h топология

В алгебраической геометрии h - топология — топология Гротендика, Владимиром Воеводским для изучения гомологии схем введенная . Она сочетает в себе несколько хороших свойств, которыми обладают связанные с ней «под» топологии, такие как топологии qfh и cdh . Впоследствии он использовался Бейлинсоном для изучения p-адической теории Ходжа, в работе Бхатта и Шольце о проективности аффинного грассманиана, в исследовании дифференциальных форм Хубером и Йордером и т. д.

Определение

Воеводский определил топологию h как топологию, связанную с конечными семействами. $\{p_{i}:U_{i}\to X\}$ морфизмов конечного типа таких, что $\amalg U_{i}\to X$ является универсальным топологическим эпиморфизмом (т. е. набор точек в цели является открытым подмножеством тогда и только тогда, когда его прообраз открыт, и любое изменение базы также обладает этим свойством ). Воеводский работал с этой топологией исключительно над категориями. $Sch_{/S}^{ft}$ схем конечного типа над нётеровой базовой схемой S.

Бхатт-Шольце определяют топологию h в категории $Sch_{/S}^{fp}$ схем конечного представления над базовой схемой qcqs $S$ быть сгенерировано $v$-накрытия конечного представления. Они показывают (обобщая результаты Воеводского), что топология h порождается:

1. fppf-покрытия и
2. семьи формы $\{X'\to X,Z\to X\}$ где
   1. $X'\to X$ является собственным морфизмом конечного представления,
   2. $Z\to X$ является замкнутым погружением конечного представления, и
   3. $X'\to X$ является изоморфизмом над $X\setminus Z$.

Обратите внимание, что $X'=\varnothing$ допускается в абстрактном разрушении, и в этом случае Z является нилиммерсией конечного представления.

Примеры

H-топология не является субканонической, поэтому представимые предпучки почти никогда не являются h-пучками. Однако h-пучки представимых пучков представляют собой интересные и полезные объекты; хотя предпучки относительных циклов не представимы, связанные с ними h-пучки представимы в том смысле, что существует дизъюнктное объединение квазипроективных схем, h-пучки которых согласуются с этими h-пучками относительных циклов.

Любой h-пучок положительной характеристики удовлетворяет $F(X)=F(X^{perf})$ где мы интерпретируем $X^{perf}$ как копредел $\operatorname {colim} (F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}\dots )$ над фробениусами (если фробениус конечного представления, а если нет, то используйте аналогичный копредел, состоящий из морфизмов конечного представления). Действительно, (по положительной характеристике) h-расслоение ${\mathcal {O}}_{h}$ пучка структуры ${\mathcal {O}}$ дается ${\mathcal {O}}_{h}(X)={\mathcal {O}}(X^{perf})$. Таким образом, структурный пучок «является h-пучком категории совершенных схем» (хотя это предложение на самом деле не имеет смысла с математической точки зрения, поскольку морфизмы между совершенными схемами почти никогда не имеют конечного представления). В нулевой характеристике аналогичные результаты справедливы, но совершенство заменено полунормализацией .

Хубер-Йёрдер изучает h-пучковость. $\Omega _{h}^{n}$ предпучка $X\mapsto \Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})$ дифференциалов Кэлера на категориях схем конечного типа над характеристическим нулевым базовым полем $k$. Они показывают, что если X гладко, то $\Omega _{h}^{n}(X)=\Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})$, а для различных красивых негладких X пучок $\Omega _{h}^{n}$ восстанавливает такие объекты, как рефлексивные дифференциалы и дифференциалы без кручения. Поскольку Фробениус является h-накрытием, в положительной характеристике получаем $\Omega _{h}^{n}=0$ для $n>0$, но аналогичные результаты верны, если мы заменим h-топологию на cdh-топологию.

По Nullstellensatz морфизм конечного представления $X\to \operatorname {Spec} (k)$ к спектру поля $k$ допускает сечение с точностью до конечного расширения. То есть существует конечное расширение поля $L/k$ и факторизация $\operatorname {Spec} (L)\to X\to \operatorname {Spec} (k)$. Следовательно, для любого предпучка $F$ и поле $k$ у нас есть $F_{h}(k)=F_{et}(k^{perf})$ где $F_{h}$, соотв. $F_{et}$, обозначает h-расслоение, соотв. этальная снопичность.

Характеристики

Как уже говорилось выше, по положительной характеристике любой h-пучок удовлетворяет условию $F(X)=F(X^{perf})$. В нулевой характеристике имеем $F(X)=F(X^{sn})$ где $X^{sn}$ – это полунормализация (схема с тем же топологическим пространством, но структурный пучок заменен ее почленной полунормализацией).

Поскольку h-топология тоньше топологии Зарисского, каждая схема допускает h-покрытие аффинными схемами.

