Плоский морфизм
В математике , в частности в теории схем алгебраической геометрии , плоский морфизм f схемы X в схему Y — это морфизм такой, что индуцированное отображение на каждом стебле является плоским отображением колец, т. е.
является плоским отображением для всех P в X . [1] Карта колец называется плоским, он является гомоморфизмом, делающим B плоским если A -модулем. Морфизм схем называется точно плоским, если он одновременно сюръективен и плоский. [2]
Два основных интуиции относительно плоских морфизмов:
- плоскостность — общее свойство ; и
- нарушение плоскостности происходит на скачущем множестве морфизма.
Первый из них исходит из коммутативной алгебры : при соблюдении некоторых условий конечности на f можно показать, что существует непустая открытая подсхема. Y Y , такой, что f, ограниченный ′ , является плоским морфизмом ( плоскость общего положения ). Здесь «ограничение» интерпретируется посредством расслоенного произведения схем , примененного к f , и включения отображения в Ю.
Во-вторых, идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы, которые обнаруживаются с помощью плоскостности. Например, операция сдувания в бирациональной геометрии алгебраической поверхности может дать единственный слой размерности 1, тогда как все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность в морфизмах напрямую связана с контролем это своего рода полунепрерывность , или односторонние прыжки.
Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоского топоса и плоских когомологий пучков из него. Это глубоко укоренившаяся теория, и с ней нелегко справиться. Понятие этального морфизма (и, следовательно, этальных когомологий ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечного типа и неразветвленным .
Примеры/не примеры [ править ]
Рассмотрим аффинную схему
индуцированный из очевидного морфизма алгебр
Поскольку доказательство плоскости этого морфизма сводится к вычислению [3]
решаем комплексные числа
и тензор модулем, представляющим нашу схему, дающую последовательность -модули
Поскольку t не является делителем нуля, у нас есть тривиальное ядро, следовательно, группа гомологии обращается в нуль.
Чудо-плоскость [ править ]
Другие примеры плоских морфизмов можно найти с помощью «чудо-плосткости». [4] в котором говорится, что если у вас есть морфизм между схемой Коэна–Маколея и регулярной схемой с равномерными слоями, то она плоская. Простыми примерами этого являются эллиптические расслоения , гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные многообразия , которые удовлетворяют чудесной плоскостности на каждом из слоев.
Схемы Гильберта [ править ]
Универсальные примеры плоских морфизмов схем дают схемы Гильберта . Это связано с тем, что схемы Гильберта параметризуют универсальные классы плоских морфизмов, а каждый плоский морфизм является возвратом к некоторой схеме Гильберта. Т.е., если плоская, существует коммутативная диаграмма
для схемы Гильберта всех плоских морфизмов на . С плоский, волокна все имеют одинаковый полином Гильберта , следовательно, мы могли бы написать аналогичным образом для схемы Гильберта, приведенной выше.
Непримеры [ править ]
Увеличенное изображение [ править ]
Один класс непримеров представляют собой увеличенные карты.
Одним из простых примеров является разрушение точки в . Если мы возьмем начало координат, оно задается морфизмом
- отправка
где волокно над точкой является копией , то есть,
что следует из
Но для , мы получаем изоморфизм
Причина, по которой это не является плоским, заключается в лемме Чуда о плоскостности, которую можно проверить локально.
Бесконечное разрешение [ править ]
Простой пример плоского морфизма: Это потому, что
представляет собой бесконечный комплекс, который мы можем найти, взяв плоское разрешение k ,
и тензоризируем разрешение с помощью k , мы находим, что
показывая, что морфизм не может быть плоским. Другим непримером плоского морфизма является раздутие , поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.
Свойства плоских морфизмов [ править ]
Позволять быть морфизмом схем. Для морфизма , позволять и Морфизм f плоский тогда и только тогда, когда для каждого g обратный образ является точным функтором из категории квазикогерентных -модули к категории квазикогерентных -модули. [5]
Предполагать и являются морфизмами схем и f плоская точка x в X . Тогда g плоская точка тогда и только тогда, когда gf плоская в точке x . [6] В частности, если f точно плоская, то g плоская или точно плоская тогда и только тогда, когда gf плоская или точно плоская соответственно. [7]
Фундаментальные свойства [ править ]
- Композиция двух плоских морфизмов плоская. [8]
- Слоевое произведение двух плоских или точно плоских морфизмов является соответственно плоским или строго плоским морфизмом. [9]
- Плоскостность и правильная плоскостность сохраняются за счет замены основания: если f плоское или совершенно плоское и , то произведение волокна является плоским или совершенно плоским соответственно. [10]
- Множество точек, в которых морфизм (локально конечного представления) является плоским, открыто. [11]
- Если f строго плоская и имеет конечное представление, и если gf имеет конечный тип или конечное представление, то g имеет конечный тип или конечное представление соответственно. [12]
Предполагать является плоским морфизмом схем.
