Сплит-октонион

В математике сплит -октонионы представляют собой 8-мерную неассоциативную алгебру над действительными числами . В отличие от стандартных октонионов , они содержат ненулевые элементы, которые не являются обратимыми. Также различаются сигнатуры их квадратичных форм : расщепленные октонионы имеют расщепленную сигнатуру (4,4), тогда как октонионы имеют положительно определенную сигнатуру (8,0).

С точностью до изоморфизма октонионы и расщепленные октонионы являются единственными двумя 8-мерными композиционными алгебрами над действительными числами. Они также являются единственными двумя алгебрами октонионов над действительными числами. Алгебры расщепленных октонионов, аналогичные расщепленным октонионам, могут быть определены над любым полем .

Определение [ править ]

Конструкция Кэли-Диксона [ править ]

Октонионы и разделенные октонионы могут быть получены из конструкции Кэли-Диксона путем определения умножения пар кватернионов . Введем новую мнимую единицу ℓ и запишем пару кватернионов ( a , b ) в виде a + ℓ b . Продукт определяется по правилу: ^[1]

(a+\ell b)(c+\ell d)=(ac+\lambda {\bar {d}}b)+\ell (da+b{\bar {c}})

где

\lambda =\ell ^{2}.

Если λ выбрано равным −1, мы получаем октонионы. Если вместо этого принять значение +1, мы получим разделенные октонионы. Можно также получить разделенные октонионы посредством удвоения разделенных кватернионов Кэли-Диксона . Здесь любой выбор λ (±1) дает расщепленные октонионы.

Таблица умножения [ править ]

Мнемоника для продуктов разделенных октонионов.

Основу множество расщепленных октонионов составляет $\{\ 1,\ i,\ j,\ k,\ \ell ,\ \ell i,\ \ell j,\ \ell k\ \}$ .

Каждый сплит-октонион $x$ можно записать как линейную комбинацию базисных элементов,

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,\ell +x_{5}\,\ell i+x_{6}\,\ell j+x_{7}\,\ell k,

с реальными коэффициентами $x_{a}$ .

По линейности умножение сплит-октонионов полностью определяется следующей таблицей умножения :

		множитель
		$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
множимое	$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$
	$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$-\ell i$	$\ell$	$-\ell k$	$\ell j$
	$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$-\ell j$	$\ell k$	$\ell$	$-\ell i$
	$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$-\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$\ell$
	$\ell$	$\ell$	$\ell i$	$\ell j$	$\ell k$	$1$	$i$	$j$	$k$
	$\ell i$	$\ell i$	$-\ell$	$-\ell k$	$\ell j$	$-i$	$1$	$k$	$-j$
	$\ell j$	$\ell j$	$\ell k$	$-\ell$	$-\ell i$	$-j$	$-k$	$1$	$i$
	$\ell k$	$\ell k$	$-\ell j$	$\ell i$	$-\ell$	$-k$	$j$	$-i$	$1$

Удобную мнемосхему дает диаграмма справа, представляющая таблицу умножения разделенных октонионов. Этот происходит от родительского октониона (одного из 480 возможных), который определяется:

e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},\,

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера и $\varepsilon _{ijk}$ это символ Леви-Чивита со значением $+1$ когда $ijk=123,154,176,264,257,374,365,$ и:

e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\,\,\,\,e_{0}e_{0}=e_{0},

с $e_{0}$ скалярный элемент и $i,j,k=1...7.$

Красные стрелки указывают на возможные изменения направления, вызванные отрицанием нижнего правого квадранта родительского элемента, создавая разделенный октонион с этой таблицей умножения.

Сопряженное, нормальное и обратное [ править ]

Сопряженное имеет сплит-октонион x вид

{\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,\ell -x_{5}\,\ell i-x_{6}\,\ell j-x_{7}\,\ell k,

так же, как и для октонионов.

Квадратичная форма по x определяется выражением

N(x)={\bar {x}}x=(x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})-(x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}).

Эта квадратичная форма N ( x ) является изотропной квадратичной формой, поскольку существуют ненулевые расщепленные октонионы x с N ( x ) = 0. С N расщепленные октонионы образуют псевдоевклидово пространство восьми измерений над R , иногда написано Р ^4,4 для обозначения сигнатуры квадратичной формы.

Если N ( x ) ≠ 0, то x имеет (двусторонний) мультипликативный обратный x ⁻¹ данный

x^{-1}=N(x)^{-1}{\bar {x}}.

Свойства [ править ]

Сплит-октонионы, как и октонионы, некоммутативны и неассоциативны. Также, как и октонионы, они образуют композиционную алгебру, поскольку квадратичная форма N мультипликативна. То есть,

N(xy)=N(x)N(y).

Сплит-октонионы удовлетворяют тождествам Муфанга и таким образом образуют альтернативную алгебру . Следовательно, по теореме Артина подалгебра, порожденная любыми двумя элементами, ассоциативна. Набор всех обратимых элементов (т.е. тех элементов, для которых N ( x ) ≠ 0) образует петлю Муфанг .

Группа автоморфизмов расщепленных октонионов — это 14-мерная группа Ли , расщепленная вещественная форма исключительной простой группы Ли G ₂ .

