Четырехскоростной

В физике , в частности в специальной теории относительности и общей теории относительности , четырёхскорость — это четырёхвектор в четырёхмерном пространстве-времени. это представляет собой релятивистский аналог скорости , которая представляет собой трехмерный вектор в пространстве.

Физические события соответствуют математическим точкам во времени и пространстве, совокупность которых вместе образует математическую модель физического четырехмерного пространства-времени. История объекта прослеживает кривую в пространстве-времени, называемую его мировой линией . Если объект имеет массу , так что его скорость обязательно меньше скорости света , мировая линия может быть параметризована собственным временем объекта. Четырехскорость — это скорость изменения четырехпозиции относительно собственного времени вдоль кривой. Скорость, напротив, представляет собой скорость изменения положения объекта в (трехмерном) пространстве, видимого наблюдателем, по отношению ко времени наблюдателя.

Значение величины четырехскорости объекта, т.е. величина, полученная применением метрического тензора g к четырехскорости U , то есть ‖ U ‖ ² = U ⋅ U = г _µν U ^н В ^м , всегда равно ± c ² , где c — скорость света. Применяется ли знак плюс или минус, зависит от выбора сигнатуры метрики . Для покоящегося объекта его четырехскорость параллельна направлению временной координаты U ⁰ = с . Таким образом, четырехскоростная скорость представляет собой нормализованный, направленный в будущее времениподобный касательный вектор к мировой линии и является контравариантным вектором . Хотя это вектор, сложение двух четырехскоростей не дает четырехскорости: пространство четырех скоростей само по себе не является векторным пространством .

Скорость

Путь объекта в трехмерном пространстве (в инерциальной системе отсчета) можно выразить через три функции пространственных координат x ^я ( t ) времени t , где i — индекс , принимающий значения 1, 2, 3.

Три координаты образуют трехмерный вектор положения , записанный как вектор-столбец.

$${\vec {x}}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\[0.7ex]x^{2}(t)\\[0.7ex]x^{3}(t)\end{bmatrix}}\,.$$

Компоненты скорости ${\vec {u}}$ (касательная к кривой) в любой точке мировой линии

$${\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.$$

Каждый компонент просто пишется

$$u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}$$

Теория относительности

Эйнштейна В теории относительности путь объекта, движущегося относительно определенной системы отсчета, определяется четырьмя координатными функциями x. ^м ( τ ) , где µ — индекс пространства-времени, который принимает значение 0 для времениподобной компоненты и 1, 2, 3 для пространственноподобных координат. Нулевой компонент определяется как временная координата, умноженная на c ,

$$x^{0}=ct\,,$$

Каждая функция зависит от одного параметра τ, называемого ее собственным временем . В качестве вектора-столбца

$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}\,.$$

Замедление времени

Из-за замедления времени дифференциалы собственном в координатном времени t и времени τ связаны соотношением

$$dt=\gamma (u)d\tau$$

где фактор Лоренца ,

$$\gamma (u)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\,,$$

является функцией евклидовой нормы u трехмерного вектора скорости ${\vec {u}}$:

$$u=\left\|\ {\vec {u}}\ \right\|={\sqrt {\left(u^{1}\right)^{2}+\left(u^{2}\right)^{2}+\left(u^{3}\right)^{2}}}\,.$$

Определение четырехскорости

Четырехскорость — это касательный четырёхвектор времениподобной мировой линии . Четырехскоростной $\mathbf {U}$ в любой точке мировой линии $\mathbf {X} (\tau )$ определяется как:

$$\mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}$$

где $\mathbf {X}$ четырехпозиционный ​ и $\tau$ самое подходящее время .

Четырехскоростная скорость, определенная здесь с использованием собственного времени объекта, не существует для мировых линий для безмассовых объектов, таких как фотоны, движущиеся со скоростью света; он также не определен для тахионных мировых линий, где касательный вектор пространственноподобен .

Компоненты четырехскоростного двигателя

Связь между временем t и координатным временем x ⁰ определяется

$$x^{0}=ct.$$

Взяв производную от этого по собственному времени τ , мы находим U ^м составляющая скорости для µ = 0 :

$$U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d(ct)}{d\tau }}=c{\frac {dt}{d\tau }}=c\gamma (u)$$

а для остальных трех компонентов собственного времени мы получаем U ^м составляющая скорости для µ = 1, 2, 3 :

$$U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dt}}\gamma (u)=\gamma (u)u^{i}$$

где мы использовали правило цепочки и отношения

$$u^{i}={dx^{i} \over dt}\,,\quad {\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (u)$$

Таким образом, для четырехскоростного режима находим $\mathbf {U}$:

$$\mathbf {U} =\gamma {\begin{bmatrix}c\\{\vec {u}}\\\end{bmatrix}}.$$

Записано в стандартной четырехвекторной записи:

$$\mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\vec {u}}\right)$$

где $\gamma c$ является временной составляющей и $\gamma {\vec {u}}$ это пространственная составляющая.

С точки зрения синхронизированных часов и линеек, связанных с конкретным фрагментом плоского пространства-времени, три пространственноподобных компонента четырехскорости определяют собственную скорость движущегося объекта. $\gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau$ т.е. скорость, с которой расстояние преодолевается в опорном кадре карты за единицу собственного времени , прошедшего на часах, движущихся вместе с объектом.

В отличие от большинства других четырехвекторов, четырехскоростной имеет только 3 независимых компонента. $u_{x},u_{y},u_{z}$ вместо 4. $\gamma$ коэффициент является функцией трехмерной скорости ${\vec {u}}$.

Когда определенные скаляры Лоренца умножаются на четыре скорости, получаются новые физические четыре вектора, которые имеют четыре независимых компонента.

Например:

• Четырехимпульсный :
  $$\mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} =\gamma m_{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=m\left(c,{\vec {u}}\right)=\left(mc,m{\vec {u}}\right)=\left(mc,{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right),$$
  где $m_{o}$ это масса покоя
• Плотность четырех токов :
  $$\mathbf {J} =\rho _{o}\mathbf {U} =\gamma \rho _{o}\left(c,{\vec {u}}\right)=\rho \left(c,{\vec {u}}\right)=\left(\rho c,\rho {\vec {u}}\right)=\left(\rho c,{\vec {j}}\right),$$
  где $\rho _{o}$ заряда плотность

По сути, $\gamma$ коэффициент в сочетании со скалярным членом Лоренца образует 4-й независимый компонент.

$$m=\gamma m_{o}$$

и

$$\rho =\gamma \rho _{o}.$$

Величина

Используя дифференциал четырехпозиции в остальном кадре, величину четырехскорости можно получить с помощью метрики Минковского с сигнатурой (−, +, +, +) :

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=\eta _{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\eta _{\mu \nu }{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}=-c^{2}\,,$$

Короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}=-c^{2}$$

В движущемся кадре та же норма:

$$\left\|\mathbf {U} \right\|^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),$$

так что:

$$-c^{2}={\gamma (u)}^{2}\left(-c^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}\right),$$

что сводится к определению фактора Лоренца.

См. также

• Четырехскоростной
• Четырехимпульсный
• Четыре силы
• Четырехградиентный
• Алгебра физического пространства
• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Гиперболоидная модель
• Быстрота

Ссылки

• Эйнштейн, Альберт (1920). Теория относительности: специальная и общая теория . Перевод Роберта В. Лоусона. Нью-Йорк: Оригинал: Генри Холт, 1920 г.; Перепечатано: Книги Прометея, 1995.
• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е место) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853952-5 .