Рациональное число

В математике рациональное число — это число , которое можно выразить как частное или дробь ⁠ ${\tfrac {p}{q}}$ ⁠ двух целых чисел , числителя $p$ и ненулевого знаменателя $q$ . ^[1] Например, ⁠ ${\tfrac {3}{7}}$ ⁠ — рациональное число, как и любое целое число (например, $-5={\tfrac {-5}{1}}$ ). Совокупность всех рациональных чисел , также называемых « рациональными числами ». ^[2] поле рациональных рассуждений ^[3] или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом $Q$ или жирным шрифтом на доске ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠

Рациональное число – это действительное число . Рациональными действительными числами являются те, десятичное разложение которых либо заканчивается после конечного числа цифр (пример: $3/4 = 0,75$ ), либо в конечном итоге начинает повторять одну и ту же конечную последовательность цифр снова и снова (пример: $9/44 = 0,20454545...$ ). ^[4] Это утверждение верно не только для системы счисления 10 , но и для любой другой целочисленной системы счисления , например, двоичной и шестнадцатеричной (см. раздел Повторение десятичной дроби § Расширение до других систем счисления ).

, Действительное число не являющееся рациональным, называется иррациональным . ^[5] Иррациональные числа включают квадратный корень из 2 ( ⁠ ${\sqrt {2}}$ ⁠ ), $π$ , $e$ и золотое сечение ( $φ$ ). Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел неисчислимо , почти все действительные числа иррациональны. ^[1]

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел $(p, q)$ с $q \neq 0$ , используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:

(p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.

Дробь ⁠ ${\tfrac {p}{q}}$ ⁠ тогда обозначает класс эквивалентности $(p, q)$ . ^[6]

Рациональные числа вместе со сложением и умножением образуют поле , содержащее целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ называются полями алгебраических чисел , а алгебраическое замыкание ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ — поле алгебраических чисел . ^[7]

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения , используя последовательности Коши , разрезы Дедекинда или бесконечные десятичные дроби (см. Построение действительных чисел ).

Терминология

Термин рациональный по отношению к множеству ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике слово «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка — это точка с рациональными координатами (т. е. точка, координаты которой являются рациональными числами); — рациональная матрица матрица рациональных чисел; может рациональный многочлен быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «полином над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » ( многочлен — это рациональное выражение и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая — это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которую можно параметризовать рациональными функциями.

Этимология

Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин «рациональный» не является производным от отношения . Напротив, именно отношение происходит от рационального : первое использование отношения в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 г. ^[8] тогда как использование рациональных чисел для уточнения чисел появилось почти на столетие раньше, в 1570 году. ^[9] Это значение слова «рациональный» произошло от математического значения слова «иррациональное» , которое впервые было использовано в 1551 году и использовалось в «переводах Евклида (после его своеобразного использования ἄλογος )». ^[10]^[11]

Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избежали ереси, запретив себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». ^[12] Таким образом, такие длины были иррациональны , в смысле нелогичны , то есть «нельзя говорить о них» ( ἄλογος по-гречески). ^[13]

Арифметика

Несократимая дробь

Каждое рациональное число можно выразить уникальным образом в виде неприводимой дроби ⁠ ${\tfrac {a}{b}},$ ⁠ где $a$ и $b$ — взаимно простые целые числа и $b > 0$ . Это часто называют канонической формой рационального числа.

Начиная с рационального числа ⁠ ${\tfrac {a}{b}},$ ⁠ его каноническую форму можно получить, разделив $a$ и $b$ на их наибольший общий делитель и, если $b < 0$ , изменив знак полученных числителя и знаменателя.

Встраивание целых чисел

Любое целое число $n$ можно выразить как рациональное число ⁠ ${\tfrac {n}{1}},$ ⁠ что является его канонической формой рационального числа.

Равенство

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

тогда и только тогда, когда

ad=bc

Если обе дроби имеют каноническую форму, то:

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

тогда и только тогда, когда

a=c

и

b=d

^[6]

Заказ

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

тогда и только тогда, когда

ad<bc.

С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем — изменив знаки как ее числителя, так и знаменателя. ^[6]

Добавление

Две фракции складываются следующим образом:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда $b, d$ — взаимно простые целые числа . ^[6]^[14]

Вычитание

{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда $b, d$ — взаимно простые целые числа . ^[14]

Умножение

Правило умножения следующее:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

где результатом может быть сокращаемая дробь , даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму. ^[6]^[14]

Обратный

Каждое рациональное число ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ имеет аддитивную инверсию , часто называемую ее противоположностью ,

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.

Если ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ имеет мультипликативную обратную величину , также называемую обратной ,

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.

Если ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ находится в канонической форме, то каноническая форма его обратной величины равна либо ⁠ ${\tfrac {b}{a}}$ ⁠ или ⁠ ${\tfrac {-b}{-a}},$ ⁠ в зависимости от знака $a$ .

