Jump to content

Локальная система

В математике локальная система (или система локальных коэффициентов ) в топологическом пространстве X — это инструмент алгебраической топологии , который интерполирует между когомологиями с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A и общими пучковыми когомологиями , в которых коэффициенты изменяются от точки к точке. . Системы локальных коэффициентов были введены Норманом Стинродом в 1943 году. [1]

Локальные системы являются строительными блоками более общих инструментов, таких как конструируемые и извращенные пучки.

Определение [ править ]

Пусть X топологическое пространство . Локальная система (абелевых групп/модулей/...) на X — это локально постоянный пучок ( абелевых групп / модулей ...) на X . Другими словами, пучок является локальной системой, если каждая точка имеет открытую окрестность такой, что ограниченный пучок изоморфен расслоению некоторого постоянного предпучка. [ нужны разъяснения ]

Эквивалентные определения [ править ]

Пространства, связанные путями [ править ]

Если X связан по пути , [ нужны разъяснения ] локальная система абелевых групп имеет один и тот же стебель в каждой точке. существует биективное соответствие. Между локальными системами на X и групповыми гомоморфизмами

и аналогично для локальных систем модулей. Карта предоставление локальной системе называется монодромии представлением .

Доказательство эквивалентности

Возьмем локальную систему и петля в х . Легко показать, что любая локальная система на является постоянным. Например, является постоянным. Это дает изоморфизм , то есть между и сам. Обратно, если задан гомоморфизм , рассмотрим постоянный пучок на универсальной обложке из Х. ​Разделы, инвариантные к преобразованию колоды дает локальную систему X. на эквивариантному преобразованию колоды, Аналогично, разделы, эквивалентные ρ- дают другую локальную систему на X : для достаточно малого открытого множества U она определяется как

где является универсальным покрытием.

Это показывает, что (для X линейно связного) локальная система представляет собой в точности пучок, обратный образ которого к накрытию X универсальному является постоянным пучком.

Это соответствие можно повысить до эквивалентности категорий между категорией локальных систем абелевых групп на X и категорией абелевых групп, наделенных действием (эквивалентно, -модули). [2]

Более строгое определение несвязных пространств [ править ]

Более сильное неэквивалентное определение, которое работает для несвязного X , следующее: локальная система является ковариантным функтором.

из фундаментального группоида к категории модулей над коммутативным кольцом , где обычно . Это эквивалентно данным назначения каждой точке. модуль вместе с представлением группы такое, что различные совместимы с изменением базовой точки и индуцированное отображение по фундаментальным группам .

Примеры [ править ]

  • Постоянные пучки, такие как . Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку в хороших ситуациях существует изоморфизм между пучковыми когомологиями и сингулярными когомологиями:

  • Позволять . С , есть семейство локальных систем на X, соответствующих отображениям :

  • Горизонтальные сечения векторных расслоений с плоской связностью. Если представляет собой векторное расслоение с плоской связностью , то существует локальная система, заданная формулой
    Например, возьмите и , тривиальный расслоение. Секции E представляют собой n - наборы функций на X , поэтому определяет плоскую связь на E , как и для любой матрицы одноформ на Х. ​Тогда горизонтальные секции

    т. е. решения линейного дифференциального уравнения .

    Если расширяется до одной формы на вышеизложенное также определит локальную систему на , поэтому это будет тривиально, поскольку . Итак, чтобы дать интересный пример, выберите пример с полюсом в 0 :

    в этом случае для ,
  • карта n- листная покрывающая является локальной системой со слоями, заданными множеством . Точно так же расслоение с дискретными слоями является локальной системой, поскольку каждый путь однозначно поднимается до заданного подъема своей базовой точки. (Определение корректируется и включает очевидным образом локальные системы с множеством значений).
  • Локальная система k -векторных пространств на X эквивалентна k -линейному представлению пространства .
  • Если X — многообразие, локальные системы — это то же самое, что D-модули , которые дополнительно являются связными O_X -модулями (см. O-модули ).
  • Если соединение не плоское (т. е. его кривизна не равна нулю), то параллельная транспортировка слоя F_x по x вокруг сжимаемой петли, основанной в x _0, может дать нетривиальный автоморфизм F_x , поэтому локально постоянные пучки не обязательно могут быть определены для не -плоские соединения.

Когомологии [ править ]

Есть несколько способов определить когомологии локальной системы, называемые когомологиями с локальными коэффициентами которые становятся эквивалентными при мягких предположениях на X. ,

  • Учитывая локально постоянный пучок абелевых групп на X мы имеем пучков когомологий группы с коэффициентами в .
  • Учитывая локально постоянный пучок абелевых групп на X , пусть — группа всех функций f , которые отображают каждый сингулярный n -симплекс в глобальный раздел пучка прообразов . Эти группы можно превратить в коцепный комплекс с дифференциалами, построенными так же, как и в обычных сингулярных когомологиях. Определять быть когомологиями этого комплекса.
  • Группа сингулярных n -цепей на универсальном накрытии X имеет действие путем трансформаций колоды . Явно трансформация колоды принимает единственный n -симплекс к . Тогда для абелевой группы L, снабженной действием , из групп можно образовать коцепной комплекс из -эквивариантные гомоморфизмы, как указано выше. Определять быть когомологиями этого комплекса.

Если X паракомпактно , и локально стягиваемо то . [3] Если — локальная система, соответствующая L , то существует отождествление совместим с дифференциалами, [4] так .

Обобщение [ править ]

Локальные системы имеют мягкое обобщение на конструктивные пучки - конструктивный пучок в топологическом пространстве, связанном локальными путями. это сноп такое, что существует расслоение

где это локальная система. Обычно они находятся путем взятия когомологий полученного продвижения для некоторого непрерывного отображения. . Например, если мы посмотрим на комплексные точки морфизма

затем волокна закончились

представляют собой гладкую плоскую кривую, определяемую формулой , но волокна закончились являются . Если мы возьмем производное продвижение вперед тогда мы получим конструктивный пучок. Над у нас есть локальные системы

пока закончилось у нас есть локальные системы

где — род плоской кривой (которая есть ).

Приложения [ править ]

Когомологии с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентационному накрытию, можно использовать для формулировки двойственности Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Искривленную двойственность Пуанкаре .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Стинрод, Норман Э. (1943). «Гомологии с локальными коэффициентами». Анналы математики . 44 (4): 610–627. дои : 10.2307/1969099 . МР   0009114 .
  2. ^ Милн, Джеймс С. (2017). Знакомство с сортами Симура . Предложение 14.7.
  3. ^ Бредон, Глен Э. (1997). Теория пучков , второе издание, Тексты для аспирантов по математике, том. 25, Шпрингер-Верлаг . Глава III, Теорема 1.1.
  4. ^ Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета . Раздел 3.H.

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 73146bd6677d8545ff733718da4fa3eb__1713569880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/73/eb/73146bd6677d8545ff733718da4fa3eb.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Local system - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)