Алгебра физического пространства

В физике алгебра физического пространства ( APS ) — это использование клиффордовой или геометрической алгебры Cl _3,0 ( R ) трёхмерного евклидова пространства в качестве модели (3+1)-мерного пространства-времени , представляющего точку в пространстве-времени через паравектор (3-мерный вектор плюс 1-мерный скаляр).

Алгебра Клиффорда Cl _3,0 ( R ) имеет точное представление , порожденное матрицами Паули , на спиновом представлении C ² ; при этом Cl _3,0 ( R ) изоморфна четной подалгебре Cl ^[0]
_3,1 ( R ) алгебры Клиффорда Cl _3,1 ( R ).

APS можно использовать для построения компактного, унифицированного и геометрического формализма как для классической, так и для квантовой механики.

APS не следует путать с алгеброй пространства-времени (STA), которая касается алгебры Клиффорда Cl _1,3 ( R ) четырехмерного пространства-времени Минковского .

Специальная теория относительности

Паравектор положения пространства-времени

В APS положение в пространстве-времени представляется как паравектор

$$x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$$

где время задается скалярной частью x ⁰ = t и e ₁ , e ₂ , e ₃ являются стандартной основой позиционного пространства. Везде единицы, такие, что c = 1 используются , называемые натуральными единицами . В матричном представлении Паули единичные базисные векторы заменяются матрицами Паули, а скалярная часть - единичной матрицей. Это означает, что матричное представление положения пространства-времени Паули имеет вид

$$x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$$

Лоренца

Основные статьи: преобразование Лоренца и Ротор (математика)

Ограниченные преобразования Лоренца, сохраняющие направление времени и включающие вращения и повышения, могут быть выполнены путем возведения в степень бипаравектора вращения пространства-времени W.

$$L=e^{W/2}.$$

В матричном представлении ротор Лоренца рассматривается как экземпляр группы SL(2, C ) ( специальная линейная группа степени 2 над комплексными числами ), которая является двойным накрытием группы Лоренца . Унимодулярность ротора Лоренца выражается в следующем условии через произведение ротора Лоренца на его клиффордовское сопряжение

$$L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$$

Этот ротор Лоренца всегда можно разложить на два фактора: один эрмитиан B = B. ^† , а другой унитарный R ^† = Р ⁻¹ , такой, что

$$L=BR.$$

Унитарный элемент R называется ротором , поскольку он кодирует вращение, а эрмитовский элемент B кодирует ускорение.

Четырехскоростной паравектор

Четырехскоростная скорость , также называемая собственной скоростью , определяется как производная паравектора положения пространства-времени по собственному времени τ :

$$u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$$

Это выражение можно привести к более компактной форме, определив обычную скорость как

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$$

и напоминая определение гамма -фактора :

$$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$$

так что собственная скорость будет более компактной:

$$u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$$

Собственная скорость является положительным унимодулярным вытекает следующее условие: паравектором, откуда в терминах сопряжения Клиффорда

$$u{\bar {u}}=1.$$

Собственная скорость под действием ротора Лоренца L преобразуется как

$$u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$$

Четырехимпульсный

Четырехимпульс в APS можно получить , умножив собственную скорость на массу как

$$p=mu,$$

с условием массы оболочки , переведенным в

$${\bar {p}}p=m^{2}.$$

Классическая электродинамика

Основная статья: Классическая электродинамика

Электромагнитное поле,

Электромагнитное поле представляется в виде бипаравектора F :

$$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$$

причем эрмитова часть представляет электрическое поле E а антиэрмитова часть представляет магнитное поле B. , В стандартном матричном представлении Паули электромагнитное поле имеет вид:

$$F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$$

Источником поля F является электромагнитный четырехток :

$$j=\rho +\mathbf {j} \,,$$

где скалярная часть равна плотности электрического заряда ρ , а векторная часть — плотности электрического тока j . Вводя электромагнитного потенциала паравектор , определяемый как:

$$A=\phi +\mathbf {A} \,,$$

в котором скалярная часть равна электрическому потенциалу φ , а векторная часть — потенциалу A. магнитному Электромагнитное поле тогда также:

$$F=\partial {\bar {A}}.$$

Поле можно разделить на электрическое.

$$E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$$

и магнитный

$$B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$$

компоненты. Здесь,

$$\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$$

и F инвариантен относительно калибровочного преобразования вида

$$A\rightarrow A+\partial \chi \,,$$

где $\chi$ является скалярным полем .

Электромагнитное поле ковариантно относительно преобразований Лоренца по закону

$$F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$$

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла можно выразить одним уравнением:

$${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$$

где верхняя черта представляет собой сопряжение Клиффорда .

Уравнение силы Лоренца принимает вид

$${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$$

Электромагнитный

Электромагнитный лагранжиан ​

$$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$$

что является действительным скалярным инвариантом.

Релятивистская квантовая механика

Основная статья: Релятивистская квантовая механика

Уравнение Дирака для электрически заряженной частицы массы m и заряда e принимает форму:

$$i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$$

где e ₃ - произвольный унитарный вектор, а A - электромагнитный паравекторный потенциал, как указано выше. Электромагнитное взаимодействие учтено посредством минимальной связи терминах потенциала A. в

Классический спинор

Основная статья: Спинор

Дифференциальное уравнение ротора Лоренца, соответствующее силе Лоренца, имеет вид

$${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$$

так, что собственная скорость вычисляется как преобразование Лоренца собственной скорости в состоянии покоя.

$$u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$$

которую можно проинтегрировать, чтобы найти траекторию пространства-времени $x(\tau )$ с дополнительным использованием

$${\frac {dx}{d\tau }}=u.$$

См. также

• Паравектор
• Многовекторный
• wikibooks:Физика с использованием геометрической алгебры
• Уравнение Дирака в алгебре физического пространства
• Алгебра

Ссылки

Учебники

• Бейлис, Уильям (2002). Электродинамика: современный геометрический подход (2-е изд.). ISBN  0-8176-4025-8 .
• Бейлис, Уильям, изд. (1999) [1996]. Клиффорда (Геометрические) Алгебры: с приложениями к физике, математике и технике . Спрингер. ISBN  978-0-8176-3868-9 .
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007) [2003]. Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-64314-6 .
• Лошади, Дэвид (1999). Новые основы классической механики (2-е изд.). Клювер. ISBN  0-7923-5514-8 .

= Статьи=

• Бэйлис, МЫ (2004). «Относительность в вводной физике». Канадский физический журнал . 82 (11): 853–873. arXiv : физика/0406158 . Бибкод : 2004CaJPh..82..853B . дои : 10.1139/p04-058 . S2CID   35027499 .
• Бейлис, МЫ; Джонс, Дж. (7 января 1989 г.). «Подход алгебры Паули к специальной теории относительности». Журнал физики A: Математический и общий . 22 (1): 1–15. Бибкод : 1989JPhA...22....1B . дои : 10.1088/0305-4470/22/1/008 .
• Бейлис, МЫ (1 марта 1992 г.). «Классические собственные спиноры и уравнение Дирака». Физический обзор А. 45 (7): 4293–4302. Бибкод : 1992PhRvA..45.4293B . дои : 10.1103/physreva.45.4293 . ПМИД   9907503 .
• Бейлис, МЫ; Яо, Ю. (1 июля 1999 г.). «Релятивистская динамика зарядов в электромагнитных полях: подход собственных спиноров». Физический обзор А. 60 (2): 785–795. Бибкод : 1999PhRvA..60..785B . дои : 10.1103/physreva.60.785 .