Ускорение (специальная теория относительности)

Ускорения в специальной теории относительности СТО) следуют, как и в механике Ньютона , путем дифференцирования скорости ( по времени . Из-за преобразования Лоренца и замедления времени понятия времени и расстояния становятся более сложными, что также приводит к более сложным определениям «ускорения». СТО как теория плоского пространства-времени Минковского остается справедливой при наличии ускорений, поскольку общая теория относительности (ОТО) требуется только тогда, когда существует искривление пространства-времени, вызванное тензором энергии-импульса (который в основном определяется массой ) . Однако, поскольку степень искривления пространства-времени не особенно велика на Земле или в ее окрестностях, СТО остается применимой для большинства практических целей, таких как эксперименты на ускорителях частиц .

Можно вывести формулы преобразования для обычных ускорений в трех пространственных измерениях (трехускорение или координатное ускорение), измеренных во внешней инерциальной системе отсчета , а также для частного случая собственного ускорения, измеряемого сопутствующим акселерометром . Другой полезный формализм — четырехускорение , поскольку его компоненты можно соединить в разных инерциальных системах преобразования Лоренца. Также уравнения движения можно сформулировать , связывающие ускорение и силу . следуют уравнения некоторых форм ускорения тел и их искривленных мировых линий Из этих формул путем интегрирования . Хорошо известными частными случаями являются гиперболическое движение при постоянном продольном собственном ускорении или равномерное круговое движение . В конце концов, эти явления также можно описать в ускоренных системах отсчета в контексте специальной теории относительности, см. Собственная система отсчета (плоское пространство-время) . В таких системах возникают эффекты, аналогичные однородным гравитационным полям. , которые имеют некоторое формальное сходство с реальными неоднородными гравитационными полями искривленного пространства-времени в общей теории относительности. В случае гиперболического движения можно использовать координаты Риндлера , в случае равномерного кругового движения — координаты Борна .

Что касается исторического развития, релятивистские уравнения, содержащие ускорения, можно найти уже в первые годы теории относительности, как это резюмировано в ранних учебниках Макса фон Лауэ (1911, 1921). или Вольфганг Паули (1921). Например, уравнения движения и преобразования ускорения были развиты в работах Хендрика Антона Лоренца (1899, 1904): Анри Пуанкаре (1905), Альберт Эйнштейн (1905), Макс Планк (1906), и четырехускорение, собственное ускорение, гиперболическое движение, ускоряющиеся системы отсчета, жесткость Борна , были проанализированы Эйнштейном (1907), Герман Минковский (1907, 1908), Макс Борн (1909), Густав Херглотц (1909), Арнольд Зоммерфельд (1910), Лауэ (1911), Фридрих Коттлер (1912, 1914), см. раздел по истории .

Три ускорения

В соответствии как с механикой Ньютона, так и с СТО, трехускорение или координатное ускорение $\mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)$ это первая производная скорости $\mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)$ относительно координатного времени или второй производной местоположения $\mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)$ по координатному времени:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$.

Однако теории резко различаются в своих предсказаниях относительно связи между тремя ускорениями, измеренными в разных инерциальных системах отсчета. В механике Ньютона время абсолютно. $t'=t$ в соответствии с преобразованием Галилея , поэтому полученное из него трехускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчета:

$\mathbf {a} =\mathbf {a} '$.

Напротив, в СР оба $\mathbf {r}$ и $t$ зависят от преобразования Лоренца, поэтому и трехускорение $\mathbf {a}$ и ее компоненты изменяются в разных инерциальных системах отсчета. Когда относительная скорость между кадрами направлена ​​в направлении x по формуле $v=v_{x}$ с $\gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ в качестве фактора Лоренца преобразование Лоренца имеет вид

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ( 1а )

или для произвольных скоростей $\mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)$ величины ​ $|\mathbf {v} |=v$:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ( 1б )

Чтобы узнать преобразование трехускорения, необходимо дифференцировать пространственные координаты $\mathbf {r}$ и $\mathbf {r} '$ преобразования Лоренца по отношению к $t$ и $t'$, из которого происходит преобразование трёхскоростей (также называемое формулой сложения скоростей ) между $\mathbf {u}$ и $\mathbf {u} '$ следует, и в конечном итоге путем другой дифференциации по отношению к $t$ и $t'$ трансформация трехускорения между $\mathbf {a}$ и $\mathbf {a} '$ следует. Начиная с ( 1a ), эта процедура дает преобразование, при котором ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярны (направление y, z) скорости:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}}$ ( 1с )

