Парадокс космического корабля Белла

Вверху : в S расстояние между космическими кораблями остается прежним, а струна сжимается. Внизу : в S' расстояние между космическими кораблями увеличивается, а длина струны остается прежней.

Парадокс космического корабля Белла — это мысленный эксперимент в специальной теории относительности . Впервые описан Э. Деваном и М. Бераном в 1959 г. но стал более широко известен после того, как Джон Стюарт Белл развил эту идею в 1976 году. Тонкая нить висит между двумя космическими кораблями, направляющимися в одном направлении. Они начинают ускоряться одновременно и одинаково, как измерено в инерциальной системе отсчета S, таким образом, все время имея одну и ту же скорость , если смотреть из S. Следовательно, все они подвержены одному и тому же лоренцеву сокращению , поэтому вся совокупность кажется одинаково сжатой в системе отсчета S. S-кадр относительно длины в начале. На первый взгляд может показаться, что при ускорении нить не порвется.

Однако этот аргумент неверен, как показали Деван и Беран, а затем Белл. Расстояние между космическими кораблями не подвергается лоренцевому сокращению по отношению к расстоянию в начале, потому что в S оно фактически остается неизменным из-за равного и одновременного ускорения обоих космических кораблей в S. Также оказывается, что длина покоя между ними увеличилась в кадрах, в которых они на мгновение покоятся (S'), потому что ускорения космических кораблей здесь не одновременны из-за относительности одновременности . С другой стороны, нить, будучи физическим объектом, удерживаемым электростатическими силами , сохраняет ту же длину покоя. Таким образом, в системе S она должна быть лоренц-сжатой, что можно получить и при рассмотрении электромагнитных полей движущихся тел. Итак, расчеты, произведенные в обоих кадрах, показывают, что нить оборвется; в S' из-за неодновременного ускорения и увеличения расстояния между космическими кораблями, а в S из-за сокращения длины нити.

В дальнейшем остальная длина или правильная длина объекта — это его длина, измеренная в системе координат покоя объекта. (Эта длина соответствует правильному расстоянию между двумя событиями в особом случае, когда эти события измеряются одновременно в конечных точках кадра покоя объекта. )

Деван и Беран

Деван и Беран сформулировали мысленный эксперимент, написав:

«Рассмотрим две ракеты одинаковой конструкции, покоящиеся в инерциальной системе S. Пусть они обращены в одну сторону и расположены одна за другой. Если предположить, что в заданное время обе ракеты одновременно (относительно S) запускаются, то их скорости относительно S всегда равны на протяжении оставшейся части эксперимента (хотя они являются функциями времени). Это означает, по определению, что относительно S расстояние между двумя ракетами не меняется, даже когда они ускоряются. к релятивистские скорости».

Затем эта установка повторяется еще раз, но на этот раз задняя часть первой ракеты соединяется с передней частью второй шелковой нитью. Они пришли к выводу:

«Согласно специальной теории, нить должна сжиматься относительно S, поскольку она имеет скорость относительно S. Однако, поскольку ракеты сохраняют постоянное расстояние друг от друга относительно S, нить (которая, как мы предполагали, натянута в точке S) начало) не может сжиматься: поэтому должно возникать напряжение до тех пор, пока при достаточно высоких скоростях нить, наконец, не достигнет предела упругости и не порвется».

Деван и Беран также обсудили результат с точки зрения инерциальных систем отсчета, мгновенно сопровождающих первую ракету, применив преобразование Лоренца :

"С $\scriptstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$, (..) каждый кадр, используемый здесь, имеет другую схему синхронизации из-за $vx/c^{2}$ фактор. Можно показать, что как $v$ увеличивается, передняя ракета не только будет казаться находящейся на большем расстоянии от задней относительно мгновенной инерциальной системы отсчета, но и стартовавшей в более раннее время».

Они пришли к выводу:

«Можно заключить, что всякий раз, когда тело вынуждено двигаться таким образом, что все его части имеют одинаковое ускорение по отношению к инерциальной системе отсчета (или, альтернативно, таким образом, что по отношению к инерциальной системе отсчета его размеры равны неподвижно и нет вращения), то такое тело должно, вообще говоря, испытывать релятивистские напряжения».

Затем они обсудили возражение, что не должно быть разницы между а) расстоянием между двумя концами соединенного стержня и б) расстоянием между двумя несвязанными объектами, которые движутся с одинаковой скоростью относительно инерциальной системы отсчета. Деван и Беран сняли эти возражения, заявив:

• Поскольку ракеты устроены одинаково и стартуют в один и тот же момент в S с одинаковым ускорением, они должны все время иметь одинаковую скорость в S. Таким образом, они преодолевают одинаковые расстояния в S, поэтому их взаимная расстояние не может измениться в этом кадре. В противном случае, если бы расстояние сократилось в S, это означало бы разные скорости ракет и в этой системе отсчета, что противоречит первоначальному предположению об одинаковой конструкции и ускорении.
• Они также утверждали, что действительно существует разница между а) и б): Случай а) представляет собой обычный случай сокращения длины, основанный на понятии длины покоя стержня l ₀ в S ₀ , которая всегда остается неизменной до тех пор, пока стержень можно рассматривать как жесткий. В этих условиях стержень сжимается в S. Но в случае б) расстояние нельзя рассматривать как жесткое, поскольку оно увеличивается из-за неравных ускорений в S ₀ , и ракетам пришлось бы обмениваться информацией друг с другом и корректировать свои скорости. чтобы это компенсировать – в случае а) всех этих сложностей не возникает.