Разделение

Если $b, c, d$ не равны нулю, правило деления следующее:

{\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.

Таким образом, разделив ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ от ⁠ ${\tfrac {c}{d}}$ ⁠ эквивалентно умножению ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ на обратную величину ⁠ ${\tfrac {c}{d}}:$ ⁠ ^[14]

{\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.

Возведение в степень в целую степень

Если $n$ — целое неотрицательное число, то

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.

Результат имеет каноническую форму, если то же самое верно для ⁠ ${\tfrac {a}{b}}.$ ⁠ В частности,

\left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.

Если $а \neq 0$ , то

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.

Если ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ находится в канонической форме, каноническая форма результата — ⁠ ${\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}$ ⁠ если $a > 0$ или $n$ четно. В противном случае каноническая форма результата будет ⁠ ${\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.$ ⁠

Представление непрерывной дроби

Конечная цепная дробь — это такое выражение, как

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},

где $n —$ целые числа. Каждое рациональное число ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ можно представить как конечную цепную дробь, коэффициенты $которой a n$ можно определить, применив алгоритм Евклида к $(a, b)$ .

Другие представления

обыкновенная дробь : ⁠ ${\tfrac {8}{3}}$ ⁠
смешанное числительное : ⁠ $2{\tfrac {2}{3}}$ ⁠
повторение десятичной дроби с помощью винкулума : $2.{\overline {6}}$
повторение десятичной дроби с использованием круглых скобок : $2.(6)$
непрерывная дробь с использованием традиционной типографики: $2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}$
непрерывная дробь в сокращенном обозначении: $[2;1,2]$
Египетская фракция : $2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}$
разложение по основным степеням : $2^{3}\times 3^{-1}$
обозначение цитаты : $3'6$

Это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.

Формальная конструкция

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности упорядоченных пар целых чисел . ^[6]^[14]

Точнее, пусть ⁠ $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))$ ⁠ — набор пар $(m, n)$ целых чисел таких $n \neq 0$ . Отношение эквивалентности определяется на этом множестве формулой

(m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

^[6]^[14]

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),

(m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).

^[6]

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше операциями сложения и умножения; множество рациональных чисел ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ определяется как фактормножество по этому отношению эквивалентности, ⁠ $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,$ ⁠ оснащен сложением и умножением, вызванным вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть выполнена с любой целой областью и дает ее поле дробей .) ^[6]

Класс эквивалентности пары $(m, n)$ обозначается ⁠ ${\tfrac {m}{n}}.$ ⁠ Две пары $(m 1, n 1)$ и $(m 2, n 2)$ принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (т.е. эквивалентны) тогда и только тогда, когда

m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

Это означает, что

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}

тогда и только тогда, когда ^[6]^[14]

m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

Каждый класс эквивалентности ⁠ ${\tfrac {m}{n}}$ ⁠ может быть представлено бесконечным числом пар, поскольку

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический представительный элемент . Канонический представитель — это единственная пара $(m, n)$ в классе эквивалентности такая, что $m$ и $n$ и взаимно просты n $> 0$ . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, отождествляющие целое число $n$ с рациональным числом ⁠. ${\tfrac {n}{1}}.$ ⁠

Для рациональных чисел можно определить общий порядок , который расширяет естественный порядок целых чисел. У одного есть

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}

Если

{\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}

Характеристики

Набор ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле . ^[6]

⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ не имеет полевого автоморфизма , кроме единицы. (Полевой автоморфизм должен фиксировать 0 и 1; поскольку он должен фиксировать сумму и разность двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое целое число; поскольку он должен фиксировать частное двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое рациональное число и является отсюда и тождество.)

⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ — простое поле , то есть поле, не имеющее других подполей, кроме самого себя. ^[15] Рациональные числа — это наименьшее поле с характеристикой нулевой . Каждое поле нулевой характеристики содержит единственное подполе, изоморфное ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠

В порядке, определенном выше, ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ — упорядоченное поле ^[14] которое не имеет другого подполя, кроме самого себя, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе изоморфное ⁠ , $\mathbb {Q} .$ ⁠

⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ — поле дробных чисел целых ⁠ $\mathbb {Z} .$ ⁠ ^[16] Алгебраическое замыкание ⁠ $\mathbb {Q} ,$ ⁠ т. е. поле корней рациональных многочленов, является полем алгебраических чисел .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно и, следовательно, бесконечно много других. ^[6] Например, для любых двух дробей таких, что

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

(где $b,d$ положительны), мы имеем

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.