или начиная с ( 1б ) эта процедура дает результат для общего случая произвольных направлений скоростей и ускорений:

${\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}$ ( 1д )

Это означает, что если имеются две инерциальные системы отсчёта $S$ и $S'$ с относительной скоростью $\mathbf {v}$, затем в $S$ ускорение $\mathbf {a}$ объекта с мгновенной скоростью $\mathbf {u}$ измеряется, в то время как в $S'$ тот же объект имеет ускорение $\mathbf {a} '$ и имеет мгновенную скорость $\mathbf {u} '$. Как и в случае с формулами сложения скоростей, эти преобразования ускорения гарантируют, что результирующая скорость ускоряемого объекта никогда не сможет достичь или превысить скорость света .

Четырехскоростной

Основная статья: Четыре ускорения

Если именно вместо трехвекторов использовать четырехвекторы, а $\mathbf {R}$ как четырехпозиционный и $\mathbf {U}$ как четырехскоростной , то четырехускоренный $\mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)$ объекта получается дифференцированием по собственному времени $\mathbf {\tau }$ вместо координаты времени:

${\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}$ ( 2а )

где $\mathbf {a}$ - трехкратное ускорение объекта и $\mathbf {u}$ его мгновенная трехскоростная величина $|\mathbf {u} |=u$ с соответствующим фактором Лоренца $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$. Если рассматривать только пространственную часть и когда скорость направлена ​​в направлении x по формуле $u=u_{x}$ и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направления y, z) скорости, выражение сводится к:

$\mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)$

В отличие от ранее обсуждавшегося трехускорения, нет необходимости выводить новое преобразование для четырехускорения, потому что, как и для всех четырехвекторов, компоненты $\mathbf {A}$ и $\mathbf {A} '$ в двух инерциальных системах отсчета с относительной скоростью $v$ связаны преобразованием Лоренца, аналогичным ( 1a , 1b ). Еще одним свойством четырехвекторов является инвариантность скалярного произведения. $\mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}$ или его величина $|\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}$, что дает в данном случае:

$|\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}$. ( 2б )

Правильное ускорение

Основная статья: Правильное ускорение

В бесконечно малых промежутках времени всегда существует одна инерциальная система отсчета, которая в данный момент имеет ту же скорость, что и ускоряемое тело, и в которой выполняется преобразование Лоренца. Соответствующие три ускорения $\mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)$ в этих кадрах может быть непосредственно измерено акселерометром и называется собственным ускорением. или ускорение покоя. Отношение $\mathbf {a} ^{0}$ в мгновенной инерциальной системе отсчета $S'$ и $\mathbf {a}$ измеряется во внешней инерциальной системе отсчета $S$ следует из ( 1c , 1d ) с $\mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}$, $\mathbf {u} '=0$, $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $\gamma =\gamma _{v}$. Итак, с точки зрения ( 1c ), когда скорость направлена ​​в направлении x на $u=u_{x}=v=v_{x}$ и когда рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направления y, z) скорости, получается следующее:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ( 3а )

Обобщено ( 1d ) для произвольных направлений $\mathbf {u}$ величины $|\mathbf {u} |=u$:

${\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}$

Существует также тесная связь с величиной четырехкратного ускорения: поскольку она инвариантна, ее можно определить в мгновенной инерциальной системе отсчета. $S'$, в котором $\mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}$ и по $dt'/d\tau =1$ следует $d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0$:

$|\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0}|$. ( 3б )

Таким образом, величина четырехускорения соответствует величине собственного ускорения. Объединив это с ( 2b ), можно получить альтернативный метод определения связи между $\mathbf {a} ^{0}$ в $S'$ и $\mathbf {a}$ в $S$ дано, а именно

$|\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}$

из чего снова следует ( 3a ), когда скорость направлена ​​в направлении x на $u=u_{x}$ и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направления y, z) скорости.

Ускорение и сила

Дополнительная информация: Релятивистская механика § Сила и масса в специальной теории относительности.

