Распространение топологии

В алгебраической геометрии этальная топология — это топология Гротендика в категории схем , которая имеет свойства, аналогичные евклидовой топологии, но, в отличие от евклидовой топологии, она также определена в положительной характеристике. Этальная топология была первоначально введена Александром Гротендиком для определения этальных когомологий , и это до сих пор является наиболее известным применением этальной топологии.

Определения

Для любой схемы X пусть Ét( X ) — категория всех этальных морфизмов схемы X. в Это аналог категории открытых подмножеств X (т. е. категории, объектами которой являются многообразия, а морфизмами — открытые погружения ). Его объекты можно неформально рассматривать как этальные открытые X. подмножества Пересечение двух объектов соответствует их произведению над X. расслоенному Ét( X ) — большая категория, а это означает, что ее объекты не образуют множество.

Этальный предпучок на X — это контравариантный функтор из Ét( X ) в категорию множеств. Предпучок F называется этальным, если он удовлетворяет аналогу обычного условия склейки пучков в топологических пространствах. То есть F является этальным пучком тогда и только тогда, когда верно следующее условие. Предположим, что U → X — объект Ét( X ) и что U _i → U — совместно сюръективное семейство этальных морфизмов X. над Для каждого выберите раздел x _i F U над i _. i Карта проекции U _i × U _j → U _i , которая, грубо говоря, представляет собой включение пересечения U _i и U _j в U _i , индуцирует отображение ограничения F ( U _i ) → F ( U _i × U _j ) . Если для всех i и j ограничения x _i и x _j на U _i × U _j равны, то должен существовать единственный раздел x из F над U , который ограничивается x _i для всех i .

Предположим, что X — нётерова схема. Абелев этальный пучок F на X называется конечным локально постоянным, если он представляет собой представимый функтор, который может быть представлен этальным накрытием X . Она называется конструктивной , если X можно покрыть конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F конечно локально постоянно. Она называется периодической если F ( U ) — периодическая группа для всех этальных накрытий U пространства X. , Конечные локально постоянные пучки конструктивны, а конструктивные пучки — кручения. Каждый торсионный пучок представляет собой фильтрованный индуктивный предел конструктивных пучков.

Гротендик первоначально представил механизм Гротендика топологий и топологий для определения этальной топологии. На этом языке определение этальной топологии является кратким, но абстрактным: это топология, порожденная предтопологией, покрывающие семейства которой являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Малый этальный узел X — это категория O ( Xét ₎ объектами которой являются схемы U с фиксированным этальным морфизмом U → X. , Морфизмы — это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями X. в Большой этальный узел X — это категория Ét/ X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемых с этальной топологией.

Этальная топология может быть определена с использованием немного меньшего количества данных. Во-первых, обратите внимание, что этальная топология тоньше, чем топология Зариского. Следовательно, для определения этального накрытия схемы X достаточно сначала покрыть X открытыми аффинными подсхемами, т. е. взять накрытие Зарисского, а затем определить этальное накрытие аффинной схемы. Этальное накрытие аффинной схемы X можно определить как совместно сюръективное семейство { u _α : X _α → X } такое, что множество всех α конечно, каждое X _α аффинно и каждое u _α этально. Тогда этальное накрытие X — это семейство { u _α : X _α → X }, которое становится этальным накрытием после замены базы на любую открытую аффинную подсхему X .

Местные кольца

Пусть X — схема с этальной топологией и зафиксируем x из X. точку В топологии Зариского слой X в точке x вычисляется путем прямого предела сечений структурного пучка по всем открытым Зарискому окрестностям x . В этальной топологии открытых окрестностей точки x строго больше , поэтому правильный аналог локального кольца в точке x формируется путем достижения предела по строго большему семейству. Правильным аналогом локального кольца в точке x для этальной топологии оказывается строгая гензелизация локального кольца ${\mathcal {O}}_{X,x}$ . ^{[ нужна ссылка ]} Обычно его обозначают ${\mathcal {O}}_{X,x}^{\text{sh}}$ .

Примеры

Для каждого морфизма распространения $U\to X$ , позволять $\mathbb {G} _{m}(U)={\mathcal {O}}_{U}(U)^{\times }$ . Затем $U\mapsto \mathbb {G} _{m}(U)$ является предпучком на X ; это пучок, так как его можно представить схемой $\operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {O}}_{X}[t,t^{-1}])$ .

См. также

Ссылки

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 20 . дои : 10.1007/bf02684747 . МР 0173675 .
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 . дои : 10.1007/bf02732123 . МР 0238860 .
Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 2 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 270. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ив+418. дои : 10.1007/BFb0061319 . ISBN 978-3-540-06012-3 .
Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 3 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 305.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ви+640. дои : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2 .
Делинь, Пьер (1977). Семинар Мари Вуд по алгебраической геометрии – Эталь когомологии – (SGA 4½) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 569. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. ив+312. дои : 10.1007/BFb0091516 . ISBN 978-3-540-08066-4 .
Дж. С. Милн (1980), Государственные когомологии , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3
Дж. С. Милн (2008). Лекции по распределенным когомологиям