Локальная система

В математике локальная система (или система локальных коэффициентов ) в топологическом пространстве X — это инструмент алгебраической топологии , который интерполирует между когомологиями с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A и общими пучковыми когомологиями , в которых коэффициенты изменяются от точки к точке. . Системы локальных коэффициентов были введены Норманом Стинродом в 1943 году.

Локальные системы являются строительными блоками более общих инструментов, таких как конструируемые и извращенные пучки.

Определение

Пусть X — топологическое пространство . Локальная система (абелевых групп/модулей/...) на X — это локально постоянный пучок ( абелевых групп / модулей ...) на X . Другими словами, пучок ${\mathcal {L}}$ является локальной системой, если каждая точка имеет открытую окрестность $U$ такой, что ограниченный пучок ${\mathcal {L}}|_{U}$ изоморфен расслоению некоторого постоянного предпучка.

Эквивалентные определения

Пространства, связанные путями

Если X связан по пути , локальная система ${\mathcal {L}}$ абелевых групп имеет один и тот же стебель $L$ в каждой точке. существует биективное соответствие. Между локальными системами на X и групповыми гомоморфизмами

$\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}(L)$

и аналогично для локальных систем модулей. Карта $\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$ предоставление локальной системе ${\mathcal {L}}$ называется монодромии представлением ​ ${\mathcal {L}}$.

Доказательство эквивалентности

Возьмем локальную систему ${\mathcal {L}}$ и петля $\gamma$ в х . Легко показать, что любая локальная система на $[0,1]$ является постоянным. Например, $\gamma ^{*}{\mathcal {L}}$ является постоянным. Это дает изоморфизм $(\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{0}\simeq \Gamma ([0,1],{\mathcal {L}})\simeq (\gamma ^{*}{\mathcal {L}})_{1}$, то есть между $L$ и сам. Обратно, если задан гомоморфизм $\rho :\pi _{1}(X,x)\to {\text{End}}(L)$, рассмотрим постоянный пучок ${\underline {L}}$ на универсальной обложке ${\widetilde {X}}$ из Х. ​Разделы, инвариантные к преобразованию колоды ${\underline {L}}$ дает локальную систему X. на эквивариантному преобразованию колоды, Аналогично, разделы, эквивалентные ρ- дают другую локальную систему на X : для достаточно малого открытого множества U она определяется как

${\mathcal {L}}(\rho )_{U}\ =\ \left\{{\text{sections }}s\in {\underline {L}}_{\pi ^{-1}(U)}{\text{ with }}\theta \circ s=\rho (\theta )s{\text{ for all }}\theta \in {\text{ Deck}}({\widetilde {X}}/X)=\pi _{1}(X,x)\right\}$

где $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ является универсальным покрытием.

Это показывает, что (для X линейно связного) локальная система представляет собой в точности пучок, обратный образ которого к накрытию X универсальному является постоянным пучком.

Это соответствие можно повысить до эквивалентности категорий между категорией локальных систем абелевых групп на X и категорией абелевых групп, наделенных действием $\pi _{1}(X,x)$ (эквивалентно, $\mathbb {Z} [\pi _{1}(X,x)]$-модули).

Более строгое определение несвязных пространств

Более сильное неэквивалентное определение, которое работает для несвязного X , следующее: локальная система является ковариантным функтором.

${\mathcal {L}}\colon \Pi _{1}(X)\to {\textbf {Mod}}(R)$

из фундаментального группоида $X$ к категории модулей над коммутативным кольцом $R$, где обычно $R=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$. Это эквивалентно данным назначения каждой точке. $x\in X$ модуль $M$ вместе с представлением группы $\rho _{x}:\pi _{1}(X,x)\to {\text{Aut}}_{R}(M)$ такое, что различные $\rho _{x}$ совместимы с изменением базовой точки $x\to y$ и индуцированное отображение $\pi _{1}(X,x)\to \pi _{1}(X,y)$ по фундаментальным группам .

Примеры

• Постоянные пучки, такие как ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}$. Это полезный инструмент для вычисления когомологий, поскольку в хороших ситуациях существует изоморфизм между пучковыми когомологиями и сингулярными когомологиями:

$$H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )$$

• Позволять $X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. С $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z}$, есть $S^{1}$ семейство локальных систем на X, соответствующих отображениям $n\mapsto e^{in\theta }$:

$$\rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )$$

• Горизонтальные сечения векторных расслоений с плоской связностью. Если $E\to X$ представляет собой векторное расслоение с плоской связностью $\nabla$, то существует локальная система, заданная формулой
  $$E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}$$
  Например, возьмите $X=\mathbb {C} \setminus 0$ и $E=X\times \mathbb {C} ^{n}$, тривиальный расслоение. Секции E представляют собой n - наборы функций на X , поэтому $\nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})$ определяет плоскую связь на E , как и $\nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}$ для любой матрицы одноформ $\Theta$ на Х. ​Тогда горизонтальные секции
  $$E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}$$
  т. е. решения линейного дифференциального уравнения $df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}$.

