объект, иногда называют автономной категорией . Автономная категория, которая также является симметричной, называется компактной замкнутой категорией .

Обсуждение

Моноидальная категория — это категория с тензорным произведением, именно такая категория, для которой жесткость имеет смысл.

Категория чистых мотивов формируется за счет закрепления категории действенных чистых мотивов.

Ссылки

• Давыдов, А.А. (1998). «Моноидальные категории и функторы». Журнал математических наук . 88 (4): 458–472. дои : 10.1007/BF02365309 .
• Жесткая моноидальная категория в n Lab