Теория горя

В абстрактной алгебре и теории чисел теория Куммера дает описание некоторых типов расширений полей, включающих присоединение корней n-й степени элементов основного поля . Теория была первоначально разработана Эрнстом Эдуардом Куммером примерно в 1840-х годах в его новаторской работе над Великой теоремой Ферма . Основные утверждения не зависят от природы поля – за исключением его характеристики , которая не должна делить целое число n – и, следовательно, принадлежат абстрактной алгебре. Теория циклических расширений поля K , когда характеристика K действительно делит n, называется теорией Артина – Шрайера .

Теория Куммера является базовой, например, для теории полей классов и вообще для понимания абелевых расширений ; он говорит, что при наличии достаточного количества корней из единицы циклические расширения можно понимать с точки зрения извлечения корней. Основная задача теории полей классов состоит в том, чтобы отказаться от дополнительных корней единства («спускаясь» обратно к меньшим полям); что-то гораздо более серьезное.

Расширения Куммера

Расширение Куммера — это расширение поля L / K , где для некоторого заданного целого числа n > 1 имеем

• K содержит n различных n-й степени корней из единицы (т. е. корни X ^н − 1)
• L / K имеет абелеву группу показателя n . Галуа

Например, при n = 2 первое условие всегда истинно, если K имеет характеристику ≠ 2. Расширения Куммера в этом случае включают квадратичные расширения $L=K({\sqrt {a}})$ где a в K — неквадратный элемент. При обычном решении квадратных уравнений любое расширение степени 2 поля К имеет такой вид. Расширения Куммера в этом случае включают также биквадратичные расширения и более общие мультиквадратичные расширения . Когда K имеет характеристику 2, таких расширений Куммера не существует.

При n = 3 не существует Куммеровых расширений степени 3 рациональных чисел поля Q , поскольку для трех кубических корней из 1 комплексные числа требуются . Если взять L в качестве поля расщепления X ³ − a над Q , где a не является кубом рациональных чисел, то L содержит подполе K с тремя кубическими корнями из 1; это потому, что если α и β являются корнями кубического многочлена, мы будем иметь (α/β) ³ =1 и кубика является разделимым многочленом . Тогда L / K — расширение Куммера.

В более общем смысле верно, что когда K содержит n различных корней n-й степени из единицы, что означает, что характеристика K не делит n , тогда присоединение к K корня n- й степени любого элемента a из K создает расширение Куммера ( степени m для некоторого m , делящего n ). Поскольку поле расщепления многочлена X ^н −a Галуа , расширение Куммера обязательно является Галуа группой , с циклической порядка m . Действие Галуа легко проследить по корню из единицы перед ${\sqrt[{n}]{a}}.$

Теория Куммера дает обратные утверждения. Когда K содержит n различных корней n-й степени из единицы, это означает, что любое абелевое расширение K показателя , делящего n, образуется путем извлечения корней из элементов K . Далее, если К ^× обозначает мультипликативную группу ненулевых элементов K , абелевы расширения K показателя n взаимно однозначно соответствуют подгруппам из

$K^{\times }/(K^{\times })^{n},$

т. е. элементы K ^× по модулю n- й степени. В явном виде эту переписку можно описать следующим образом. Учитывая подгруппу

$\Delta \subseteq K^{\times }/(K^{\times })^{n},$

соответствующее расширение имеет вид

$K\left(\Delta ^{\frac {1}{n}}\right),$

где

$\Delta ^{\frac {1}{n}}=\left\{{\sqrt[{n}]{a}}:a\in K^{\times },a\cdot \left(K^{\times }\right)^{n}\in \Delta \right\}.$

На самом деле достаточно присоединить корень n-й степени к одному представителю каждого элемента любого множества образующих группы ∆. Обратно, если L — куммеровское расширение K , то ∆ восстанавливается по правилу

$\Delta =\left(K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}\right)/(K^{\times })^{n}.$

В этом случае существует изоморфизм

$\Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$

предоставлено

$a\mapsto \left(\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}\right),$

где α — любой n-й корень степени из a в L . Здесь $\mu _{n}$ обозначает мультипликативную группу корней n- й степени из единицы (которые принадлежат K ) и $\operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})$ — группа непрерывных гомоморфизмов из $\operatorname {Gal} (L/K)$ оснащен топологией Крулла для $\mu _{n}$ с дискретной топологией (с групповой операцией, заданной поточечным умножением). Эту группу (с дискретной топологией) можно также рассматривать как двойственную по Понтрягину к $\operatorname {Gal} (L/K)$, предполагая, что мы рассматриваем $\mu _{n}$ как подгруппа круговой группы . Если расширение L / K конечно, то $\operatorname {Gal} (L/K)$ — конечная дискретная группа, и мы имеем

$\Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),$

однако последний изоморфизм не является естественным .