Предполагая постоянную массу $m$, четыре силы $\mathbf {F}$ как функция трех сил $\mathbf {f}$ связано с четырехкратным ускорением ( 2a ) соотношением $\mathbf {F} =m\mathbf {A}$, таким образом:

$\mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)$ ( 4а )

Таким образом, связь между тремя силами и тремя ускорениями для произвольных направлений скорости такова:

${\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}$ ( 4б )

Когда скорость направлена ​​в направлении x по формуле $u=u_{x}$ и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направления y, z) скорости.

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ( 4с )

Поэтому ньютоновское определение массы как отношения трех сил и трех ускорений в СТО невыгодно, поскольку такая масса будет зависеть как от скорости, так и от направления. Следовательно, следующие определения масс, использовавшиеся в старых учебниках, больше не используются:

$m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}$ как «продольная масса»,

$m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma$ как «поперечная масса».

Соотношение ( 4b ) между трехускорением и тремя силами можно получить также из уравнения движения

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}$ ( 4д )

где $\mathbf {p}$ это трехимпульс. Соответствующее преобразование трехсил между $\mathbf {f}$ в $S$ и $\mathbf {f} '$ в $S'$ (когда относительная скорость между кадрами направлена ​​в направлении x по $v=v_{x}$ и рассматриваются только ускорения, параллельные (направление x) или перпендикулярные (направления y, z) скорости) следует путем замены соответствующих формул преобразования на $\mathbf {u}$, $\mathbf {a}$, $m\gamma$, $d(m\gamma )/dt$, или из преобразованных Лоренцем компонентов четырехсилы, что дает результат:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}\end{array}}$ ( 4е )

Или обобщенно для произвольных направлений $\mathbf {u}$, а также $\mathbf {v}$ с величиной $|\mathbf {v} |=v$:

${\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2}}{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} &={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}$ ( 4ф )

Правильное ускорение и правильная сила

Сила $\mathbf {f} ^{0}$ в мгновенной инерциальной системе отсчета, измеряемой сопутствующим пружинным балансом, можно назвать собственной силой. Это следует из ( 4e , 4f ), полагая $\mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}$ и $\mathbf {u} '=0$ а также $\mathbf {u} =\mathbf {v}$ и $\gamma =\gamma _{v}$. Таким образом, согласно ( 4e ), где только ускорения параллельны (направление x) или перпендикулярны (направления y, z) скорости $u=u_{x}=v=v_{x}$ считаются:

${\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}$ ( 5а )

Обобщено ( 4f ) для произвольных направлений $\mathbf {u}$ величины $|\mathbf {u} |=u$:

${\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}$

Поскольку в мгновенных инерциальных системах имеется четыре силы $\mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)$ и четыре ускорения $\mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)$, уравнение ( 4a ) дает ньютоновское соотношение $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$, поэтому ( 3a , 4c , 5a ) можно суммировать

${\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}$ ( 5б )

При этом кажущееся противоречие в исторических определениях поперечной массы $m_{\perp }$ можно объяснить. Эйнштейн (1905) описал связь между тремя ускорениями и собственной силой.

$m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}$,

в то время как Лоренц (1899, 1904) и Планк (1906) описали связь между тремя ускорениями и тремя силами.

$m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma$.

Кривые мировые линии

Дополнительная информация: уравнения Френе-Серре в пространстве-времени , гиперболическое движение и жесткость Борна.

Путем интегрирования уравнений движения получают искривленные мировые линии ускоренных тел, соответствующие последовательности мгновенных инерциальных систем отсчета (здесь выражение «кривая» связано с формой мировых линий в диаграммах Минковского, которые не следует путать с «искривленное» пространство-время общей теории относительности). так называемую часовую гипотезу постулата часов: В связи с этим необходимо рассмотреть Собственное время движущихся часов не зависит от ускорения, то есть замедление времени этих часов, наблюдаемое во внешней инерциальной системе отсчета, зависит только от их относительной скорости по отношению к этой системе отсчета. Два простых случая искривленных мировых линий теперь получаются путем интегрирования уравнения ( 3a ) для собственного ускорения:

а) Гиперболическое движение : постоянное продольное собственное ускорение. $\alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}$ по ( 3а ) приводит к мировой линии

${\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}$ ( 6а )

Мировая линия соответствует гиперболическому уравнению $c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}$, от которого и произошло название гиперболического движения. Эти уравнения часто используются для расчета различных сценариев парадокса близнецов или парадокса космического корабля Белла , а также применительно к космическим путешествиям с использованием постоянного ускорения .

