Факторная система

В математике факторная система (иногда называемая набором факторов ) является фундаментальным инструментом Отто Шрайера классической теории для решения проблемы расширения группы . ^[1]^[2] Он состоит из набора автоморфизмов и бинарной функции на группе, удовлетворяющей определенному условию (так называемому условию коцикла ). Фактически фактор-система представляет собой реализацию коциклов второй группы когомологий в групповых когомологиях . ^[3]

Введение

Предположим, $G$ — группа, а $A$ — абелева группа . Для расширения группы

1\to A\to X\to G\to 1,

существует фактор-система, которая состоит из функции $f : G \times G \to A$ и гомоморфизма $σ : G \to Aut(A)$ такой, что она превращает декартово произведение $G \times A$ в группу $X$ как

(g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).

Таким образом, $f$ должен быть «групповым 2-коциклом» (и, таким образом, определять элемент в H ²( G , A ), изучаемые в групповых когомологиях ). На самом деле $A$ ситуация сложнее. не обязательно должна быть абелевой, но для неабелевых групп ^[4]

Если $f$ тривиально, то $X$ над $A$ так что $X$ является полупрямым произведением G $распадается$ с $A.$ ,

Если групповая алгебра задана , то фактор-система f модифицирует эту алгебру в алгебру косой группы , изменяя групповую операцию $xy$ на $f (x, y) xy$ .

Применение: для расширения абелева поля.

Пусть G — группа, а L — поле , на котором G действует как автоморфизмы. Коцикл . или (Нётер) факторная система ^[5]^{: 31} — это отображение c : G × G → L ^* удовлетворяющий

c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).

Коциклы эквивалентны , если существует некоторая система элементов a : G → L ^* с

c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).

Коциклы вида

c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}

называются расколом . Коциклы при умножении по модулю расщепляемых коциклов образуют группу, вторую группу когомологий H ²( Г , Л ^*).

Алгебры скрещенных произведений

Возьмем случай, когда G — группа Галуа поля расширения L / K . Факторная система c в H ²( Г , Л ^*) порождает алгебру скрещенного произведения ^[5]^{: 31} A , которая является K - алгеброй, содержащей L качестве подполя, порожденной элементами λ в L и ug _в с умножением

\lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},

u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).

соответствуют изменению базиса A на K. Эквивалентные факторные системы Мы можем написать

A=(L,G,c).

Алгебра скрещенного произведения A — это центральная простая алгебра (CSA) степени, равной [ L : K ]. ^[6] Верно обратное: всякая центральная простая алгебра над K , распадающаяся над L и такая, что deg A = [ L : K ], возникает таким образом. ^[6] Тензорное произведение алгебр соответствует умножению соответствующих элементов из H ². Таким образом, мы получаем идентификацию группы Брауэра , элементы которой являются классами CSA над K , с H ². ^[7]^[8]

Циклическая алгебра

Ограничимся далее случаем, когда L / K является циклическим с группой Галуа G порядка n, порожденной t . Пусть A будет скрещенным произведением ( L , G , c ) с набором факторов c . Пусть u = u _t — генератор в A, соответствующий t . Мы можем определить другие генераторы

u_{t^{i}}=u^{i}\,

и тогда у нас есть ты ^н = а в К. Этот элемент a определяет коцикл c посредством ^[5]^{: 33}

c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{if }}i+j<n,\\a&{\text{if }}i+j\geq n.\end{cases}}

Таким образом, имеет смысл обозначать A просто через ( L , t , a ). Однако a не определяется однозначно A , поскольку мы можем умножить u на любой элемент λ из L ^* и затем a умножается на произведение сопряженных к λ. Следовательно, A соответствует элементу нормальной группы вычетов K ^*/Н _{Л / К} Л ^*. Получим изоморфизмы

\operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).

Ссылки

^ расширение группы в n Lab
^ Сондерс Маклейн, Гомология , стр. 103, в Google Книгах.
^ групповые когомологии в n Lab
^ когомологии неабелевых групп в n Lab
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бохут, Луизиана; Львов, ИВ; Харченко, В.К. (1991). «Некоммутативные кольца». Кострикин А.И.; Шафаревич, ИР (ред.). Алгебра II . Энциклопедия математических наук. Том. 18. Перевод Бера Э. Берлина, Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-72899-0 . ISBN 9783642728990 .
^ Jump up to: ^а ^б Джейкобсон (1996) стр.57
^ Солтман (1999) стр.44
^ Джейкобсон (1996) стр.59

Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и дополнительные темы . Университеттекст. Перевод с немецкого Сильвио Леви. При содействии переводчика. Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-72487-4 . Збл 1130.12001 .
Джейкобсон, Натан (1996). Конечномерные алгебры с делением над полями . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2 . Збл 0874.16002 .
Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 28. Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-852673-3 . Збл 1024.16008 .
Солтман, Дэвид Дж. (1999). Лекции по алгебрам с делением . Серия региональных конференций по математике. Том. 94. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0979-2 . Збл 0934.16013 .

[1] расширение группы в n Lab

[2] Сондерс Маклейн, Гомология , стр. 103, в Google Книгах.

[3] групповые когомологии в n Lab

[4] когомологии неабелевых групп в n Lab

[Kostrikin-Shafarevich-5] Jump up to: ^а ^б ^с Бохут, Луизиана; Львов, ИВ; Харченко, В.К. (1991). «Некоммутативные кольца». Кострикин А.И.; Шафаревич, ИР (ред.). Алгебра II . Энциклопедия математических наук. Том. 18. Перевод Бера Э. Берлина, Гейдельберг: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-72899-0 . ISBN 9783642728990 .

[Jac57-6] Jump up to: ^а ^б Джейкобсон (1996) стр.57

[Salt44-7] Солтман (1999) стр.44

[Jac59-8] Джейкобсон (1996) стр.59

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

31

31

[6]

[7]

[8]

33