  Если $\Theta$ расширяется до одной формы на $\mathbb {C}$ вышеизложенное также определит локальную систему на $\mathbb {C}$, поэтому это будет тривиально, поскольку $\pi _{1}(\mathbb {C} )=0$. Итак, чтобы дать интересный пример, выберите пример с полюсом в 0 :

  $$\Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}$$
  в этом случае для $\nabla =d+\Theta$,
  $$E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}$$

• карта n- листная покрывающая $X\to Y$ является локальной системой со слоями, заданными множеством $\{1,\dots ,n\}$. Точно так же расслоение с дискретными слоями является локальной системой, поскольку каждый путь однозначно поднимается до заданного подъема своей базовой точки. (Определение корректируется и включает очевидным образом локальные системы с множеством значений).

• Локальная система k -векторных пространств на X эквивалентна k -линейному представлению пространства $\pi _{1}(X,x)$.

• Если X — многообразие, локальные системы — это то же самое, что D-модули , которые дополнительно являются связными O_X -модулями (см. O-модули ).

• Если соединение не плоское (т. е. его кривизна не равна нулю), то параллельная транспортировка слоя F_x по x вокруг сжимаемой петли, основанной в x _0, может дать нетривиальный автоморфизм F_x , поэтому локально постоянные пучки не обязательно могут быть определены для не -плоские соединения.

• Связь Гаусса -Манина является ярким примером связи, горизонтальные сечения которой изучаются в связи с изменением структур Ходжа .

Когомологии

Есть несколько способов определить когомологии локальной системы, называемые когомологиями с локальными коэффициентами которые становятся эквивалентными при мягких предположениях на X. ,

• Учитывая локально постоянный пучок ${\mathcal {L}}$ абелевых групп на X мы имеем пучков когомологий группы $H^{j}(X,{\mathcal {L}})$ с коэффициентами в ${\mathcal {L}}$.

• Учитывая локально постоянный пучок ${\mathcal {L}}$ абелевых групп на X , пусть $C^{n}(X;{\mathcal {L}})$ — группа всех функций f , которые отображают каждый сингулярный n -симплекс $\sigma \colon \Delta ^{n}\to X$ в глобальный раздел $f(\sigma )$ пучка прообразов $\sigma ^{-1}{\mathcal {L}}$. Эти группы можно превратить в коцепный комплекс с дифференциалами, построенными так же, как и в обычных сингулярных когомологиях. Определять $H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})$ быть когомологиями этого комплекса.

• Группа $C_{n}({\widetilde {X}})$ сингулярных n -цепей на универсальном накрытии X имеет действие $\pi _{1}(X,x)$ путем трансформаций колоды . Явно трансформация колоды $\gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}$ принимает единственный n -симплекс $\sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}$ к $\gamma \circ \sigma$. Тогда для абелевой группы L, снабженной действием $\pi _{1}(X,x)$, из групп можно образовать коцепной комплекс $\operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)$ из $\pi _{1}(X,x)$-эквивариантные гомоморфизмы, как указано выше. Определять $H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)$ быть когомологиями этого комплекса.

Если X паракомпактно , и локально стягиваемо то $H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})$. Если ${\mathcal {L}}$ — локальная система, соответствующая L , то существует отождествление $C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)$ совместим с дифференциалами, так $H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)$.

Обобщение

Локальные системы имеют мягкое обобщение на конструктивные пучки - конструктивный пучок в топологическом пространстве, связанном локальными путями. $X$ это сноп ${\mathcal {L}}$ такое, что существует расслоение

$X=\coprod X_{\lambda }$

где ${\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}$ это локальная система. Обычно они находятся путем взятия когомологий полученного продвижения для некоторого непрерывного отображения. $f:X\to Y$. Например, если мы посмотрим на комплексные точки морфизма

$f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(stf(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])$

затем волокна закончились

$\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$

представляют собой гладкую плоскую кривую, определяемую формулой $f$, но волокна закончились $\mathbb {V}$ являются $\mathbb {P} ^{2}$. Если мы возьмем производное продвижение вперед $\mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$ тогда мы получим конструктивный пучок. Над $\mathbb {V}$ у нас есть локальные системы

${\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}$

пока закончилось $\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)$ у нас есть локальные системы

${\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}$

где $g$ — род плоской кривой (которая есть $g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2$).

Приложения

Когомологии с локальными коэффициентами в модуле, соответствующем ориентационному накрытию, можно использовать для формулировки двойственности Пуанкаре для неориентируемых многообразий: см. Искривленную двойственность Пуанкаре .

См. также

• Спектральная последовательность Лере
• Связь Гаусса – Манина
• D-модуль
• Гомология пересечения
• Извращенная связка

Внешние ссылки

• «Что такое на самом деле локальная система» . Обмен стеками .
• Шнелл, Кристиан. «Вычисление когомологий локальных систем» (PDF) . Обсуждается вычисление когомологий с коэффициентами в локальной системе с использованием скрученного комплекса де Рама.
• Уильямсон, Джорди . «Иллюстрированное руководство по извращенным связкам» (PDF) .
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). «Гомологии пересечений и перверсивные пучки» (PDF) .
• Эль Зейн, Фуад; Снусси, Джавад. «Локальные системы и конструктивные пучки» (PDF) .