б) Постоянное собственное поперечное ускорение $a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}$ по ( 3а ) можно рассматривать как центростремительное ускорение , ведущая к мировой линии тела, находящегося в равномерном вращении

${\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$ ( 6б )

где $v=r\Omega _{0}$ это тангенциальная скорость , $r$ - радиус орбиты, $\Omega _{0}$ - угловая скорость как функция координатного времени, а $\Omega =\gamma \Omega _{0}$ как собственная угловая скорость.

Классификацию искривленных мировых линий можно получить, используя дифференциальную геометрию тройных кривых, которую можно выразить пространственно-временными формулами Френе-Серре . В частности, можно показать, что гиперболическое движение и равномерное круговое движение являются частными случаями движений, имеющих постоянные кривизны и кручения . удовлетворяющее условию жесткости Борна . Тело называется борн-жестким, если расстояние в пространстве-времени между его бесконечно малыми мировыми линиями или точками остается постоянным во время ускорения.

Ускоренные системы отсчета

Основные статьи: Собственная система отсчета (плоское пространство-время) , координаты Риндлера и координаты Борна.

Вместо инерциальных систем отсчета эти ускоренные движения и искривленные мировые линии также можно описать с помощью ускоренных или криволинейных координат . Установленная таким образом собственная система отсчета тесно связана с координатами Ферми . Например, координаты гиперболически ускоренной системы отсчета иногда называются координатами Риндлера , а координаты равномерно вращающейся системы отсчета называются вращающимися цилиндрическими координатами (или иногда координатами Борна ). С точки зрения принципа эквивалентности эффекты, возникающие в этих ускоренных системах отсчета, аналогичны эффектам в однородном фиктивном гравитационном поле. Таким образом, можно видеть, что использование ускоряющихся систем отсчета в СТО порождает важные математические соотношения, которые (при дальнейшем развитии) играют фундаментальную роль в описании реальных неоднородных гравитационных полей в терминах искривленного пространства-времени в общей теории относительности.

История

Дополнительную информацию см. у фон Лауэ, Паули, Миллер, старый, Гургулон, и исторические источники в истории специальной теории относительности .

1899:

Хендрик Лоренц выведено правильное (до определенного коэффициента) $\epsilon$) соотношения для ускорений, сил и масс между покоящимися электростатическими системами частиц $S_{0}$ (в неподвижном эфире ) и система $S$ выйдя из него, добавив перевод, с $k$ как фактор Лоренца:

${\frac {1}{\epsilon ^{2}}}$, ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}$, ${\frac {1}{k\epsilon ^{2}}}$ для $\mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}$ по ( 5а );

${\frac {1}{k^{3}\epsilon }}$, ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$, ${\frac {1}{k^{2}\epsilon }}$ для $\mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}$ по ( 3а );

${\frac {k^{3}}{\epsilon }}$, ${\frac {k}{\epsilon }}$, ${\frac {k}{\epsilon }}$ для $\mathbf {f} /(m\mathbf {a} )$, таким образом, продольная и поперечная масса на ( 4c );

Лоренц объяснил, что у него нет средств для определения стоимости $\epsilon$. Если бы он поставил $\epsilon =1$, его выражения приняли бы точную релятивистскую форму.

1904:

Лоренц предыдущие соотношения выведены более детально, а именно относительно свойств частиц, покоящихся в системе $\Sigma '$ и движущаяся система $\Sigma$, с новой вспомогательной переменной $l$ равный $1/\epsilon$ по сравнению с 1899 годом, таким образом:

${\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')$ для $\mathbf {f}$ как функция $\mathbf {f} ^{0}$ по ( 5а );

$m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ для $m\mathbf {a}$ как функция $m\mathbf {a} ^{0}$ по ( 5б );

${\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')$ для $\mathbf {a}$ как функция $\mathbf {a} ^{0}$ по ( 3а );

$m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')$ для продольной и поперечной массы в зависимости от массы покоя по ( 4в , 5б ).

