Функтор прямого изображения

В математике функтор прямого изображения — это конструкция теории пучков , которая обобщает функтор глобальных сечений на относительный случай. Оно имеет фундаментальное значение в топологии и алгебраической геометрии . Учитывая пучок F, определенный в топологическом пространстве X , и непрерывное отображение f : X → Y , мы можем определить новый пучок f _∗ F на Y , называемый пучком прямого образа или пучком прямого изображения F вдоль f , такой, что глобальный сечения f _∗ F задаются глобальными сечениями F . Это присвоение порождает функтор f _∗ из категории пучков на X в категорию пучков на Y , который известен как функтор прямого образа. Подобные конструкции существуют во многих других алгебраических и геометрических контекстах, включая квазикогерентные пучки и этальные пучки на схеме .

Определение

Пусть f : X → Y — непрерывное отображение топологических пространств и пусть Sh(–) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Функтор прямого изображения

f_{*}:\operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)

отправляет пучок F на X в его предпучок прямого образа f _∗ F на Y , определенный на открытых подмножествах U из Y формулой

f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)).

Это оказывается пучком на Y и называется пучком прямого изображения или пучком прямого изображения F вдоль f .

Поскольку морфизм пучков φ: F → G на X порождает морфизм пучков f _∗ (φ): f _∗ ( F ) → f _∗ ( G ) на Y очевидным образом что f _∗ , мы действительно имеем , функтор.

Пример

Если Y — точка, а f : X → Y — единственное непрерывное отображение, то Sh( Y ) — категория Ab абелевых групп, а функтор прямого образа f _∗ : Sh( X ) → Ab равен функтору глобальных сечений .

Варианты

Если мы имеем дело с пучками множеств вместо пучков абелевых групп, применяется то же определение. Аналогично, если f : ( X , O _X ) → ( Y , O _Y ) является морфизмом кольцевых пространств , мы получаем функтор прямого образа f _∗ : Sh( X , O _X ) → Sh( Y , O _Y ) из категории пучков O _X -модулей к категории пучков O _Y -модулей. Более того, если f теперь является морфизмом квазикомпактных и квазиразделенных схем, то f _∗ сохраняет свойство квазикогерентности, поэтому мы получаем функтор прямого образа между категориями квазикогерентных пучков. ^[1]

Аналогичное определение применимо к пучкам на топосах , таким как этальные пучки . Там вместо приведенного выше прообраза f ⁻¹( U ), используется произведение U расслоенное и X над Y .

Характеристики

Формирование пучковых категорий и функторов прямого образа само по себе определяет функтор из категории топологических пространств в категорию категорий: для заданных непрерывных отображений f : X → Y и g : Y → Z мы имеем ( gf ) _∗ = g _∗ f _∗ .
Функтор прямого образа правосопряжён к функтору обратного образа , что означает, что для любого непрерывного $f:X\to Y$ и снопы ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ соответственно на X , Y существует естественный изоморфизм:

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})

.

Если f является включением замкнутого подпространства X ⊆ Y , то f _∗ является точным . Действительно, в этом случае f _∗ является эквивалентностью категории пучков на X и категории пучков на Y с носителем на X . Это следует из того, что стебель $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ является ${\mathcal {F}}_{y}$ если $y\in X$ замкнутость X в Y ). и ноль в противном случае (здесь используется
Если f — морфизм аффинных схем $\mathrm {Spec} \,S\to \mathrm {Spec} \,R$ определяется кольцевым гомоморфизмом $\phi :R\to S$ , то функтор прямого образа f _∗ на квазикогерентных пучках отождествляется с функтором ограничения скаляров вдоль φ.

Высшие прямые изображения

Функтор прямого изображения точен слева , но обычно не точен справа. Следовательно, можно рассмотреть правые производные функторы прямого образа. Их называют высшими прямыми образами и обозначают R ^д f _∗.

Можно показать, что для высших прямых образов существует выражение, аналогичное приведенному выше: для пучка F на X пучок R ^д f _∗ ( F ) — пучок, ассоциированный с предпучком

U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)

,

где Н ^д обозначает пучковые когомологии .

В контексте алгебраической геометрии и морфизма $f:X\to Y$ квазикомпактных и квазиразделенных схем также имеется правый производный функтор

Rf_{*}:D_{qcoh}(X)\to D_{qcoh}(Y)

как функтор между (неограниченными) производными категориями квазикогерентных пучков. В этой ситуации $Rf_{*}$ всегда допускает правое сопряженное $f^{\times }$ . ^[2] Это тесно связано с исключительным функтором обратного образа , но в целом не эквивалентно ему. $f^{!}$ , пока не $f$ тоже правильно .

См. также

Теорема о правильной замене базы

Ссылки

^ «Раздел 26.24 (01LA): Функциональность квазикогерентных модулей — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 20 сентября 2022 г.
^ «Раздел 48.3 (0A9D): Правое дополнение к pushforward — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 20 сентября 2022 г.

Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3 , МР 0842190 , особ. раздел II.4

[1] «Раздел 26.24 (01LA): Функциональность квазикогерентных модулей — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 20 сентября 2022 г.

[2] «Раздел 48.3 (0A9D): Правое дополнение к pushforward — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 20 сентября 2022 г.

[1]

[2]