Компактная закрытая категория

В теории категорий , разделе математики , компактные замкнутые категории являются общим контекстом для рассмотрения двойственных объектов . Идея двойственного объекта обобщает более знакомое понятие конечномерного векторного двойственного пространства . Итак, мотивирующим примером компактной замкнутой категории является FdVect , категория, имеющая конечномерные векторные пространства в качестве объектов и линейные карты в качестве морфизмов , с тензорным произведением в качестве моноидальной структуры. Другим примером является Rel , категория, имеющая множества в качестве объектов и отношения в качестве морфизмов с декартовой моноидальной структурой .

Симметричная компактная закрытая категория

Симметричная моноидальная категория $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ если компактно замкнут, каждый объект $A\in \mathbf {C}$ имеет двойной объект . Если это так, двойственный объект уникален с точностью до канонического изоморфизма и обозначается $A^{*}$.

Немного подробнее, объект $A^{*}$ называется двойственным ​ $A$ если он оснащен двумя морфизмами, называемыми единицей $\eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A$ и единица $\varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I$, удовлетворяющий уравнениям

$\lambda _{A}\circ (\varepsilon _{A}\otimes A)\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (A\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^{-1}=\mathrm {id} _{A}$

и

$\rho _{A^{*}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\otimes A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},$

где $\lambda ,\rho$ представляют собой введение агрегата слева и справа соответственно, и $\alpha$ является ассоциатором.

Для наглядности перепишем приведенные выше композиции схематически. Для того, чтобы $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ чтобы быть компактно-замкнутым, нам нужны следующие композиции, равные $\mathrm {id} _{A}$:

$A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A$

и $\mathrm {id} _{A^{*}}$:

$A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}$

Определение

В более общем плане, предположим $(\mathbf {C} ,\otimes ,I)$ является моноидальной категорией , не обязательно симметричной, как, например, в случае грамматики предгруппы . Вышеупомянутое понятие наличия двойственности $A^{*}$ для каждого объекта A заменяется объектом, имеющим как левый, так и правый сопряженный объект , $A^{l}$ и $A^{r}$, с соответствующей левой единицей $\eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}$, правая единица $\eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A$, левая единица $\varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I$, и правая единица $\varepsilon _{A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I$. Они должны удовлетворять четырем условиям дергания , каждое из которых является тождеством:

$A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\to A$

$A\to I\otimes A{\xrightarrow {\eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\otimes I\to A$

и

$A^{r}\to I\otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}$

$A^{l}\to A^{l}\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}I\otimes A^{l}\to A^{l}$

То есть в общем случае компактная замкнутая категория одновременно лево- и правожесткая и бизамкнутая .

Несимметричные компактные закрытые категории находят применение в лингвистике , в области категориальных грамматик и, в частности, в предгрупповых грамматиках , где отдельные левые и правые сопряженные необходимы для фиксации порядка слов в предложениях. В этом контексте компактные замкнутые моноидальные категории называются ( ламбековскими ) предгруппами .

Свойства

Компактные закрытые категории являются частным случаем моноидальных закрытых категорий , которые, в свою очередь, являются частным случаем закрытых категорий .

Компактные закрытые категории — это именно симметричные автономные категории . Они также *-автономны .

Каждая компактная замкнутая категория C допускает след . А именно, для каждого морфизма $f:A\otimes C\to B\otimes C$, можно определить

$\mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B$

можно показать, что это правильный след. Полезно изобразить это схематически: $A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.$

Примеры

Каноническим примером является категория FdVect с конечномерными векторными пространствами в качестве объектов и линейными картами в качестве морфизмов. Здесь $A^{*}$ является обычным двойственным векторным пространством $A$.

Категория конечномерных представлений любой группы также компактно-замкнута.

Категория Vect со всеми векторными пространствами как объектами и линейными картами как морфизмами не является компактно-замкнутой; он симметричен моноидально замкнут.

Категория симплекс

Симплексную категорию можно использовать для построения примера несимметричной компактной замкнутой категории. Категория симплекса — это категория ненулевых конечных ординалов (рассматриваемых как полностью упорядоченные множества ); его морфизмы являются сохраняющими порядок ( монотонными ) отображениями. Мы превращаем ее в моноидальную категорию, переходя в категорию стрелок , поэтому объекты являются морфизмами исходной категории, а морфизмы — коммутирующими квадратами . Тогда тензорное произведение категории стрелок является исходным оператором композиции. Левый и правый сопряженные — это операторы min и max; в частности, для монотонного отображения f имеется правое сопряженное

$f^{r}(n)=\sup\{m\in \mathbb {N} \mid f(m)\leq n\}$

и левый сопряженный

$f^{l}(n)=\inf\{m\in \mathbb {N} \mid n\leq f(m)\}$

Левые и правые единицы и единицы:

${\mbox{id}}\leq f\circ f^{l}\qquad {\mbox{(left unit)}}$

$\,{\mbox{id}}\leq f^{r}\circ f\quad \ \ \ {\mbox{(right unit)}}$

$f^{l}\circ f\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(left counit)}}$

$f\circ f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(right counit)}}$

Тогда одно из условий дергания

$f=f\circ {\mbox{id}}\leq f\circ (f^{r}\circ f)=(f\circ f^{r})\circ f\leq {\mbox{id}}\circ f=f.$

Остальные следуют аналогично. Переписку можно сделать понятнее, написав стрелку $\to$ вместо $\leq$и используя $\otimes$ для композиции функций $\circ$.

Категория компактных кинжалов

, Компактно-замкнутая моноидальная категория, симметричная кинжалу является компактной категорией кинжала .

Жесткая категория

Моноидальная категория, которая не является симметричной, но в остальном подчиняется приведенным выше аксиомам двойственности, известна как жесткая категория . Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет левую (соответственно правую) двойственную категорию, также иногда называют левой (соответственно правой) автономной категорией. Моноидальную категорию, в которой каждый объект имеет как левый, так и правый двойственный объект, иногда называют автономной категорией . Тогда автономная категория, которая также симметрична, является компактной замкнутой категорией.

Ссылки

Келли, генеральный директор ; Лаплаза, МЛ (1980). «Связность компактных закрытых категорий». Журнал чистой и прикладной алгебры . 19 : 193–213. дои : 10.1016/0022-4049(80)90101-2 .