На этот раз Лоренц смог доказать, что $l=1$, благодаря чему его формулы принимают точный релятивистский вид. Он также сформулировал уравнение движения

${\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}$ с ${\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}$

что соответствует ( 4d ) с $\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}$, с $l=1$, ${\mathfrak {F}}=\mathbf {f}$, ${\mathfrak {G}}=\mathbf {p}$, ${\mathfrak {w}}=\mathbf {u}$, $k=\gamma$, и $e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m$ как электромагнитная масса покоя . Более того, он утверждал, что эти формулы должны справедливы не только для сил и масс электрически заряженных частиц, но и для других процессов, чтобы движение Земли через эфир оставалось необнаружимым.

1905:

Анри Пуанкаре ввел преобразование трехсил ( 4e ):

$X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}$

с ${\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )$, и $k$ как фактор Лоренца, $\rho$ плотность заряда. Или в современных обозначениях: $\epsilon =v$, $\xi =u_{x}$, $\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$, и $\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$. Как Лоренц, он установил $l=1$.

1905:

Альберт Эйнштейн вывел уравнения движения на основе своей специальной теории относительности, которые представляют собой отношения между одинаково действительными инерциальными системами отсчета без действия механического эфира. Эйнштейн пришел к выводу, что в мгновенной инерциальной системе отсчета $k$ уравнения движения сохраняют свою ньютоновскую форму:

$\mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'$.

Это соответствует $\mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}$, потому что $\mu =m$ и $\left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}$ и $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}$. Путем превращения в относительно движущуюся систему $K$ он получил уравнения для электрических и магнитных составляющих, наблюдаемых в этой системе отсчета:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)$.

Это соответствует ( 4в ) с $\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)$, потому что $\mu =m$ и $\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a}$ и $\left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f}$ и $\beta =\gamma$. Следовательно, Эйнштейн определил продольную и поперечную массы, хотя и связал их с силой $\left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}$ в системе мгновенного покоя, измеряемой сопутствующими пружинными балансами, и в системе с тремя ускорениями $\mathbf {a}$ в системе $K$:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}$

Это соответствует ( 5б ) с $m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}$.

1905:

Пуанкаре вводит преобразование трехускорения ( 1в ):

${\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}$

где $\left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u}$ а также $k=\gamma$ и $\epsilon =v$ и $\mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v$.

Кроме того, он ввел четырехсилу в форме:

$k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}$

где $k_{0}=\gamma _{0}$ и $\left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f}$ и $T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$.

1906:

Макс Планк вывел уравнение движения

${\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}$

с

$e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}$ и $e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}$

и

${\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}$

Уравнения соответствуют ( 4d ) с

$\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a}$, с $X=f_{x}$ и $q=v$ и ${\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a}$, что соответствует данным Лоренца (1904).

1907:

Эйнштейн проанализировал равномерно ускоренную систему отсчета и получил формулы для координатно-зависимого замедления времени и скорости света, аналогичные тем, которые даются координатами Коттлера-Мёллера-Риндлера .

1907:

Герман Минковский определил связь между четырьмя силами (которую он назвал движущей силой) и четырьмя ускорениями.

$m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dx}{d\tau }}=R_{x},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dy}{d\tau }}=R_{y},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dz}{d\tau }}=R_{z},\quad m{\frac {d}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}=R_{t}$

соответствующий $m\mathbf {A} =\mathbf {F}$.

1908:

Минковский обозначает вторую производную $x,y,z,t$ по отношению к собственному времени как «вектору ускорения» (четырёхускорению). Он показал, что ее величина в произвольной точке $P$ мировой линии является $c^{2}/\varrho$, где $\varrho$ — это величина вектора, направленного из центра соответствующей «гиперболы кривизны» ( нем . Krümmungshyperbel ) к $P$.

1909:

Макс Борн обозначает движение с постоянной величиной вектора ускорения Минковского как «гиперболическое движение» ( нем . Hyperbelbewegung ), в ходе своего исследования жестко ускоренного движения . Он установил $p=dx/d\tau$ (теперь называемая собственной скоростью ) и $q=-dt/d\tau ={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}$ как фактор Лоренца и $\tau$ как собственное время, с уравнениями преобразования

$x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi$.

что соответствует ( 6а ) с $\xi =c^{2}/\alpha$ и $p=c\sinh(\alpha \tau /c)$. Устранение $p$ Борн вывел гиперболическое уравнение $x^{2}-c^{2}t^{2}=\xi ^{2}$и определил величину ускорения как $b=c^{2}/\xi$. Он также заметил, что его преобразование можно использовать для преобразования в «гиперболически ускоренную систему отсчета» ( нем . Hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ).

