Разделение поля

Эта статья о поле расщепления полинома. О поле расщепления CSA см. центральную простую алгебру .

В абстрактной алгебре поле разложения с многочлена коэффициентами в поле — это наименьшее расширение поля этого поля, по которому полином расщепляется , т. е. разлагается на линейные множители.

Определение

Поле расщепления многочлена p ( X ) над полем K — это расширение поля L поля K , по которому p разлагается на линейные множители.

$p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})$

где $c\in K$ и для каждого $i$ у нас есть $X-a_{i}\in L[X]$ причем a _i не обязательно различен и такой, что корни a _i порождают L над K . Тогда расширение L является расширением минимальной степени над K , в котором p распадается. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны с точностью до изоморфизма . Количество свободы в этом изоморфизме известно как Галуа группа p (если мы предположим, что она сепарабельна ).

Поле расщепления набора из P каждый из многочленов из P. многочленов — это наименьшее поле, по которому распадается

Свойства

Расширение L , которое является множества полиномов p ( X ) над K, нормальным расширением K. полем разложения называется

Учитывая алгебраически замкнутое поле A, содержащее K , существует единственное поле разложения L поля p между K и A , порожденное корнями p . Если K является подполем комплексных чисел , его существование является немедленным. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в целом часто доказывается путем «предельного перехода» от результата о поле расщепления, что поэтому требует независимого доказательства, чтобы избежать циклических рассуждений .

Учитывая сепарабельное расширение K ′ поля K , замыкание Галуа L поля K ′ является типом поля расщепления, а также расширением Галуа поля K, содержащим K ′, которое минимально в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле разложения для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K элементов из K ′.

Построение полей разделения

Мотивация

Поиск корней многочленов был важной проблемой еще со времен древних греков. Однако некоторые полиномы, такие как x ² + 1 над R , действительные числа , не имеют корней. Построив поле разложения такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Строительство

Пусть F — поле и p ( X ) — многочлен в кольце полиномов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля расщепления p ( X ) над F , состоит в построении цепочки полей $F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K$ такой, что K _i является расширением K _{i −1,} содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, для построения потребуется не более n расширений. Шаги для построения K _i приведены ниже:

• Факторизовать p ( X ) по K _i на неприводимые факторы $f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)$.
• Выберите любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ).
• Постройте расширение поля K _{i +1} кольца K _i как факторкольцо K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X ) ), где ( f ( X )) обозначает идеал в K _i [ X ], порожденный е ( Икс ).
• Повторяйте процесс для K _{i +1} до тех пор, пока p ( X ) не будет полностью факторизован.

Неприводимый множитель f ( X ), используемый в факторконструкции, может быть выбран произвольно. Хотя разный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля расщепления будут изоморфными.

Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) — максимальный идеал K i _X [ X ] и K _i [ X ] / ( f ( ) ) является, по сути, полем, полем вычетов для этого максимальный идеал. Более того, если мы позволим $\pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))$ — естественная проекция кольца на его фактор, тогда

$f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0$

поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).

Степень одного расширения $[K_{i+1}:K_{i}]$ равен степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K : F ] определяется выражением $[K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]$ и не более n !.

Поле K _i [ X ]/( f ( X ))

Как упоминалось выше, факторкольцо K _{i +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид

$c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}$

где c _j находятся в K _i и α = π ( X ). (Если рассматривать K _{i +1} как векторное пространство над K _i, то степени α ^дж для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис .)

Элементы K _{i +1} можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K _{i +1} задается правилами полиномиального сложения, а умножение задается полиномиальным умножением по модулю f ( X ). То есть для g ( α ) и h ( α ) в K _{i +1} их произведение равно g ( α ) h ( α ) = r (α), где r ( X ) — остаток от g ( X ) h ( X ) при делении на f ( X ) в K _i [ X ].

Остаток r ( X ) может быть вычислен посредством полиномиального деления в столбик ; однако существует также простое правило сокращения, которое можно использовать для непосредственного вычисления r ( α ) = g ( α ) h ( α ). Сначала позвольте

$f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.$

Полином над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без потери общности . Теперь α является корнем f ( X ), поэтому

$\alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).$

Если произведение g ( α ) h ( α ) имеет терм α ^м при m ≥ n его можно уменьшить следующим образом:

$\alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})$.