Используя абстрактные раздутия и нётерову индукцию, если $k$ — поле, допускающее разрешение особенностей (например, характеристическое нулевое поле), то любая схема конечного типа над $k$ допускает h-покрытие гладким $k$-схемы. В более общем смысле, в любой ситуации, когда справедлива теорема де Йонга об изменениях, мы можем найти h-покрытия по регулярным схемам.

Поскольку конечные морфизмы являются h-покрытиями, алгебраические соответствия представляют собой конечные суммы морфизмов.

CDH Топология

Топология cdh по категории $Sch_{/S}^{fp}$ схем конечного представления над базовой схемой qcqs $S$ генерируется:

1. покрытия Нисневича и
2. семьи формы $\{X'\to X,Z\to X\}$ где
   1. $X'\to X$ является собственным морфизмом конечного представления,
   2. $Z\to X$ является замкнутым погружением конечного представления, и
   3. $X'\to X$ является изоморфизмом над $X\setminus Z$.

CD (в том же смысле , означает полностью разложенный в каком он используется для топологии Нисневича ). Как упоминалось в разделе примеров, над полем, допускающим разрешение особенностей, любое многообразие допускает cdh-покрытие гладкими многообразиями. Эта топология широко используется при изучении мотивов Воеводского с целыми коэффициентами (с рациональными коэффициентами используется h-топология вместе с изменениями де Йонга).

Поскольку Фробениус не является cdh-покрытием, cdh-топология также является полезной заменой h-топологии при изучении дифференциалов в положительной характеристике.

Довольно запутанно то, что существуют полностью разложенные h-покрытия, которые не являются cdh-покрытиями, например полностью разложенное семейство плоских морфизмов. $\{\mathbb {A} ^{1}{\stackrel {x\mapsto x^{2}}{\to }}\mathbb {A} ^{1},\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}{\stackrel {x\mapsto x}{\to }}\mathbb {A} ^{1}\}$.

Связь с v-топологией и дуговой топологией

( v-топология или универсально субтрузивная топология) эквивалентна h -топологии на категории $Sch_{S}^{ft}$ схем конечного типа над нётеровой базовой схемой S . Действительно, морфизм в $Sch_{S}^{ft}$ является универсально субтрузивным тогда и только тогда, когда оно универсально погружающе (Рид (2010 , Кор.2.10). Другими словами,

$$Shv_{h}(Sch_{S}^{ft})=Shv_{v}(Sch_{S}^{ft}),\qquad (S\ {\textrm {Noetherian}})$$

В более общем плане по категории $Sch$ из всех схем qcqs ни одна из v- и h- топологий не является более тонкой, чем другая: $Shv_{h}(Sch)\not \subset Shv_{v}(Sch)$ и $Shv_{v}(Sch)\not \subset Shv_{h}(Sch)$. Существуют v -покрытия, не являющиеся h -покрытиями (например, $Spec(\mathbb {C} (x))\to Spec(\mathbb {C} )$) и h -покрытия, не являющиеся v -покрытиями (например, $Spec(R/{\mathfrak {p}})\sqcup Spec(R_{\mathfrak {p}})\to Spec(R)$ где R — кольцо нормирования ранга 2 и ${\mathfrak {p}}$ — неоткрытое и незамкнутое простое число Рид (2010 , пример 4.3)).

Однако мы могли бы определить h -аналог топологии fpqc, сказав, что hqc -покрытие представляет собой семейство $\{T_{i}\to T\}_{i\in I}$ такой, что для каждого аффинного открытия $U\subseteq T$ существует конечное множество K , отображение $i:K\to I$ и аффинное открытие $U_{i(k)}\subseteq T_{i(k)}\times _{T}U$ такой, что $\sqcup _{k\in K}U_{i(k)}\to U$ является универсально субмерсивным (без условий конечности). Тогда каждое v -покрытие является hqc -покрытием.

$$Shv_{hqc}(Sch)\subsetneq Shv_{v}(Sch).$$

Действительно, любой субтрузивный морфизм является субмерсивным (это легко выполнить, используя Rydh (2010 , Cor.1.5 и Def.2.2)).

По теореме Рида для отображения $f:Y\to X$ схем qcqs с $X$ Нётерианец, $f$ является v-покрытием тогда и только тогда, когда оно является дуговым накрытием (утверждение в такой форме см. в Bhatt & Mathew (2018 , Prop.2.6)). То есть в нетеровской постановке все сказанное выше для v-топологии справедливо и для дуговой топологии.

Дальнейшее чтение

• Бхатт, Бхаргав; Мэтью, Ахил (2018), Дуговая топология , arXiv : 1807.04725v2
• Рид, Дэвид (2010), «Погружения и эффективный спуск этальных морфизмов», Bull. Соц. Математика. Франция , 138 (2): 181–230, arXiv : 0710.2488 , doi : 10.24033/bsmf.2588 , MR   2679038 , S2CID   17484591