1909:

Густав Херглотц Распространяет исследование Борна на все возможные случаи жестко ускоренного движения, включая равномерное вращение.

1910:

Арнольд Зоммерфельд привёл формулы Борна для гиперболического движения в более краткую форму с помощью $l=ict$ как мнимая переменная времени и $\varphi$ как воображаемый угол:

$x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi$

Он отметил, что когда $r,y,z$ являются переменными и $\varphi$ постоянна, они описывают мировую линию заряженного тела, находящегося в гиперболическом движении. Но если $r,y,z$ постоянны и $\varphi$ является переменной, они обозначают преобразование в ее остаточный кадр.

1911:

Летнее поле явно использовал выражение «собственное ускорение» ( нем . Eigenbeschleunigung ) для величины ${\dot {v}}_{0}$ в ${\dot {v}}={\dot {v}}_{0}\left(1-\beta ^{2}\right)^{3/2}$, что соответствует ( 3a ), как ускорение в мгновенной инерциальной системе отсчета.

1911:

Херглотц явно использовал выражение «ускорение покоя» ( нем . Ruhbeschleunigung ) вместо правильного ускорения. Он написал это в форме $\gamma _{l}^{0}=\beta ^{3}\gamma _{l}$ и $\gamma _{t}^{0}=\beta ^{2}\gamma _{t}$ что соответствует ( 3а ), где $\beta$ – фактор Лоренца и $\gamma _{l}^{0}$ или $\gamma _{t}^{0}$ – продольная и поперечная составляющие ускорения покоя.

1911:

Макс фон Лауэ вывел в первом издании своей монографии «Das Relativitätsprinzip» преобразование для трехускорения путем дифференцирования сложения скоростей.

${\begin{aligned}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{3}{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime },&{\mathfrak {\dot {q}}}_{y}&=\left({\frac {c{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right)^{2}\left({\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }-{\frac {v{\mathfrak {q}}_{y}^{\prime }{\mathfrak {\dot {q}}}_{x}^{\prime }}{c^{2}+v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}}\right),\end{aligned}}$

эквивалентно ( 1c ), а также Пуанкаре (1905/6). Отсюда он вывел преобразование ускорения покоя (эквивалентное 3a ) и, в конечном итоге, формулы для гиперболического движения, соответствующие ( 6a ):

$\pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}}},\quad \pm \left(x-x_{0}\right)={\frac {c}{b}}{\sqrt {c^{2}+b^{2}t^{2}}},$

таким образом

$x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{2}-u^{2}=c^{4}/b^{2},\quad y=\eta ,\quad z=\zeta$,

и преобразование в гиперболическую систему отсчета с мнимым углом $\varphi$:

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R^{2}&=X^{2}+L^{2}\\\tan \varphi &={\frac {L}{X}}\end{aligned}}\end{array}}$.

Он также написал преобразование трех сил как

${\begin{aligned}{\mathfrak {K}}_{x}&={\frac {{\mathfrak {K}}_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}({\mathfrak {q'K'}})}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{y}&={\mathfrak {K}}_{y}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},&{\mathfrak {K}}_{z}&={\mathfrak {K}}_{z}^{\prime }{\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+{\frac {v{\mathfrak {q}}_{x}^{\prime }}{c^{2}}}}},\end{aligned}}$

эквивалентно ( 4e ), а также Пуанкаре (1905).

1912–1914:

Фридрих Коттлер получил общую ковариацию уравнений Максвелла и использовал четырехмерные формулы Френе-Серре для анализа жестких движений Борна, данных Герглотцем (1909). Он также получил правильные системы отсчета для гиперболического движения и равномерного кругового движения.

1913:

из Лауэ заменил во втором издании своей книги преобразование трех ускорений вектором ускорения Минковского, для которого он придумал название «четыре ускорения» ( нем . Viererbeschleunigung ), определяемое формулой ${\dot {Y}}={\frac {dY}{d\tau }}$ с $Y$ как четырехскоростной. Он показал, что величина четырехкратного ускорения соответствует ускорению покоя. ${\dot {\mathfrak {q}}}^{0}$ к

$|{\dot {Y|}}={\frac {1}{c}}|{\dot {\mathfrak {q}}}^{0}|$,

что соответствует ( 3б ). Впоследствии он вывел те же формулы, что и в 1911 году, для преобразования ускорения покоя и гиперболического движения, а также гиперболической системы отсчета.