В качестве примера правила сведения возьмем K _i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X ⁷ − 2. Пусть $g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}$ и час ( α ) = α ³ +1 — два элемента Q [ X ]/( X ⁷ − 2). Правило редукции, заданное f ( X ), равно α ⁷ = 2 итак

$g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .$

Примеры

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов R [ x ] и неприводимый многочлен x ² 1. Факторкольцо + R [ x ] / ( x ² + 1) задается сравнением x ² ≡ −1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) R [ x ]/( x ² + 1) имеют вид a + bx , где a и b принадлежат R . Чтобы убедиться в этом, заметим, что поскольку x ² ≡ −1, то x ³ ≡ - Икс , Икс ⁴ ≡ 1 , х ⁵ ≡ х и т. д.; и так, например p + qx + rx ² + сх ³ ≡ п + qx + р (-1) + s (- Икс ) знак равно ( п - р ) + ( q - s ) Икс .

Операции сложения и умножения выполняются сначала с использованием обычного полиномиального сложения и умножения, а затем уменьшения по модулю x. ² + 1 , т.е. используя тот факт, что x ² ≡ −1 , х ³ ≡ - Икс , Икс ⁴ ≡ 1 , х ⁵ ≡ x и т. д. Таким образом:

$(a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,$

$(a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.$

Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

$(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

Мы утверждаем, что как поле факторкольцо R [ x ] / ( x ² + 1 изоморфен , комплексным числам ) C . Общее комплексное число имеет форму a + bi , где a и b — действительные числа, а i ² = −1. Сложение и умножение задаются формулами

$(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).$

Если мы отождествим a + bi с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

$(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),$

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

Предыдущие расчеты показывают, что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ x ] / ( x ² 1) и С. + Фактически мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x ² + 1) и C, заданный формулой a + bx → a + bi, является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Также очевидно, что отображение a + bx → a + bi одновременно инъективно и сюръективно ; это означает, что a + bx → a + bi является биективным гомоморфизмом, т. е. изоморфизмом . Отсюда следует, что, как утверждается: R [ x ] / ( x ² ≅ С. + 1 )

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел.

Кубический пример

Пусть K — поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x ³ − 2 . Каждый корень из p равен ³ √ 2 раза кубический корень из единицы . Поэтому, если мы обозначим кубические корни из единицы через

$\omega _{1}=1,\,$

$\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,$

$\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.$

любое поле, содержащее два различных корня из p, будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы: либо $\omega _{2}$ или $\omega _{3}=1/\omega _{2}$. Отсюда следует, что поле разложения L поля p будет содержать ω ₂ , а также вещественный кубический корень из 2; и наоборот , любое расширение Q , содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом

$L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}$

Обратите внимание, что применяя к этому примеру процесс построения, описанный в предыдущем разделе, мы начинаем с $K_{0}=\mathbf {Q}$ и строит поле $K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)$. Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако полином $Y^{3}-2$ не является неприводимым над $K_{1}$ и в самом деле:

$Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).$

Обратите внимание, что $X$ не является неопределенным , а фактически является элементом $K_{1}$. Теперь, продолжая процесс, получим $K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})$, которое действительно является полем расщепления и натянуто на $\mathbf {Q}$-базис $\{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}$. Обратите внимание: если мы сравним это с $L$ сверху мы можем определить $X={\sqrt[{3}]{2}}$ и $Y=\omega _{2}$.

Другие примеры

• Поле расщепления x ^д − x над F _p — единственное конечное поле F _q для q = p ^н . Иногда это поле обозначается GF( q ).

• Поле расщепления x ² +1 F7 _​ равно F49 _; к многочлен не имеет корней в F ₇ , т. е. −1 там не является квадратом , поскольку 7 не конгруэнтно 1 по модулю 4.

• Поле расщепления x ² − 1 над F ₇ есть F _7, поскольку x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) уже распадается на линейные множители.

• Вычисляем поле расщепления f ( x ) = x ³ + x + 1 над F ₂ . Легко проверить, что ( x ) не имеет корней в F2 _f ; следовательно, ( x ) неприводима в F2 _f [ x ]. Поместите r = x + ( f ( x )) в F ₂ [ x ]/( f ( x )) так, чтобы F ₂ ( r ) было полем и x ³ + х + 1 = ( х + р )( х ² + топор + б ) в F ₂ ( р )[ Икс ]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо −, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r ² . Элементы F ₂ ( r ) можно перечислить как c + dr + er ² , где c , d , e находятся в F ₂ . Всего восемь элементов: 0, 1, r , 1 + r , r. ² , 1 + р ² , р + р ² и 1 + р + р ² . Подставив их в x ² + рх + 1 + р ² мы достигаем ( р ² ) ² + р ( р ² ) + 1 + р ² = р ⁴ + р ³ + 1 + р ² = 0, следовательно, x ³ + х + 1 = ( х + р )( х + р ² )( х + ( р + р ² )) для r в F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r ) — поле разложения x ³ + x + 1 над F ₂ .

Ссылки

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN   0-471-36857-1 .
• «Поле расщепления многочлена» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Расщепляющееся поле» . Математический мир .