Когомологии Галуа

В математике когомологии Галуа — это исследование групповых когомологий модулей Галуа , то есть применение гомологической алгебры к модулям групп Галуа . Группа Галуа G, связанная с расширением поля L / K, действует естественным образом на некоторые абелевы группы , например, созданные непосредственно из L , но также и через другие представления Галуа, которые могут быть получены более абстрактными средствами. Когомологии Галуа объясняют, почему взятие инвариантных по Галуа элементов не может быть точным функтором .

История

Современная теория когомологий Галуа сложилась примерно в 1950 году, когда стало понятно, что когомологии Галуа идеальных групп классов в теории алгебраических чисел были одним из способов сформулировать теорию полей классов . L-функции . Когомологии Галуа не делают предположения, что группы Галуа являются абелевыми группами, так что это была неабелева теория . Она была сформулирована абстрактно как теория классовых образований . Два события 1960-х годов изменили ситуацию. Во-первых, когомологии Галуа возникли как фундамент теории этальных когомологий (грубо говоря, теории применительно к нульмерным схемам). Во-вторых, неабелева теория полей классов была запущена как часть философии Ленглендса .

Самые ранние результаты, идентифицируемые как когомологии Галуа, были известны задолго до этого в алгебраической теории чисел и арифметике эллиптических кривых . Теорема о нормальном базисе подразумевает, что первая группа когомологий аддитивной группы L исчезнет ; это результат общих расширений полей, но в той или иной форме он был известен Ричарду Дедекинду . Соответствующий результат для мультипликативной группы известен как теорема Гильберта 90 и был известен до 1900 года. Теория Куммера была еще одной такой ранней частью теории, дающей описание связующего гомоморфизма, исходящего из отображения m -й степени .

Фактически, какое-то время мультипликативный случай 1-коцикла для групп, не обязательно циклических, был сформулирован как разрешимость уравнений Нётер , названных в честь Эмми Нётер ; под этим названием они появляются в трактовке теории Галуа Эмилем Артином и, возможно, были фольклором 1920-х годов. Случай 2-коциклов для мультипликативной группы аналогичен случаю группы Брауэра , и последствия, по-видимому, были хорошо известны алгебраистам 1930-х годов.

В другом направлении, в направлении торсоров , они уже были неявно указаны в о бесконечном спуске аргументах Ферма для эллиптических кривых . Были проведены многочисленные прямые вычисления, и доказательство теоремы Морделла–Вейля пришлось проводить с помощью некоторого суррогата доказательства конечности для конкретного H. ¹ группа. «Извращенная» природа объектов над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми , которые не являются изоморфными , но становятся таковыми при алгебраическом замыкании , была также известна во многих случаях, связанных с другими алгебраическими группами (такими как квадратичные формы , простые алгебры , Севери–Брауэра). разновидности ), в 1930-х годах, до появления общей теории.

Потребности теории чисел были, в частности, выражены в требовании контролировать локально-глобальный принцип когомологий Галуа. Это было сформулировано с помощью результатов теории полей классов, таких как теорема Хассе о норме . В случае эллиптических кривых это привело к ключевому определению группы Тейта-Шафаревича в группе Сельмера , что является препятствием на пути к успеху локально-глобального принципа. Несмотря на ее огромную важность, например, в гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера , оказалось очень трудно получить какой-либо контроль над ней, пока результаты Карла Рубина не дали возможность показать в некоторых случаях ее конечность (результат, в который обычно верили, поскольку его предполагаемый порядок был предсказан формулой L-функции).

Другим важным достижением теории, в котором также участвовал Джон Тейт, стал результат двойственности Тейта-Пуату .

Технически говоря, G может быть проконечной группой , и в этом случае определения необходимо скорректировать, чтобы разрешить только непрерывные коцепи.

Официальные подробности

Когомологии Галуа - это изучение групповых когомологий групп Галуа. Позволять $L|K$ быть расширением поля с группой Галуа $G(L|K)$ и $M$ абелева группа, на которой $G(L|K)$ действует. Группа когомологий:

$$H^{n}(L|K,M):=H^{n}(G(L|K),M),\quad n\geq 0$$

— группа когомологий Галуа, связанная с представлением группы Галуа на $M$. Более того, это определение можно распространить на случай, когда $M$ является неабелевой группой и $n=0,1$, и это расширение необходимо для некоторых наиболее важных приложений теории. В частности, $H^{0}(L|K,M)$ — множество неподвижных точек группы Галуа в $M$, и $H^{1}(L|K,M)$ связано с 1-коциклами (которые, параметризуют алгебры кватернионов например, ).

Когда поле расширения $L=K^{s}$ – сепарабельное замыкание поля $K$, вместо этого часто пишут $G_{K}=G(K^{s}|K)$ и

$$H^{n}(K,M):=H^{n}(G_{K},M).$$

Теорема Гильберта 90 на когомологическом языке — это утверждение, что первая группа когомологий со значениями в мультипликативной группе $L$ тривиально для расширения Галуа $L|K$:

$$H^{1}(L|K,L^{*})=1.$$

Эту теорему об исчезновении можно обобщить на большой класс алгебраических групп , также сформулированную на языке когомологий Галуа. Наиболее прямое обобщение состоит в том, что для любого квазирасщепления $K$-тор $T$,

$$H^{1}(K,T)=1.$$

Обозначим через $GL_{n}(L)$ общая линейная группа в $n$ размеры. Тогда Гильберт 90 – это $n=1$ особый случай

$$H^{1}(L|K,GL_{n}(L))=1.$$

Аналогично теорема об исчезновении справедлива и для специальной линейной группы $SL_{n}(L)$ и для симплектической группы $Sp(\omega )_{L}$ где $\omega$ — невырожденная знакопеременная билинейная форма, определенная над $K$.

Вторая группа когомологий описывает факторные системы , присоединенные к группе Галуа. Таким образом, для любого нормального расширения $L|K$относительную группу Брауэра можно отождествить с группой

$$Br(L|K)=H^{2}(L|K,L^{*}).$$

В частном случае, с разъемной крышкой,

$$Br(K)=H^{2}(K,(K^{s})^{*}).$$

Ссылки

• Серр, Жан-Пьер (2002), Когомологии Галуа , Монографии Спрингера по математике, перевод с французского Патрика Иона , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-42192-4 , MR   1867431 , Zbl   1004.12003 , перевод Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
• Милн, Джеймс С. (2006), Теоремы арифметической двойственности (2-е изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  978-1-4196-4274-6 , МР   2261462 , Збл   1127.14001
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001