Любое полностью упорядоченное множество, которое счетно, плотно (в указанном выше смысле) и не имеет наименьшего или наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам. ^[17]

Счетность

Множество всех рациональных чисел счетно , как показано на рисунке справа. Поскольку рациональное число может быть выражено как отношение двух целых чисел, можно присвоить два целых числа любой точке квадратной решетки, как в декартовой системе координат , так что любая точка сетки соответствует рациональному числу. Однако этот метод демонстрирует некоторую форму избыточности, поскольку одному и тому же рациональному числу будут соответствовать несколько разных точек сетки; на представленном рисунке они выделены красным цветом. Очевидный пример можно увидеть в линии, идущей по диагонали в правый нижний угол; такие отношения всегда будут равны 1, поскольку любое ненулевое число, разделенное само на себя, всегда будет равно единице.

Можно сгенерировать все рациональные числа без такой избыточности: примеры включают дерево Калкина-Уилфа и дерево Штерна-Броко .

Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (как и множество иррациональных чисел) несчетно, то множество рациональных чисел представляет собой нулевое множество , то есть почти все действительные числа иррациональны, в смысле меры Лебега .

Действительные числа и топологические свойства

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел ; каждое действительное число имеет сколь угодно близкие к нему рациональные числа. ^[6] Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа — единственные числа, которые имеют конечные разложения в виде регулярных цепных дробей . ^[18]

В обычной топологии действительных чисел рациональные числа не являются ни открытым , ни закрытым множеством . ^[19]

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также имеют топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство , используя абсолютной разности . метрику $d(x,y)=|x-y|,$ и это дает третью топологию на ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠ Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства, которое не является локально компактным . Рациональные числа топологически характеризуются как единственное счетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства , а действительные числа являются пополнением ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ по метрике $d(x,y)=|x-y|$ выше. ^[14]

p -адические числа

Помимо упомянутого выше показателя абсолютного значения, существуют и другие показатели, которые превращают ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ в топологическое поле:

Пусть $p$ — простое число и для любого ненулевого целого числа $a$ пусть $|a|_{p}=p_{-n},$ где $р н$ — высшая степень числа $p,$ делящая $a$ .

Дополнительно установлен $|0|_{p}=0.$ Для любого рационального числа ⁠ ${\frac {a}{b}},$ ⁠ мы устанавливаем

\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.

Затем

d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}

определяет метрику на ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠ ^[20]

Метрическое пространство ⁠ $(\mathbb {Q} ,d_{p})$ ⁠ не является полным, и его пополнением является $поле p$ -адических чисел ⁠ $\mathbb {Q} _{p}.$ ⁠ Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ эквивалентен либо обычному вещественному абсолютному значению, либо $p$ -адическому абсолютному значению.

См. также

Системы счисления

Сложный

:\;\mathbb {C}

Настоящий

:\;\mathbb {R}

Рациональный

:\;\mathbb {Q}

Целое число

:\;\mathbb {Z}

Естественный

:\;\mathbb {N}

Ноль : 0

Один : 1

Простые числа

Составные числа

Отрицательные целые числа

Фракция

Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный бинарный)
Повторяющаяся десятичная дробь

иррациональный

Алгебраическая иррациональность

трансцендентный

Воображаемый

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3 .
^ Девушка, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное изд.). Курьерская корпорация. п. 382. ИСБН 978-0-486-47186-0 . Выдержка со страницы 382
^ Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон . Американское математическое соц. п. 104. ИСБН 978-0-8218-0575-6 . Выдержка со страницы 104
^ «Рациональное число» . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число» . Вольфрам Математический мир . Проверено 11 августа 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Индия: Издательство Оксфордского университета. стр. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2 .
^ Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-Х .
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. входа Коэффициент , н. , смысл 2.а.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. Вступление рациональное , а. (нареч.) и сущ. ¹, смысл 5.а.
^ Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. Вступление иррациональное , А. и н. , смысл 3.
^ Шор, Питер (9 мая 2017 г.). «Рациональное происходит от соотношения, или соотношение происходит от рационального» . Обмен стеками . Проверено 19 марта 2021 г.
^ Кулман, Роберт (29 января 2016 г.). «Как математическое суеверие сводило на нет алгебру на протяжении более тысячи лет» . Проверено 20 марта 2021 г.
^ Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Издательство Принстонского университета. п. 28.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я «Дробь — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 17 августа 2021 г.
^ Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический математический словарь, Том 1 . Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ИСБН 0-2625-9020-4 .
^ Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: Главы 4–7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.
^ Гизе, Мартин; Шёнегге, Арно (декабрь 1995 г.). Любые два счетных плотно упорядоченных множества без концов изоморфны — формальное доказательство с помощью KIV (PDF) (Технический отчет) . Проверено 17 августа 2021 г.
^ Энтони Ваззана; Дэвид Гарт (2015). Введение в теорию чисел (2-е, исправленное изд.). ЦРК Пресс. п. 1. ISBN 978-1-4987-1752-6 . Выдержка из страницы 1
^ Ричард А. Холмгрен (2012). Первый курс дискретных динамических систем (2-е, иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7 . Выдержка со страницы 26
^ Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число» . Вольфрам Математический мир . Проверено 17 августа 2021 г.

