Абелева расширение

В абстрактной алгебре абелевым расширением является расширение Галуа, которого Галуа абелева группа . Когда группа Галуа также является циклической , расширение также называется циклическим расширением . Идя в другом направлении, расширение Галуа называется разрешимым , если его группа Галуа разрешима , т. е. если группу можно разложить в ряд нормальных расширений абелевой группы. Каждое конечное расширение конечного поля является циклическим расширением.

Описание

Теория полей классов предоставляет подробную информацию об абелевых расширениях числовых полей , функциональных полях алгебраических кривых над конечными полями и локальных полях .

Есть два немного разных определения термина круговое расширение. Оно может означать либо расширение, образованное присоединением корней из единицы к полю, либо подрасширение такого расширения. Круговые поля являются примерами. Круговое расширение, согласно любому определению, всегда является абелевым.

Если поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы и к корню n -й степени элемента K присоединено, результирующее расширение Куммера является абелевым расширением (если K имеет характеристику p, мы должны сказать, что p не делит n , так как в противном случае это может даже не быть отделимым расширением ). Однако в целом группы Галуа из n-й корней элементов степени действуют как с корнями n-й степени, так и с корнями из единицы, давая неабелеву группу Галуа как полупрямое произведение . Теория Куммера дает полное описание случая абелева расширения, а теорема Кронекера-Вебера говорит нам, что если K — поле рациональных чисел , то расширение является абелевым тогда и только тогда, когда оно является подполем поля, полученного присоединением корень единства.

Существует важная аналогия с фундаментальной группой в топологии , которая классифицирует все накрывающие пространства пространства: абелевы накрытия классифицируются по их абелианизации , которая напрямую относится к первой группе гомологий .

Дополнительная информация: Поле класса кольца.

Ссылки

• Кузьмин, Л.В. (2001) [1994], «Круготомическое расширение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Абелевое расширение» . Математический мир .