Цорна матричная алгебра Векторно -

Поскольку расщепленные октонионы неассоциативны, их нельзя представить обычными матрицами (умножение матриц всегда ассоциативно). Цорн нашел способ представить их в виде «матриц», содержащих как скаляры, так и векторы, используя модифицированную версию умножения матриц. ^[2] В частности, определите векторную матрицу как матрицу 2×2 вида ^[3]^[4]^[5]^[6]

{\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}},

где a и b — действительные числа, а v и w — векторы в R ³. Определим умножение этих матриц по правилу

{\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a'&\mathbf {v} '\\\mathbf {w} '&b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} '&a\mathbf {v} '+b'\mathbf {v} +\mathbf {w} \times \mathbf {w} '\\a'\mathbf {w} +b\mathbf {w} '-\mathbf {v} \times \mathbf {v} '&bb'+\mathbf {v} '\cdot \mathbf {w} \end{bmatrix}}

где · и × — обычное скалярное произведение и векторное произведение 3-векторов. При обычном сложении и скалярном умножении набор всех таких матриц образует неассоциативную единичную 8-мерную алгебру над действительными числами, называемую векторно-матричной алгеброй Цорна .

Определим « определитель » вектор-матрицы по правилу

\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {v} \\\mathbf {w} &b\end{bmatrix}}=ab-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}

.

Этот определитель представляет собой квадратичную форму алгебры Цорна, удовлетворяющую правилу композиции:

\det(AB)=\det(A)\det(B).\,

Вектор-матричная алгебра Цорна фактически изоморфна алгебре расщепленных октонионов. Напишите октоний $x$ в виде

x=(a+\mathbf {v} )+\ell (b+\mathbf {w} )

где $a$ и $b$ — действительные числа, а v и w — чисто мнимые кватернионы, рассматриваемые как векторы в R ³. Изоморфизм расщепленных октонионов алгебре Цорна определяется выражением

x\mapsto \phi (x)={\begin{bmatrix}a+b&\mathbf {v} +\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +\mathbf {w} &a-b\end{bmatrix}}.

Этот изоморфизм сохраняет норму, поскольку $N(x)=\det(\phi (x))$ .

Приложения [ править ]

Сплит-октонионы используются при описании физических законов. Например:

Уравнение Дирака в физике (уравнение движения частицы со свободным спином 1/2, такой как, например, электрон или протон) может быть выражено с помощью арифметики расщепленного октониона. ^[7]
Суперсимметричная квантовая механика имеет октонионное расширение. ^[8]
Алгебра расщепленных октонионов на основе Цорна может использоваться при моделировании локальной калибровочно-симметричной квантовой хромодинамики SU (3). ^[9]
Задача о катке мяча без скольжения по шару радиуса в 3 раза большего имеет в качестве группы симметрии расщепленную вещественную форму исключительной группы G ₂ благодаря тому, что эту задачу можно описать с помощью расщепленных октонионов. ^[10]

Ссылки [ править ]

^ Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , страница 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924
^ Макс Цорн (1931) «Альтернативные поля и квадратичные системы», статьи математического семинара Гамбургского университета 9 (3/4): 395–402.
^ Натан Джейкобсон (1962) Алгебры Ли , страница 142, Interscience Publishers.
^ Шафер, Ричард Д. (1966). Введение в неассоциативные алгебры . Академическая пресса . стр. 52–6. ISBN 0-486-68813-5 .
^ Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Джорданские алгебры», страницы 144–186 в «Исследованиях по современной алгебре» под редакцией А. А. Альберта, Американская математическая ассоциация : векторно-матричная алгебра Цорна на странице 180
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страница 199, Academic Press
^ М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Journal of Physics A 39: 7099-7104. дои : 10.1088/0305-4470/39/22/020
^ В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 дои : 10.1063/1.2907868 ; arXiv : 0712.1647
^ Б. Волк, Adv. Прил. Алгебры Клиффорда 27(4), 3225 (2017).
^ Дж. Баэз и Дж. Уэрта, G ₂ и катящийся шар, Trans. амер. Математика. Соц. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Р. Фут и Г. К. Джоши (1990) «Нестандартная сигнатура пространства-времени, суперструн и расщепленных композиционных алгебр», Letters in Mathematical Physics 19: 65–71.
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 0-12-329650-1 .
Нэш, Патрик Л. (1990) «О структуре алгебры расщепленных октонионов», Il Nuovo Cimento B 105 (1): 31–41. дои : 10.1007/BF02723550
Спрингер, штат Техас; Ф.Д. Вельдкамп (2000). Октонионы, жордановые алгебры и исключительные группы Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-66337-1 .

[1] Кевин МакКриммон (2004) Вкус джордановой алгебры , страница 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 МР 2014924

[2] Макс Цорн (1931) «Альтернативные поля и квадратичные системы», статьи математического семинара Гамбургского университета 9 (3/4): 395–402.

[3] Натан Джейкобсон (1962) Алгебры Ли , страница 142, Interscience Publishers.

[4] Шафер, Ричард Д. (1966). Введение в неассоциативные алгебры . Академическая пресса . стр. 52–6. ISBN 0-486-68813-5 .

[5] Лоуэлл Дж. Пейдж (1963) «Джорданские алгебры», страницы 144–186 в «Исследованиях по современной алгебре» под редакцией А. А. Альберта, Американская математическая ассоциация : векторно-матричная алгебра Цорна на странице 180

[6] Артур А. Сэгл и Ральф Э. Уолде (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страница 199, Academic Press

[7] М. Гогберашвили (2006) «Октонионная электродинамика», Journal of Physics A 39: 7099-7104. дои : 10.1088/0305-4470/39/22/020

[8] В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативность, суперсимметрия и скрытые переменные», Журнал математической физики 49: 042108 дои : 10.1063/1.2907868 ; arXiv : 0712.1647

[9] Б. Волк, Adv. Прил. Алгебры Клиффорда 27(4), 3225 (2017).

[10] Дж. Баэз и Дж. Уэрта, G ₂ и катящийся шар, Trans. амер. Математика. Соц. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

v т Это счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональное число ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические цифры Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Сверхъестественные числа Проконечные целые числа Сверхдействительные числа Нормальные числа
Классификация Список