ℓ-т.е. пучок

В алгебраической геометрии ℓ-адический пучок нётеровой схемы X — это обратная система, состоящая из $\mathbb {Z} /\ell ^{n}$-модули $F_{n}$ в этальной топологии и $F_{n+1}\to F_{n}$ вызывая $F_{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} /\ell ^{n+1}}\mathbb {Z} /\ell ^{n}{\overset {\simeq }{\to }}F_{n}$.

Бхатта-Шольце Проэтальная топология предлагает альтернативный подход.

Мотивация

Развитие этальных когомологий в целом было вызвано желанием создать «топологическую» теорию когомологий алгебраических многообразий, т. е. теорию когомологий Вейля , работающую в любой характеристике. Существенной особенностью такой теории является то, что она допускает коэффициенты в поле характеристики 0. Однако постоянные этальные пучки без кручения не имеют интересных когомологий. Например, если $X$ представляет собой гладкую разновидность по полю $k$, затем $H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} )=0$ за все позитивное $i$. С другой стороны, постоянные пучки $\mathbb {Z} /m$ создают «правильные» когомологии, пока $m$ обратим в основном поле $k$. Итак, берется простое число $\ell$ для которого это верно и определяет $\ell$-адические когомологии как $H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}){\text{, and }}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})\otimes \mathbb {Q}$.

Однако это определение не является полностью удовлетворительным: как и в классическом случае топологических пространств, можно рассмотреть когомологии с коэффициентами в локальной системе $\mathbb {Q} _{\ell }$-векторных пространствах, и должна существовать эквивалентность категорий между такими локальными системами и непрерывными $\mathbb {Q} _{\ell }$-представления фундаментальной группы .

Другая проблема с приведенным выше определением заключается в том, что оно ведет себя хорошо только тогда, когда $k$ является раздельно-замкнутым. В этом случае все группы, входящие в обратный предел, конечно порождены и переход к пределу точен. Но если $k$ например, числовое поле , группы когомологий $H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})$ часто будет бесконечным, а предел неточным, что вызывает проблемы с функториальностью. Например, вообще не существует спектральной последовательности Хохшильда-Серра, связывающей $H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })$ к когомологиям Галуа $H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })$.

Эти соображения приводят к рассмотрению категории обратных систем пучков, описанной выше. Тогда достигается желаемая эквивалентность категорий представлениям фундаментальной группы (для $\mathbb {Z} _{\ell }$-локальные системы, и когда $X$ это нормально для $\mathbb {Q} _{\ell }$-системы), а вопрос в последнем абзаце решается с помощью так называемых непрерывных этальных когомологий, где берется производный функтор составного функтора предела по глобальным сечениям системы.

Конструктивные и лиссе ℓ-адические пучки

ℓ-адический пучок $\{F_{n}\}_{\geq 0}$ Говорят, что это

• конструктивно, если каждый $F_{n}$ можно построить .
• Лиссе, если каждый $F_{n}$ является конструктивным и локально постоянным.

Некоторые авторы (например, авторы SGA 4 1 ⁄ 2 ) предположим, что ℓ-адический пучок конструктивен.

Учитывая связную схему X с геометрической точкой x , SGA 1 определяет этальную фундаментальную группу. $\pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)$ X в точке x — группа, классифицирующая конечные накрытия Галуа X . Тогда категория лиссе ℓ-адических пучков на X эквивалентна категории непрерывных представлений $\pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)$ на конечной свободе $\mathbb {Z} _{l}$-модули. Это аналог соответствия между локальными системами и непрерывными представлениями фундаментальной группы в алгебраической топологии (из-за этого лиссе ℓ-адический пучок иногда также называют локальной системой).

ℓ-адические когомологии

ℓ-адические группы когомологий — это обратный предел этальных групп когомологий с определенными коэффициентами кручения.

«Производная категория» конструктивных ℓ-адических пучков.

Аналогично тому, как это происходит с ℓ-адическими когомологиями, производная категория конструктивных ${\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }$-пучки по существу определяются как $D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }.$

( Scholze & Bhatt 2013 ) пишет: «В повседневной жизни человек делает вид (без особых затруднений), что $D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })$ это просто полная подкатегория некоторой гипотетической производной категории $D(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })$ ..."

См. также

• Преобразование Фурье – Делиня

Ссылки

• Разоблачение V, VI Иллюзи, Люк , изд. (1977). Семинар Буа-Мари по алгебраической геометрии, 1965–66 SGA 5 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 589. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+484. дои : 10.1007/BFb0096802 . ISBN  3-540-08248-4 . МР   0491704 .
• Дж. С. Милн (1980), Государственные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08238-3

Внешние ссылки

• Mathoverflow: Хорошее объяснение того, что такое гладкий (ℓ-адический) пучок?
• Учебный семинар по теории чисел 2016–2017 гг. в Стэнфорде