*-автономная категория

В математике * -автономная (читай «звездно-автономная») категория C — это симметричная моноидальная замкнутая категория, снабженная дуализирующим объектом. $\bot$ . Эту концепцию также называют категорией Гротендика-Вердье ввиду ее связи с понятием двойственности Вердье .

Определение [ править ]

Пусть C — симметричная моноидальная замкнутая категория. Для любого объекта А и $\bot$ , существует морфизм

\partial _{A,\bot }:A\to (A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot

определяется как изображение биекцией, определяющей моноидальное замыкание

\mathrm {Hom} ((A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom} (A,(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )

морфизма

\mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot }\circ \gamma _{A\Rightarrow \bot ,A}:(A\Rightarrow \bot )\otimes A\to \bot

где $\gamma$ — симметрия тензорного произведения. Объект $\bot$ категории C называется дуализирующим, если ассоциированный морфизм $\partial _{A,\bot }$ является изоморфизмом для каждого объекта A категории C .

Эквивалентно, *-автономная категория — это симметричная моноидальная категория C вместе с функтором $(-)^{*}:C^{\mathrm {op} }\to C$ такой, что для каждого объекта A существует естественный изоморфизм $A\cong {A^{**}}$ , и для каждых трех объектов A , B и C существует естественная биекция

\mathrm {Hom} (A\otimes B,C^{*})\cong \mathrm {Hom} (A,(B\otimes C)^{*})

.

Тогда дуализирующий объект C определяется формулой $\bot =I^{*}$ . Эквивалентность двух определений показывается путем отождествления $A^{*}=A\Rightarrow \bot$ .

Свойства [ править ]

Компактные замкнутые категории *-автономны, дуализирующим объектом является моноидальная единица. И наоборот, если единицей *-автономной категории является дуализирующий объект, то существует каноническое семейство отображений

A^{*}\otimes B^{*}\to (B\otimes A)^{*}

.

Все это изоморфизмы тогда и только тогда, когда *-автономная категория компактно замкнута.

Примеры [ править ]

Знакомый пример — категория конечномерных векторных пространств над любым полем k, сделанным моноидальным с помощью обычного тензорного произведения векторных пространств. Объектом дуализации является k , одномерное векторное пространство, а дуализация соответствует транспозиции. Хотя категория всех векторных пространств над k не является *-автономной, подходящие расширения категорий топологических векторных пространств можно сделать *-автономными.

С другой стороны, категория топологических векторных пространств содержит чрезвычайно широкую полную подкатегорию — категорию Ste стереотипных пространств , которая представляет собой *-автономную категорию с дуализирующим объектом ${\mathbb {C} }$ и тензорное произведение $\circledast$ .

Различные модели линейной логики образуют *-автономные категории, самой ранней из которых была Жана-Ива Жирара категория когерентных пространств .

Категория полных полурешеток с морфизмами, сохраняющими все соединения, но не обязательно встречающимися, является *-автономной с дуализатором цепи из двух элементов. Вырожденный пример (все гомомножества мощности не более одной) дается любой булевой алгеброй (как частично упорядоченный набор ), сделанной моноидальной с использованием конъюнкции для тензорного произведения и взятия 0 в качестве дуализирующего объекта.

Формализм двойственности Вердье дает дополнительные примеры *-автономных категорий. Например, Боярченко и Дринфельд (2013) отмечают, что этим свойством обладает ограниченная производная категория конструктивных l-адических пучков на алгебраическом многообразии . Дальнейшие примеры включают производные категории конструктивных пучков в различных видах топологических пространств.

Примером самодвойственной категории, не являющейся *-автономной, являются конечные линейные порядки и непрерывные функции, которые имеют *, но не являются автономными: ее дуализирующим объектом является двухэлементная цепочка, но нет тензорного произведения.

Категория множеств и их частичных инъекций самодвойственна, поскольку обращение последней снова является частичной инъекцией.

Понятие *-автономной категории было введено Майклом Барром в 1979 году в монографии с таким названием. Барр определил понятие более общей ситуации V обогащенных симметричной моноидальной или автономной категорией V. -категорий, категорий , Приведенное выше определение специализируется на определении Барра на случае V = Множество обычных категорий, гомообъектов которых образуют множества (морфизмов). Монография Барра включает приложение, написанное его учеником По-Сян Чу, в котором развиваются детали конструкции, предложенной Барром и показывающей существование нетривиальных *-автономных V -категорий для всех симметричных моноидальных категорий V с обратными моделями, объекты которых десятилетие спустя стали известны как Чу пространства .

Несимметричный случай [ править ]

В бизамкнутой моноидальной категории C , не обязательно симметричной, все же возможно определить дуализирующий объект, а затем определить *-автономную категорию как бизамкнутую моноидальную категорию с дуализирующим объектом. Это эквивалентные определения, как и в симметричном случае.

Ссылки [ править ]

Барр, Майкл (1979). *-Автономные категории . Конспект лекций по математике. Том. 752. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0064579 . ISBN 978-3-540-09563-7 .
Барр, Майкл (1995). «Несимметричные *-автономные категории». Теоретическая информатика . 139 : 115–130. дои : 10.1016/0304-3975(94)00089-2 . S2CID 14721961 .
Барр, Майкл (1999). «*-автономные категории: еще раз по трассе» (PDF) . Теория и приложения категорий . 6 :5–24. CiteSeerX 10.1.1.39.881 .
Боярченко, Митя; Дринфельд, Владимир (2013). «Формализм двойственности в духе Гротендика и Вердье». Квантовая топология . 4 (4): 447–489. arXiv : 1108.6020 . дои : 10.4171/QT/45 . МР 3134025 . S2CID 55605535 .
звездно-автономная категория в n Lab