- Если F — квазикогерентный пучок конечного представления на Y (в частности, если F когерентен), и если J — аннулятор F на Y , то , откат карты включения, является инъекцией, а образ в является разрушителем на Х. [13]
- Если f точно плоская и G — квазикогерентная -модуль, затем карта откатов на глобальных секциях является инъективным. [14]
Предполагать плоский. Пусть X и Y — S -схемы, и пусть и быть их базовым изменением на h .
- Если квазикомпактен и доминантен, то его база изменится является квазикомпактным и доминирующим. [15]
- Если h абсолютно плоский, то отображение обратного пути является инъективным. [16]
- Предполагать является квазикомпактным и квазиразделенным. Пусть Z — замкнутый образ X и пусть быть канонической инъекцией. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы это закрытое изображение . [17]
Топологические свойства [ править ]
Если плоский, то он обладает всеми следующими свойствами:
- Для каждой точки x из X и каждого обобщения y ′ из y = f ( x ) существует такое обобщение x ′ из x , что y ′ = f ( x ′) . [18]
- Для каждой точки x из X , . [19]
- Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y ′ множества Y каждая неприводимая компонента f −1 ( Y ′) доминирует над Y ′. [20]
- Если Z и Z ′ — два неприводимых замкнутых подмножества Y, причем Z содержится в Z ′, то для каждой неприводимой компоненты T множества f −1 ( Z ), существует неприводимая компонента T ′ функции f −1 ( Z ′ ), содержащий T . [21]
- Для каждого неприводимого компонента T из X замыкание f ( T является неприводимым компонентом Y. ) [22]
- Если Y неприводим с общей точкой y и если f −1 ( y ) неприводим, то X неприводим. [23]
- Если f также замкнуто, образ каждой компоненты связности X является компонентой связности Y . [24]
- Для каждого проконструируемого подмножества Z множества Y , . [25]
Если f плоская и локально конечного представления, то f универсально открыта. [26] Однако если f абсолютно плоская и квазикомпактная, то, вообще говоря, неверно, что f открыта, даже если X и Y нётеровы. [27] Более того, никакого обратного к этому утверждению не существует: если f — каноническое отображение приведенной схемы X red в X , то f — универсальный гомеоморфизм, но для X нередуцированного и нётерового f никогда не будет плоским. [28]
Если является абсолютно плоским, то:
- Топология на Y — это фактортопология относительно f . [29]
- Если f также квазикомпактно, и если Z является подмножеством Y , то Z является локально замкнутым проконструируемым подмножеством Y тогда и только тогда, когда f −1 ( Z ) — локально замкнутое проконструируемое подмножество X . [30]
Если f плоская и локально конечного представления, то для каждого из следующих свойств P множество точек, где f имеет P, открыто: [31]
- Условие Серра S k (при любом фиксированном k ).
- Геометрически правильный.
- Геометрически нормально.
Если, кроме того, f является собственным, то то же самое верно для каждого из следующих свойств: [32]
- Геометрически уменьшенный.
- Геометрически приведенный и имеющий k компонент геометрической связности (при любом фиксированном k ).
- Геометрически целочисленный.
Плоскостность и размерность [ править ]
Предполагать и локально нетеровы, и пусть .
- Пусть x будет точкой X и y = f ( x ) . Если f плоская, то dim x X = dim y Y + dim x f −1 ( и ) . [33] И наоборот, если это равенство выполняется для всех x , X является Коэном-Маколеем , а Y является регулярным , и, кроме того, f отображает закрытые точки в закрытые точки, то f является плоским. [34]
- Если f точно плоское, то для каждого замкнутого подмножества в Y codim Z Y ( Z ) = codim X ( f −1 ( С )) . [35]
- Предположим, что f плоский и F — квазикогерентный модуль над Y . Если F имеет проективную размерность не более n , то имеет проективную размерность не более n . [36]
Свойства спуска [ править ]
- Предположим, является плоским в точке x в X. f Если X уменьшен или нормален в точке x , то Y уменьшен или нормален соответственно в точке f ( x ). [37] Обратно, если f также имеет конечное представление и f −1 ( y ) уменьшена или нормальна соответственно в точке x , тогда X уменьшена или нормальна соответственно в точке x . [38]
- В частности, если f строго плоская, то уменьшенное или нормальное значение X означает, что Y уменьшено или нормально соответственно. Если f точно плоская и имеет конечное представление, то из всех слоев f, приведенных или нормальных, следует, что X приведено или нормально соответственно.
