Связь Гаусса – Манина

В математике связь Гаусса –Манина — это связь на некотором векторном расслоении над базовым пространством S семейства алгебраических многообразий. $V_{s}$ . Слоями векторного расслоения являются когомологий де Рама группы $H_{DR}^{k}(V_{s})$ волокон $V_{s}$ семьи. Он был введен Юрием Маниным ( 1958 ) для кривых S и Александром Гротендиком ( 1966 ) в более высоких размерностях.

Плоские сечения пучка описываются дифференциальными уравнениями ; Самым известным из них является уравнение Пикара–Фукса , которое возникает, когда семейство многообразий принимается за семейство эллиптических кривых . Интуитивно, когда семейство локально тривиально, классы когомологий могут быть перемещены из одного слоя в семействе в соседние слои, обеспечивая концепцию «плоского сечения» в чисто топологических терминах. О существовании связи следует судить по плоским сечениям.

Интуиция

Рассмотрим гладкий морфизм схем $X\to B$ над характеристикой 0. Если мы рассматриваем эти пространства как комплексные аналитические пространства, то теорема о расслоениях Эресмана говорит нам, что каждый слой $X_{b}=f^{-1}(b)$ является гладким многообразием и каждый слой диффеоморфен. Это говорит нам о том, что группы когомологий де Рама $H^{k}(X_{b})$ все изоморфны. Мы можем использовать это наблюдение, чтобы задаться вопросом, что происходит, когда мы пытаемся дифференцировать классы когомологий, используя векторные поля из базового пространства. $B$ .

Рассмотрим класс когомологий $\alpha \in H^{k}(X)$ такой, что $i_{b}^{*}(\alpha )\in H^{k}(X_{b})$ где $i_{b}\colon X_{b}\to X$ это карта включения. Тогда, если мы рассмотрим классы

\left[i_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}\alpha }{\partial b_{1}^{i_{1}}\cdots \partial b_{n}^{i_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X_{b})

в конечном итоге между ними возникнет связь, называемая уравнением Пикара-Фукса . Связь Гаусса–Манина — это инструмент, который кодирует эту информацию в связь на плоском векторном расслоении на $B$ построенный из $H^{k}(X_{b})$ . ^{[ 1 ]}

Пример

Часто цитируемым примером является конструкция Дворка уравнения Пикара – Фукса . Позволять

V_{\lambda }(x,y,z)

быть эллиптической кривой

x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;

.

Здесь, $\lambda$ – свободный параметр, описывающий кривую; это элемент комплексной проективной прямой (семейства гиперповерхностей в $n-1$ размерности степени n , определенные аналогично, интенсивно изучались в последние годы в связи с теоремой о модулярности и ее расширениями). ^{[ 2 ]} Таким образом, базовым пространством расслоения считается проективная прямая. Для фиксированной $\lambda$ в базовом пространстве рассмотрим элемент $\omega _{\lambda }$ ассоциированной группы когомологий де Рама

\omega _{\lambda }\in H_{dR}^{1}(V_{\lambda }).

Каждый такой элемент соответствует периоду эллиптической кривой. Когомологии двумерны. Связь Гаусса–Манина соответствует дифференциальному уравнению второго порядка

(\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega _{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega _{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega _{\lambda }=0.

Объяснение D-модуля

В более абстрактной теории D-модулей существование таких уравнений включается в общее обсуждение прямого изображения .

Уравнения, «вытекающие из геометрии»

Весь класс связей Гаусса – Манина был использован, чтобы попытаться сформулировать концепцию дифференциальных уравнений, «возникающих из геометрии». В связи с Гротендика о p гипотезой доказал , -кривизне Николас Кац что класс связностей Гаусса–Манина с коэффициентами алгебраических чисел удовлетворяет гипотезе. Этот результат напрямую связан с Зигеля концепцией G -функции в теории трансцендентных чисел для мероморфных функциональных решений. Гипотеза Бомбьери -Дворка , также приписываемая Иву Андре , которая дана в более чем одной версии, постулирует обратное направление: решения в виде G -функций или p -кривизны нильпотентной по модулю p для почти всех простых чисел p означает, что уравнение «возникает» из геометрии». ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

См. также

Ссылки

^ «Справочник по связи Гаусса – Манина» . math.stackexchange.com .
^ Кац, Николас М. (2009). «Еще один взгляд на семью Дворков». Алгебра, арифметика и геометрия, том II (PDF) . Бостон: Биркхойзер. стр. 89–126. дои : 10.1007/978-0-8176-4747-6_4 . ISBN 978-0-8176-4746-9 . МР 2641188 .
^ Райтер, Стефан (2002). «О применении среднего функтора свертки Каца (деформация дифференциальных уравнений и асимптотический анализ)» (PDF) . Хранилище исследовательской информации Киотского университета .
^ Тотаро, Берт (2007). «Эйлер и алгебраическая геометрия» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 541–559. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01178-0 . МР 2338364 .

Куликов, Валентин (1998), Смешанные структуры Ходжа и особенности , Кембриджские трактаты по математике, стр. 1–59 (дает и отличное введение в связи Гаусса – Манина)
Димка, Александру , Пучки в топологии , стр. 55–57, 206–207 (приводит пример связей Гаусса–Манина и их связи с теорией D-модулей и соответствием Риммана-Гильберта)
Гриффитс, Филлип , Периоды интегралов на алгебраических многообразиях: краткое изложение основных результатов и обсуждение открытых проблем (дает краткий обзор основной структурной теоремы связностей Гаусса – Манина)
Барриентос, Иван, Связность Гаусса-Манина и регулярные особые точки. (PDF)
Гротендик, Александр (1966), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , письмо Атье, 14 октября 1963 г., 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807 , ISSN 0073-8301 , МР 0199194 , S2CID 123434721
«Связь Гаусса-Манина» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Manin, Ju. I. (1958), "Algebraic curves over fields with differentiation" , Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (in Russian), 22 : 737–756, MR 0103889 English translation in Манин, Ю. I. (1964) [1958], «Алгебраические кривые над полями с дифференцированием», переводы Американского математического общества: 22 статьи по алгебре, теории чисел и дифференциальной геометрии , том. 37, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 59–78, ISBN. 978-0-8218-1737-7 , МР 0103889

[1] «Справочник по связи Гаусса – Манина» . math.stackexchange.com .

[2] Кац, Николас М. (2009). «Еще один взгляд на семью Дворков». Алгебра, арифметика и геометрия, том II (PDF) . Бостон: Биркхойзер. стр. 89–126. дои : 10.1007/978-0-8176-4747-6_4 . ISBN 978-0-8176-4746-9 . МР 2641188 .

[3] Райтер, Стефан (2002). «О применении среднего функтора свертки Каца (деформация дифференциальных уравнений и асимптотический анализ)» (PDF) . Хранилище исследовательской информации Киотского университета .

[4] Тотаро, Берт (2007). «Эйлер и алгебраическая геометрия» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 44 (4): 541–559. дои : 10.1090/S0273-0979-07-01178-0 . МР 2338364 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]