Библиография

• Ashtekar, A.; Petkov, V. (2014). Springer Handbook of Spacetime . Springer. ISBN  978-3642419928 .
• Бини, Д.; Лусанна, Л.; Машхун, Б. (2005). «Ограничения радиолокационных координат». Международный журнал современной физики Д. 14 (8): 1413–1429. arXiv : gr-qc/0409052 . Бибкод : 2005IJMPD..14.1413B . дои : 10.1142/S0218271805006961 . S2CID   17909223 .
• Ферраро, Р. (2007). Пространство-время Эйнштейна: введение в специальную и общую теорию относительности . Спектр. ISBN  978-0387699462 .
• Фраундорф, П. (2012). «Введение в кинематику, ориентированное на путешественников». IV-Б. arXiv : 1206.2877 [ physical.pop-ph ].
• Французский, AP (1968). Специальная теория относительности . ЦРК Пресс. ISBN  1420074814 .
• Фройнд, Дж. (2008). Специальная теория относительности для начинающих: Учебник для студентов . Всемирная научная. ISBN  978-9812771599 .
• Гургульон, Э. (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Спрингер. ISBN  978-3642372766 .
• фон Лауэ, М. (1921). Теория относительности, Том 1 (четвертое издание «Принципа относительности» под ред.). Посмотретьег. ; Первое издание 1911 г., второе расширенное издание 1913 г., третье расширенное издание 1919 г.
• Кокс, Д. (2006). Исследования по математической физике . Спрингер. ISBN  0387309438 .
• Копейкин С.; Ефроимский, М.; Каплан, Г. (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-3527408566 .
• Миллер, Артур И. (1981). Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна. Возникновение (1905 г.) и ранняя интерпретация (1905–1911 гг.) . Чтение: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-04679-2 .
• Миснер, CW; Торн, Канзас; Уилер, Дж. А. (1973). Гравитация . Фриман. ISBN  0716703440 .
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Оксфорд Кларендон Пресс.
• Николич, Х. (2000). «Релятивистское сжатие и связанные с ним эффекты в неинерциальных системах отсчета». Физический обзор А. 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc/9904078 . Бибкод : 2000PhRvA..61c2109N . дои : 10.1103/PhysRevA.61.032109 . S2CID   5783649 .
• Паули, Вольфганг (1921), «Теория относительности» , Энциклопедия математических наук , 5 (2): 539–776.

По-английски: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности . Том. 165. Дуврские публикации. ISBN  0-486-64152-Х . {{cite book}}: |journal= игнорируется ( помогите )

• Паури, М.; Валлиснери, М. (2000). «Координаты Мерцке-Уиллера для ускоренных наблюдателей в специальной теории относительности». Основы физики письма . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc/0006095 . Бибкод : 2000gr.qc.....6095P . дои : 10.1023/А:1007861914639 . S2CID   15097773 .
• Пфеффер, Дж.; Нир, С. (2012). Современная физика: Вводный текст . Всемирная научная. ISBN  978-1908979575 .
• Шэдоуиц, А. (1988). Специальная теория относительности (Переиздание изд. 1968 г.). Публикации Курьера Дувра. ISBN  0-486-65743-4 .
• Рахаман, Ф. (2014). Специальная теория относительности: математический подход . Спрингер. ISBN  978-8132220800 .
• Ребхан, Э. (1999). Теоретическая физика И. Гейдельберг · Берлин: Спектр. ISBN  3-8274-0246-8 .
• Риндлер, В. (1977). Основная теория относительности . Спрингер. ISBN  354007970X .
• Синг, Дж. Л. (1966). «Времеподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской Ирландской академии, раздел А. 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Толман, RC (1917). Теория относительности движения . Издательство Калифорнийского университета . OCLC   13129939 .
• Захар, Э. (1989). Революция Эйнштейна: исследование эвристики . Издательство «Открытый суд». ISBN  0-8126-9067-2 .

Внешние ссылки

• Mathpages: Поперечная масса в электродинамике Эйнштейна , Ускоренное перемещение , Природная жесткость, ускорение и инерция , Излучает ли равномерно ускоряющийся заряд?
• Часто задаваемые вопросы по физике: ускорение в специальной теории относительности , релятивистская ракета