Примечания

Внешние ссылки

[Rosen-1] Jump up to: ^а ^б Розен, Кеннет (2007). Дискретная математика и ее приложения (6-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3 .

[2] Девушка, Гарри (2009). Элементы чистой и прикладной математики (иллюстрированное изд.). Курьерская корпорация. п. 382. ИСБН 978-0-486-47186-0 . Выдержка со страницы 382

[3] Робинсон, Джулия (1996). Собрание сочинений Джулии Робинсон . Американское математическое соц. п. 104. ИСБН 978-0-8218-0575-6 . Выдержка со страницы 104

[4] «Рациональное число» . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г.

[:0-5] Вайсштейн, Эрик В. «Рациональное число» . Вольфрам Математический мир . Проверено 11 августа 2020 г.

[:1-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м Биггс, Норман Л. (2002). Дискретная математика . Индия: Издательство Оксфордского университета. стр. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2 .

[Gilbert-7] Гилберт, Джимми; Линда, Гилберт (2005). Элементы современной алгебры (6-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Томсон Брукс/Коул. стр. 243–244. ISBN 0-534-40264-Х .

[8] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. входа Коэффициент , н. , смысл 2.а.

[9] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. Вступление рациональное , а. (нареч.) и сущ. ¹, смысл 5.а.

[10] Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. 1989. Вступление иррациональное , А. и н. , смысл 3.

[11] Шор, Питер (9 мая 2017 г.). «Рациональное происходит от соотношения, или соотношение происходит от рационального» . Обмен стеками . Проверено 19 марта 2021 г.

[12] Кулман, Роберт (29 января 2016 г.). «Как математическое суеверие сводило на нет алгебру на протяжении более тысячи лет» . Проверено 20 марта 2021 г.

[13] Крамер, Эдна (1983). Природа и развитие современной математики . Издательство Принстонского университета. п. 28.

[:2-14] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я «Дробь — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 17 августа 2021 г.

[15] Сугаккай, Нихон (1993). Энциклопедический математический словарь, Том 1 . Лондон, Англия: MIT Press. п. 578. ИСБН 0-2625-9020-4 .

[16] Бурбаки, Н. (2003). Алгебра II: Главы 4–7 . Springer Science & Business Media. п. А.VII.5.

[17] Гизе, Мартин; Шёнегге, Арно (декабрь 1995 г.). Любые два счетных плотно упорядоченных множества без концов изоморфны — формальное доказательство с помощью KIV (PDF) (Технический отчет) . Проверено 17 августа 2021 г.

[18] Энтони Ваззана; Дэвид Гарт (2015). Введение в теорию чисел (2-е, исправленное изд.). ЦРК Пресс. п. 1. ISBN 978-1-4987-1752-6 . Выдержка из страницы 1

[19] Ричард А. Холмгрен (2012). Первый курс дискретных динамических систем (2-е, иллюстрированное изд.). Springer Science & Business Media. п. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7 . Выдержка со страницы 26

[20] Вайсштейн, Эрик В. «p-адическое число» . Вольфрам Математический мир . Проверено 17 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т и счисления Системы
Sets of definable numbers	Natural numbers ( $\mathbb {N}$ ) Integers ( $\mathbb {Z}$ ) Rational numbers ( $\mathbb {Q}$ ) Constructible numbers Algebraic numbers ( $\mathbb {A}$ ) Closed-form numbers Periods Computable numbers Arithmetical numbers Set-theoretically definable numbers Gaussian integers Gaussian rationals Eisenstein integers
Composition algebras	Division algebras: Real numbers ( $\mathbb {R}$ ) Complex numbers ( $\mathbb {C}$ ) Quaternions ( $\mathbb {H}$ ) Octonions ( $\mathbb {O}$ )
Split types	Over $\mathbb {R}$ : Split-complex numbers Split-quaternions Split-octonions Over $\mathbb {C}$ : Bicomplex numbers Biquaternions Bioctonions
Other hypercomplex	Dual numbers Dual quaternions Dual-complex numbers Hyperbolic quaternions Sedenions ( $\mathbb {S}$ ) Split-biquaternions Multicomplex numbers Geometric algebra/Clifford algebra Algebra of physical space Spacetime algebra Plane-based geometric algebra
Infinities and infinitesimals	Cardinal numbers Extended natural numbers Extended real numbers Projective Extended complex numbers Hyperreal numbers Levi-Civita field Ordinal numbers Supernatural numbers Surreal numbers Superreal numbers
Other types	Irrational numbers Fuzzy numbers Transcendental numbers p-adic numbers (p-adic solenoids) Profinite integers Normal numbers
Classification List