Восстановление ​ ^{1/ н} из примитивного элемента

Для $p$ премьер, пусть $K$ быть полем, содержащим $\zeta _{p}$ и $K(\beta )/K$ степень $p$ Расширение Галуа. Обратите внимание, что группа Галуа циклическая и порождается $\sigma$. Позволять

$\alpha =\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l}\sigma ^{l}(\beta )\in K(\beta )$

Затем

$\zeta _{p}\sigma (\alpha )=\sum _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{l+1}\sigma ^{l+1}(\beta )=\alpha .$

С $\alpha \neq \sigma (\alpha ),K(\alpha )=K(\beta )$ и

$\alpha ^{p}=\pm \prod _{l=0}^{p-1}\zeta _{p}^{-l}\alpha =\pm \prod _{l=0}^{p-1}\sigma ^{l}(\alpha )=\pm N_{K(\beta )/K}(\alpha )\in K$,

где $\pm$ знак $+$ если $p$ это странно и $-$ если $p=2$.

Когда $L/K$ является абелевым расширением степени $n=\prod _{j=1}^{m}p_{j}$ безквадратный такой, что $\zeta _{n}\in K$, примените тот же аргумент к подполям $K(\beta _{j})/K$ Галуа степени $p_{j}$ чтобы получить

$L=K\left(a_{1}^{1/p_{1}},\ldots ,a_{m}^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/p_{1}},\ldots ,A^{1/p_{m}}\right)=K\left(A^{1/n}\right)$

где

$A=\prod _{j=1}^{m}a_{j}^{n/p_{j}}\in K$.

Карта Куммера

Одним из основных инструментов теории Куммера является карта Куммера. Позволять $m$ целое положительное число и пусть $K$ быть полем, не обязательно содержащим $m$корни единства. Сдача в аренду ${\overline {K}}$ обозначаем алгебраическое замыкание $K$, существует короткая точная последовательность

$0\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }[m]\xrightarrow {} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {z\mapsto z^{m}} {\overline {K}}^{\times }\xrightarrow {} 0$

Выбор расширения $L/K$ и принимая $\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/L)$-когомологии, получаем последовательность

$0\xrightarrow {} L^{\times }/(L^{\times })^{m}\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)\xrightarrow {} H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)[m]\xrightarrow {} 0$

По теореме Гильберта 90 $H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }\right)=0$, и, следовательно, мы получаем изоморфизм $\delta :L^{\times }/\left(L^{\times }\right)^{m}\xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}^{\times }[m]\right)$. Это карта Куммера. Версия этой карты также существует, когда все $m$ рассматриваются одновременно. А именно, поскольку $L^{\times }/(L^{\times })^{m}=L^{\times }\otimes m^{-1}\mathbb {Z} /\mathbb {Z}$, принимая прямой предел за $m$ дает изоморфизм

$\delta :L^{\times }\otimes \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \xrightarrow {\sim } H^{1}\left(L,{\overline {K}}_{tors}\right)$,

где tors обозначает периодическую подгруппу корней из единицы.

Для эллиптических кривых

Теория Куммера часто используется в контексте эллиптических кривых. Позволять $E/K$ быть эллиптической кривой. Существует короткая точная последовательность

$0\xrightarrow {} E[m]\xrightarrow {} E\xrightarrow {P\mapsto m\cdot P} E\xrightarrow {} 0$,

где умножение на $m$ карта сюръективна, поскольку $E$ является делимым. Выбор алгебраического расширения $L/K$ и взяв когомологии, получим последовательность Куммера для $E$:

$0\xrightarrow {} E(L)/mE(L)\xrightarrow {} H^{1}(L,E[m])\xrightarrow {} H^{1}(L,E)[m]\xrightarrow {} 0$.

Вычисление слабой группы Морделла-Вейля $E(L)/mE(L)$ является ключевой частью доказательства теоремы Морделла-Вейля . Провал $H^{1}(L,E)$ исчезновение добавляет ключевую сложность теории.

Обобщения

Предположим, что G — проконечная группа, действующая на модуле A с сюръективным гомоморфизмом π из G -модуля A в себя. Предположим также, что G действует тривиально на ядре C группы π и что первая группа когомологий H ¹ ( G , A ) тривиально. Тогда точная последовательность групповых когомологий показывает, что существует изоморфизм между A ^Г /π( А ^Г ) и Hom( G , C ).

Теория Куммера является частным случаем этого, когда A — мультипликативная группа сепарабельного замыкания поля k , G — группа Галуа, π — отображение n-й степени, а C — группа корней n-й степени из единицы. Теория Артина–Шрайера — это особый случай, когда A — аддитивная группа сепарабельного замыкания поля k положительной характеристики p , G — группа Галуа, π — отображение Фробениуса минус единица, а C — конечное поле порядка p. . Взятие A в качестве кольца усеченных векторов Витта дает обобщение Витта теории Артина – Шрайера на расширения показателя, делящего p ^н .

См. также

• Квадратичное поле

Ссылки

• «Расширение Куммера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Брайан Берч , «Циклотомические поля и расширения Куммера», в книге Дж. В. Касселса и А. Фрелиха (редактор), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , 1973. Глава III, стр. 85–93.