Топология Нисневича

В алгебраической геометрии , топология Нисневича иногда называемая полностью разложенной топологией , — топология Гротендика на категории схем , которая использовалась в алгебраической К-теории , теории гомотопий А¹ и теории мотивов . Первоначально он был введен Евсеем Нисневичем, который руководствовался теорией аделей .

Определение [ править ]

Морфизм схем $f:Y\to X$ называется морфизмом Нисневича, если это этальный морфизм такой, что для каждой (возможно, незамкнутой) точки x ∈ X существует точка y ∈ Y в слое f ⁻¹( x ) такое, что индуцированное отображение полей вычетов k ( x ) → k ( y ) является изоморфизмом. Эквивалентно, f должен быть плоским , неразветвленным , локально конечного представления, и для каждой точки x ∈ X должна существовать точка y в слое f. ⁻¹( x ) такой, что k ( x ) → k ( y ) является изоморфизмом.

Семейство морфизмов { u _α : X _α → X } называется накрытием Нисневича , если каждый морфизм в семействе этальный и для каждой (возможно, незамкнутой) точки x ∈ X существуют α и точка y ∈ X _α st u _α ( y ) = x и индуцированное отображение полей вычетов k ( x ) → k ( y ) является изоморфизмом. Если семейство конечно, это эквивалентно морфизму $\coprod u_{\alpha }$ от $\coprod X_{\alpha }$ что X является морфизмом Нисневича. Покрытия Нисневича — это накрывающие семейства претопологий на категории схем и морфизмов схем. Это порождает топологию, называемую топологией Нисневича . Категория схем с топологией Нисневича обозначается Nis .

Малый сайт Нисневича X имеет в качестве базовой категории ту же категорию, что и малый этальный сайт, то есть объекты представляют собой схемы U с фиксированным этальным морфизмом U → X , а морфизмы являются морфизмами схем, совместимых с фиксированными отображениями в X . Допустимыми покрытиями являются морфизмы Нисневича.

Большой сайт Нисневича X имеет в своей основе категориальные схемы с фиксированным отображением в X и морфизмы, морфизмы X -схем. Топология задается морфизмами Нисневича.

Топология Нисневича имеет несколько вариантов, приспособленных для изучения особых многообразий. Покрытия в этих топологиях включают разрешения особенностей или более слабые формы разрешения.

Топология cdh допускает использование собственных бирациональных морфизмов в качестве покрытий.
Топология h допускает изменения Де Йонга в качестве покрытий.
Топология l допускает морфизмы, как в заключении теоремы о локальной униформизации Габбера.

Топологии cdh и l' несравнимы с этальной топологией , а топология h тоньше этальной топологии.

для покрытия Нисневича Эквивалентные условия

Предположим, что категория состоит из гладких схем над схемой qcqs (квазикомпактной и квазиразделенной), тогда исходное определение Нисневича ^[1]^{Замечание 3.39.}, что эквивалентно приведенному выше определению, для семейства морфизмов $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ схем быть накрытием Нисневича, если

Каждый $p_{\alpha }$ распространяется; и
Для всех полей $k$ , на уровне $k$ -точки, (теоретико-множественное) копроизведение $p_{k}:\coprod _{\alpha }U_{\alpha }(k)\to X(k)$ всех накрывающих морфизмов $p_{\alpha }$ является сюръективным.

Следующее еще одно эквивалентное условие для накрытий Нисневича принадлежит Лурье ^{[ нужна ссылка ]}: Топология Нисневича порождается всеми конечными семействами этальных морфизмов. $\{p_{\alpha }:U_{\alpha }\to X\}_{\alpha \in A}$ такая, что существует конечная последовательность конечно представленных замкнутых подсхем

$\varnothing =Z_{n+1}\subseteq Z_{n}\subseteq \cdots \subseteq Z_{1}\subseteq Z_{0}=X$

такой, что для $0\leq m\leq n$ ,

$\coprod _{\alpha \in A}p_{\alpha }^{-1}(Z_{m}-Z_{m+1})\to Z_{m}-Z_{m+1}$

допускает раздел.

Обратите внимание, что при оценке этих морфизмов на $S$ -точки, это означает, что карта является сюръекцией. Обратно, взяв тривиальную последовательность $Z_{0}=X$ дает результат в противоположном направлении.

Мотивация [ править ]

Один из ключевых мотивов ^[2] Введение топологии Нисневича в мотивных когомологиях связано с тем, что открытое накрытие Зариского $\pi :U\to X$ не дает разрешения пучков Зариского ^[3]

$\cdots \to \mathbf {Z} _{tr}(U\times _{X}U)\to \mathbf {Z} _{tr}(U)\to \mathbf {Z} _{tr}(X)\to 0$

где

$\mathbf {Z} _{tr}(Y)(Z):={\text{Hom}}_{cor}(Z,Y)$

представляет собой представимый функтор над категорией предпучков с переносами. Для топологии Нисневича локальные кольца гензелевы, а конечное покрытие гензелева кольца задается произведением гензелевых колец, что демонстрирует точность.

топологии Нисневича в Локальные кольца

Если x — точка схемы X , то локальное кольцо x в топологии Нисневича является гензелизацией локального кольца x в топологии Зарисского. Это отличается от топологии Etale, где локальные кольца представляют собой строгие гензелизации. Один из важных моментов между этими двумя случаями можно увидеть, глядя на локальное кольцо. $(R,{\mathfrak {p}})$ с полем вычетов $\kappa$ . В этом случае поля вычетов гензелизации и строгой генселизации различаются. ^[4]

${\begin{aligned}(R,{\mathfrak {p}})^{h}&\rightsquigarrow \kappa \\(R,{\mathfrak {p}})^{sh}&\rightsquigarrow \kappa ^{sep}\end{aligned}}$

поэтому поле вычетов строгой гензелизации дает сепарабельное замыкание исходного поля вычетов $\kappa$ .