- Если f является плоским в точке x в X , и если X является целым или целозамкнутым в точке x , то Y является целым или целозамкнутым соответственно в точке f ( x ). [39]
- Если f точно плоский, X локально целочисленный и топологическое пространство Y локально нётерово, то Y локально целочисленный. [40]
- Если f точно плоский и квазикомпактный и если X локально нётерово, то Y также локально нётерово. [41]
- Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X регулярен в точке x , то Y регулярен в точке f ( x ). И наоборот, если Y регулярен в точке f ( x ) и f −1 ( f ( x )) регулярно в точке x , то X регулярно в точке x . [42]
- Предположим, что f плоская, а X и Y локально нётеровы. Если X является нормальным в точке x , то Y является нормальным в точке f ( x ). И наоборот, если Y нормален в точке f ( x ) и f −1 ( f ( x )) нормально в точке x , то X нормально в точке x . [43]
Пусть g : Y ′ → Y строго плоский. Пусть F — квазикогерентный пучок на Y и пусть F ′ — обратный образ F к Y ′. Тогда F плоская над Y тогда и только тогда, когда F плоская над Y . [44]
Предположим, что f строго плоская и квазикомпактная. Пусть G квазикогерентный пучок на Y , и пусть F обозначает его обратный образ к X. — Тогда F имеет конечный тип, конечное представление или локально свободна от ранга n тогда и только тогда, когда G обладает соответствующим свойством. [45]
Предположим, f : X → Y — S -морфизм S -схем. Пусть g : S ′ → S точно плоский и квазикомпактный, и пусть X ′, Y ′ и f ′ обозначают замены базы на g . Тогда для каждого из следующих свойств P , если f ' имеет , то f имеет P. P [46]
- Открыть.
- Закрыто.
- Квазикомпакт и гомеоморфизм на его образ.
- Гомеоморфизм.
Кроме того, для каждого из следующих свойств f P имеет P тогда и только тогда, когда f ′ имеет P . [47]
- Универсально открытый.
- Универсально закрыто.
- Универсальный гомеоморфизм.
- Квазикомпактный.
- Квазикомпактный и доминантный.
- Квазикомпактный и универсально бинепрерывный.
- Отдельно.
- Квази-разделенный.
- Локально конечного типа.
- Локально конечного представления.
- Конечный тип.
- Конечная презентация.
- Правильный.
- Изоморфизм.
- Мономорфизм.
- Открытое погружение.
- Квазикомпактное погружение.
- Закрытое погружение.
- Аффинный.
- Почти-похожи.
- Конечный.
- Квазиконечный.
- Интеграл.
Возможно, что f ′ является локальным изоморфизмом, но при этом f даже не является локальным погружением. [48]
Если f квазикомпактно и L обратимый пучок на X , то L является f -обильным или f -очень обильным тогда и только тогда, когда его образ L ' является f' -обильным или f' -очень обильным соответственно. [49] Однако неверно, что f проективен тогда и только тогда, когда f ′ проективен. Неверно даже, что если f собственный и f ′ проективен, то f квазипроективен, поскольку ′ возможно существование f ′-обильного пучка на X , который не спускается до X . [50]
См. также [ править ]
- fpqc морфизм
- Относительный эффективный делитель Картье , пример плоского морфизма
- Вырождение (алгебраическая геометрия)
Примечания [ править ]
- ^ ИЛИ IV 2 , 2.1.1.
- ^ ИЛИ 0 I , 6.7.8.
- ^ Сернеси, Э. (2010). Деформации алгебраических схем . Спрингер . стр. 269–279 .
- ^ «Плоские морфизмы и плоскостность» .
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.3.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.11(iv).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.13(iii).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.1.6.
- ^ EGA IV 2 , следствие 2.1.7, и EGA IV 2 , следствие 2.2.13(ii).
- ^ EGA IV 2 , предложение 2.1.4, и EGA IV 2 , следствие 2.2.13(i).
- ^ EGA IV 3 , Теорема 11.3.1.
- ^ EGA IV 3 , Предложение 11.3.16.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.11.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.8.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.7 (i).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.2.16.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.2.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4 (i).
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4(ii).
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.4(iii).
- ^ EGA IV 2 , следствие 2.3.5(i).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.5(ii).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.5(iii).
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.3.6(ii).
- ^ EGA IV 2 , Теорема 2.3.10.
- ^ EGA IV 2 , Теорема 2.4.6.
- ^ EGA IV 2 , Примечания 2.4.8 (i).
- ^ EGA IV 2 , Примечания 2.4.8(ii).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.12.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.3.14.
- ^ EGA IV 3 , Теорема 12.1.6.
- ^ EGA IV 3 , Теорема 12.2.4.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 6.1.2.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 6.1.5. предположение о регулярности Y. Обратите внимание, что здесь важно Расширение дает контрпример с X регулярным, Y нормальным, f конечным сюръективным, но не плоским.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 6.1.4.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 6.2.2.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.13.
- ^ EGA IV 3 , Предложение 11.3.13.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.13.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.1.14.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.2.14.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 6.5.2.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 6.5.4.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.5.1.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.5.2.
- ^ EGA IV 2 , Предложение 2.6.2.
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.6.4 и Предложение 2.7.1.
- ^ EGA IV 2 , Примечания 2.7.3(iii).
- ^ EGA IV 2 , Следствие 2.7.2.
- ^ EGA IV 2 , Примечания 2.7.3(ii).
Ссылки [ править ]
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960 , ISBN 978-0-387-94269-8 , раздел 6.
- Серр, Жан-Пьер (1956), «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Вторая часть» . Публикации IHÉS по математике . 24 . дои : 10.1007/bf02684322 . МР 0199181 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть третья» . Публикации IHÉS по математике . 28 . дои : 10.1007/bf02684343 . МР 0217086 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157