Плоская топология

В математике плоская топология — это топология Гротендика, используемая в алгебраической геометрии . Он используется для определения теории плоских когомологий ; он также играет фундаментальную роль в теории спуска (точно плоского спуска). ^[1] Термин «плоский» здесь происходит от плоских модулей .

Существует несколько несколько различающихся плоских топологий, наиболее распространенными из которых являются топология fppf и топология fpqc . fppf означает fidèlement Plate de Presentation Finie , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский и имеет конечное представление. fpqc означает fidèlementplate et quasi-compacte , и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он строго плоский. В обеих категориях накрывающее семейство определяется как семейство, которое является покрытием на открытых по Зарисскому подмножествах. ^[2] В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. ^[3] Эти топологии тесно связаны со спуском . «Чистая» строго плоская топология без каких-либо дополнительных условий конечности, таких как квазикомпактность или конечное представление, практически не используется, поскольку она не является субканонической; другими словами, представимые функторы не обязательно должны быть пучками.

К сожалению, терминология плоских топологий не стандартизирована. Некоторые авторы используют термин «топология» для обозначения предтопологии, и существует несколько несколько разных претопологий, иногда называемых (предварительной) топологией fppf или fpqc, которые иногда дают одну и ту же топологию.

Плоские когомологии были введены Гротендиком примерно в 1960 году. ^[4]

Большие и маленькие сайты fppf

Пусть X — аффинная схема . Мы определяем покрытие X fppf - как конечное совместно сюръективное семейство морфизмов.

( φ _а : Икс _а → Икс )

причем каждый X _{является} аффинным, а каждый φ _, — плоским конечно представленным . Это порождает претопологию : для произвольного X мы определяем fppf-покрытие X как семейство

( φ _а : Икс _а → Икс )

которое является покрытием fppf после замены базы на открытую аффинную подсхему X . Эта претопология порождает топологию, называемую топологией fppf . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы мы начали с произвольных X и X _a и рассматривали покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских, конечно представленных морфизмов.) Мы пишем Fppf для категории схем с топологией fppf. .

Малый fppf-сайт X — это категория O ( X _fppf ), объектами которой являются схемы U с фиксированным морфизмом U → X , входящим в некоторое накрывающее семейство. (Это не означает, что морфизм плоский, конечно определенный.) Морфизмы являются морфизмами схем, совместимых с фиксированными отображениями в X . Большой fppf-сайт X — это категория Fppf/X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемая с топологией fppf.

«Fppf» — это аббревиатура от «fidèlement Plate de Presentation Finie», то есть «точно плоская и ограниченного представления». Каждое сюръективное семейство плоских и конечно определенных морфизмов является покрывающим семейством для этой топологии, отсюда и название. Определение претопологии fppf также может быть дано с дополнительным условием квазиконечности; это следует из следствия 17.16.2 в EGA IV ₄ показывает, что это дает ту же топологию.

Большие и маленькие сайты fpqc

Пусть X — аффинная схема. Мы определяем покрытие X fpqc - как конечное и совместно сюръективное семейство морфизмов { u _α : X _α → X }, где каждый X _α аффинен, а каждый u _α плоский . Это порождает претопологию: для произвольного X мы определяем fpqc-покрытие X как семейство { u _α : X _α → X }, которое является fpqc-покрытием после замены базы на открытую аффинную подсхему X . Эта претопология порождает топологию, называемую топологией fpqc . (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольных X и X _α и рассматривали покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских морфизмов.) Мы пишем Fpqc для категории схем с топологией fpqc.

Малый fpqc-узел X — это категория O ( X _fpqc ), объектами которой являются схемы U с фиксированным морфизмом U → X , входящим в некоторое накрывающее семейство. Морфизмы — это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями X. в Большой fpqc-сайт X — это категория Fpqc/X , то есть категория схем с фиксированным отображением в X , рассматриваемая с топологией fpqc.

«Fpqc» — это аббревиатура от «квазикомпактной пластины fidèlement», то есть «совершенно плоской и квазикомпактной». Каждое сюръективное семейство плоских и квазикомпактных морфизмов является накрывающим семейством этой топологии, отсюда и название.

Плоские когомологии

Процедура определения групп когомологий стандартная: когомологии определяются как последовательность производных функторов функтора, занимающего сечения пучка абелевых групп .

Хотя такие группы имеют ряд приложений, их вообще нелегко вычислить, за исключением случаев, когда они сводятся к другим теориям, таким как этальные когомологии .

Пример

Следующий пример показывает, почему «совершенно плоская топология» без каких-либо условий конечности ведет себя не очень хорошо. Предположим, X — аффинная прямая над алгебраически замкнутым полем k . Для каждой замкнутой точки x из X мы можем рассмотреть локальное кольцо R _x в этой точке, которое представляет собой кольцо дискретного нормирования, спектр которого имеет одну замкнутую точку и одну открытую (генерическую) точку. выявляя их открытые точки, чтобы получить схему Y. Мы склеиваем эти спектры , Существует естественное Y в X. отображение Аффинная прямая X покрывается множествами Spec( Rx _Y ), открытыми в строго плоской топологии, и каждое из этих множеств имеет естественное отображение в , и эти отображения одинаковы на пересечениях. Однако их нельзя объединить, чтобы получить отображение X в Y , поскольку базовые пространства X и Y имеют разные топологии.

См. также

fpqc морфизм

Примечания

^ «Форма (алгебраической) структуры» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ СГА III ₁ , IV 6.3.
^ SGA III ₁ , IV 6.3, Предложение 6.3.1 (v).
^ * Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) , Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], vol. 3, Париж: Математическое общество Франции , с. XI.4.8, arXiv : math/0206203 , Bibcode : 2002math......6203G , ISBN 978-2-85629-141-2 , МР 2017446

Ссылки

Элементы алгебраической геометрии , Vol. IV. 2
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
Майкл Артин и Дж. С. Милн, «Дуальность в плоских когомологиях кривых», Inventiones Mathematicae , том 35, номер 1, декабрь 1976 г.

Внешние ссылки

Арифметические теоремы двойственности (PDF) , онлайн-книга Джеймса Милна, объясняет на уровне плоских когомологий теоремы двойственности, возникающие из двойственности Тейта – Пуату . когомологий Галуа

[1] «Форма (алгебраической) структуры» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[2] СГА III ₁ , IV 6.3.

[3] SGA III ₁ , IV 6.3, Предложение 6.3.1 (v).

[4] * Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2003) [1971], Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) , Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], vol. 3, Париж: Математическое общество Франции , с. XI.4.8, arXiv : math/0206203 , Bibcode : 2002math......6203G , ISBN 978-2-85629-141-2 , МР 2017446

[1]

[2]

[3]

[4]