покрытия Нисневича Примеры

Рассмотрим этальную обложку, заданную

{\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{2}-t))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])

Если мы посмотрим на соответствующий морфизм полей вычетов для общей точки базы, мы увидим, что это расширение степени 2.

\mathbb {C} (t)\to {\frac {\mathbb {C} (t)[x]}{(x^{2}-t)}}

Отсюда следует, что эта этальная обложка — не Нисневич. Мы можем добавить этальный морфизм $\mathbb {A} ^{1}-\{0,1\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ получить накрытие Нисневича, так как существует изоморфизм точек для общей точки $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ .

Условное покрытие [ править ]

Если мы возьмем $\mathbb {A} ^{1}$ как схема над полем $k$ , то покрытие ^[1]^{стр. 21} данный

${\begin{aligned}i:\mathbb {A} ^{1}-\{a\}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}\\f:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}\end{aligned}}$

где $i$ это включение и $f(x)=x^{k}$ , то это накрытие является Нисневичем тогда и только тогда, когда $x^{k}=a$ есть решение $k$ . В противном случае накрытие не может быть сюръективной на $k$ -баллы. В этом случае покрытием является только покрытие Etale.

Покрытия Зариски [ править ]

Каждое покрытие Зариски ^[1]^{стр. 21} Нисневич, но обратное, вообще говоря, неверно. ^[5] Это можно легко доказать, используя любое из определений, поскольку поля вычетов всегда будут изоморфизмом независимо от накрытия Зарисского, а по определению накрытие Зариского будет давать сюръекцию на точках. Кроме того, включения Зарисского всегда являются этале-морфизмами.

Приложения [ править ]

Нисневич представил свою топологию, чтобы дать когомологическую интерпретацию множества классов аффинной групповой схемы, которая первоначально была определена в адельных терминах. Он использовал ее, чтобы частично доказать гипотезу Александра Гротендика и Жан-Пьера Серра , которая утверждает, что рационально тривиальный торсор при редуктивной групповой схеме над целочисленной регулярной нетеровой базовой схемой локально тривиален в топологии Зариского . Одним из ключевых свойств топологии Нисневича является существование нисходящей спектральной последовательности . Пусть X — нётерова схема конечной размерности Крулля и Gn _{) —} ( X K-группы Квиллена категории когерентных пучков X. на Если ${\tilde {G}}_{n}^{\,{\text{cd}}}(X)$ является расслоением этих групп относительно топологии Нисневича, существует сходящаяся спектральная последовательность

E_{2}^{p,q}=H^{p}(X_{\text{cd}},{\tilde {G}}_{q}^{\,{\text{cd}}})\Rightarrow G_{q-p}(X)

для p ≥ 0 , q ≥ 0 и p-q ≥ 0 . Если $\ell$ — простое число, не равное характеристике X , то существует аналогичная сходящаяся спектральная последовательность для K-групп с коэффициентами из $\mathbf {Z} /\ell \mathbf {Z}$ .

Топология Нисневича нашла также важные применения в алгебраической K-теории , гомотопической теории A¹ и теории мотивов . ^[6]^[7]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Антио, Бенджамин; Эльманто, Элден (07 ноября 2016 г.). «Букварь нестабильной мотивной гомотопической теории». arXiv : 1605.00929 [ math.AG ].
^ Блох, Спенсер. Лекции по алгебраическим циклам . Кембридж. стр. ix.
^ Конспект лекций по мотивационным когомологиям . пример 6.13, стр. 39-40.
^ «Раздел 10.154 (0BSK): Генселизация и строгая генселизация — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 25 января 2021 г.
^ "контрпримеры - кавер Нисневича, который не является Зарисским" . MathOverflow . Проверено 25 января 2021 г.
^ Воеводский Владимир. «Триангулированные категории мотивов над полем k» (PDF) . Журнал K-теории . Предложение 3.1.3.
^ «Топология Нисневича» (PDF) . Архивировано из оригинала 23 сентября 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

Нисневич, Евсей А. (1989). «Полностью разложенная топология на схемах и связанных с ними спектральных последовательностях спуска в алгебраической K-теории». В JF Jardine и VP Snaith (ред.). Алгебраическая К-теория: связи с геометрией и топологией. Труды Института перспективных исследований НАТО, проходившие в Лейк-Луизе, Альберта, 7-11 декабря 1987 г. Институты передовых научных исследований НАТО, серия C: Математические и физические науки. Том. 279. Дордрехт: Группа академических издателей Kluwer. стр. 241–342. , доступно на сайте Нисневича

Левин, Марк (2008), Теория мотивационной гомотопии (PDF)

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Антио, Бенджамин; Эльманто, Элден (07 ноября 2016 г.). «Букварь нестабильной мотивной гомотопической теории». arXiv : 1605.00929 [ math.AG ].

[2] Блох, Спенсер. Лекции по алгебраическим циклам . Кембридж. стр. ix.

[3] Конспект лекций по мотивационным когомологиям . пример 6.13, стр. 39-40.

[4] «Раздел 10.154 (0BSK): Генселизация и строгая генселизация — проект Stacks» . stacks.math.columbia.edu . Проверено 25 января 2021 г.

[5] "контрпримеры - кавер Нисневича, который не является Зарисским" . MathOverflow . Проверено 25 января 2021 г.

[6] Воеводский Владимир. «Триангулированные категории мотивов над полем k» (PDF) . Журнал K-теории . Предложение 3.1.3.

[7] «Топология Нисневича» (PDF) . Архивировано из оригинала 23 сентября 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]