Четырехскоростной

В теории относительности четырёхускорение четырёхвектор — ( вектор в четырёхмерном пространстве-времени ), аналог классического ускорения (трёхмерный вектор, см. трёхускорение в специальной теории относительности ). Четырехускорение имеет применение в таких областях, как аннигиляция антипротонов , резонанс странных частиц и излучение ускоренного заряда. ^[1]

Четырехускорение в инерциальных координатах

В инерциальных координатах в специальной теории относительности четырёхускорение $\mathbf {A}$ определяется как скорость изменения четырехскоростного $\mathbf {U}$ относительно собственного времени частицы вдоль ее мировой линии . Мы можем сказать: ${\begin{aligned}\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}&=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\mathbf {u} \right)\\&=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\,\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right),\end{aligned}}$ где

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}$ , с $\mathbf {a}$ три ускорения и $\mathbf {u}$ трехскоростной, и
${\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}},$ и
$\gamma _{u}$ - фактор Лоренца для скорости $u$ (с $|\mathbf {u} |=u$ ). Точка над переменной указывает на производную по координатному времени в данной системе отсчета, а не на собственное время. $\tau$ (другими словами, ${\textstyle {\dot {\gamma }}_{u}={\frac {d\gamma _{u}}{dt}}}$ ).

В мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета $\mathbf {u} =0$ , $\gamma _{u}=1$ и ${\dot {\gamma }}_{u}=0$ , т.е. в такой системе отсчета $\mathbf {A} =\left(0,\mathbf {a} \right).$

Геометрически четырехускорение — это вектор кривизны мировой линии. ^[2]^[3]

Следовательно, величина четырехкратного ускорения (которое является инвариантным скаляром) равна собственному ускорению , которое «чувствует» движущаяся частица, движущаяся вдоль мировой линии. Мировая линия, имеющая постоянное четырехкратное ускорение, представляет собой окружность Минковского, т.е. гиперболу (см. гиперболическое движение ).

Скалярное произведение частицы четырехскорости и ее четырехускорения всегда равно 0.

Даже на релятивистских скоростях четыре ускорения связаны с четырьмя силами : $F^{\mu }=mA^{\mu },$ где $m$ — инвариантная масса частицы.

Когда четырехсила равна нулю, на траекторию частицы влияет только гравитация, и четырехвекторный эквивалент второго закона Ньютона, приведенного выше, сводится к уравнению геодезических . Четырехкратное ускорение частицы, совершающей геодезическое движение, равно нулю. Это соответствует тому, что гравитация не является силой. Четырехускорение отличается от того, что мы понимаем под ускорением, как оно определено в ньютоновской физике, где гравитация рассматривается как сила.

Четырехускорение в неинерциальных координатах

В неинерциальных координатах, которые включают ускоренные координаты в специальной теории относительности и все координаты в общей теории относительности , четырехвектор ускорения связан с четырехскоростью через абсолютную производную по собственному времени.

$A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }$

В инерциальных координатах символы Кристоффеля $\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }$ все равны нулю, поэтому эта формула совместима с формулой, приведенной ранее.

В специальной теории относительности координаты являются координатами прямолинейной инерциальной системы отсчета, поэтому термин «символы Кристоффеля» исчезает, но иногда, когда авторы используют изогнутые координаты для описания ускоренной системы отсчета, система отсчета не является инерциальной, они все равно будут описывать физику. как специальный релятивистский, поскольку метрика представляет собой всего лишь реперное преобразование метрики пространства Минковского . В этом случае необходимо использовать именно это выражение, поскольку символы Кристоффеля уже не все равны нулю.

См. также

Ссылки

^ Цампарлис М. (2010). Специальная теория относительности (онлайн-изд.). Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 185. ИСБН 978-3-642-03837-2 .
^ Паули В. (1921). Теория относительности (изд. Дувра, 1981 г.). Б. Г. Тойбнер, Лейпциг. п. 74. ИСБН 978-0-486-64152-2 .
^ Синг Дж.Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление (изд. Дувра, 1978 г.). Университет Торонто Пресс. стр. 149, 153 и 170 . ISBN 0-486-63612-7 .

Папапетру А. (1974). Лекции по общей теории относительности . Издательство Д. Рейделя. ISBN 90-277-0514-3 .
Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е место) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5 .

Внешние ссылки

кривизны Британники Вектор

[1] Цампарлис М. (2010). Специальная теория относительности (онлайн-изд.). Шпрингер Берлин Гейдельберг. п. 185. ИСБН 978-3-642-03837-2 .

[2] Паули В. (1921). Теория относительности (изд. Дувра, 1981 г.). Б. Г. Тойбнер, Лейпциг. п. 74. ИСБН 978-0-486-64152-2 .

[3] Синг Дж.Л.; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление (изд. Дувра, 1978 г.). Университет Торонто Пресс. стр. 149, 153 и 170 . ISBN 0-486-63612-7 .

[1]

[2]

[3]