Белл

Вертикальное расположение, предложенное Беллом.

В версии мысленного эксперимента Белла три космических корабля A, B и C первоначально покоятся в общей инерциальной системе отсчета , причем B и C находятся на равном расстоянии от A. Затем из A посылается сигнал, чтобы достичь B и C одновременно, вызывая B и C начинают ускоряться в вертикальном направлении (предварительно запрограммированные с одинаковыми профилями ускорения), в то время как A остается в состоянии покоя в исходной системе отсчета. По мнению Белла, это означает, что B и C (как видно из системы покоя A) «в каждый момент будут иметь одинаковую скорость и поэтому останутся смещенными друг от друга на фиксированное расстояние». Теперь, если между B и C завязана хрупкая нить, она уже не будет достаточно длинной из-за сокращения длины и поэтому порвется. Он пришел к выводу, что «искусственное предотвращение естественного сокращения вызывает невыносимый стресс».

Белл сообщил, что, когда он представил парадокс, он встретил большой скептицизм со стороны «выдающегося экспериментатора». неформальный и несистематический опрос мнений Чтобы попытаться разрешить спор, в ЦЕРНе был проведен . По словам Белла, существовал «четкий консенсус», который ошибочно утверждал, что веревка не порвется. Белл добавляет:

«Конечно, многие люди, которые сначала получают неправильный ответ, получают правильный ответ при дальнейшем размышлении. Обычно они чувствуют себя обязанными выяснить, как все выглядит для наблюдателей B или C. Они обнаруживают, что B, например, видит, что C дрейфует дальше, и дальше позади, так что данный кусок нити больше не может преодолевать расстояние. И только после этого и, возможно, только с остаточным чувством беспокойства, такие люди наконец принимают вывод, который совершенно тривиален с точки зрения А. учет вещей, в том числе Сокращение Фицджеральда».

Важность сокращения длины

В целом, Деван, Беран и Белл пришли к выводу, что релятивистские напряжения возникают, когда все части объекта ускоряются одинаково относительно инерциальной системы отсчета, и что сокращение длины имеет реальные физические последствия. Например, Белл утверждал, что сокращение длины объектов, а также отсутствие сокращения длины между объектами в системе отсчета S можно объяснить с помощью релятивистского электромагнетизма . Искаженные электромагнитные межмолекулярные поля заставляют движущиеся объекты сжиматься или подвергаться напряжению, если этому помешать. Напротив, на пространство между объектами такие силы не действуют. (Вообще, Ричард Фейнман продемонстрировал, как преобразование Лоренца может быть получено из случая потенциала заряда, движущегося с постоянной скоростью (представленного потенциалом Льенара – Вихерта ). Что касается исторического аспекта, Фейнман сослался на то обстоятельство, что Хендрик Лоренц пришел к преобразованию Лоренца по существу тем же путем: см. также Историю преобразований Лоренца .)

Однако Петков (2009) и Франклин (2009) интерпретируйте этот парадокс по-другому. Они согласились с тем, что струна порвется из-за неодинаковых ускорений в шпангоутах ракеты, из-за чего длина покоя между ними увеличится (см. диаграмму Минковского в разделе анализа ). Однако они отвергли идею о том, что эти напряжения вызваны сокращением длины в S. Это происходит потому, что, по их мнению, сокращение длины не имеет «физической реальности», а является всего лишь результатом преобразования Лоренца, т.е. поворота в четырех направлениях. многомерное пространство, которое само по себе никогда не может вызвать никакого напряжения. Таким образом, возникновение таких напряжений во всех системах отсчета, включая S, и разрыв струны предполагается следствием только релятивистского ускорения.

Обсуждения и публикации

Пол Навроцки (1962) приводит три аргумента, почему веревка не должна порваться: в то время как Эдмонд Деван (1963) показал в ответе, что его первоначальный анализ все еще остается в силе. Много лет спустя, после выхода книги Белла, Мацуда и Киносита сообщили, что подверглись серьезной критике после публикации статьи об их независимо заново открытой версии парадокса в японском журнале. Мацуда и Киносита не цитируют конкретные статьи, однако заявляют лишь, что эти возражения были написаны на японском языке.

Однако в большинстве публикаций признается, что струна порвется при некоторых переформулировках, модификациях и различных сценариях, например, Evett & Wangsness (1960), Холл (1963), Ромен (1963), Ате (1972), Герштейн и Логунов (1998), Тарталья и Руджеро (2003), Корнуэлл (2005), Флорес (2005), Семай (2006 г.), Стайер (2007), Друг (2008), Редзич (2008), Peregoudov (2009), Реджич (2009), К (2009), Петков (2009), Франклин (2009), Миллер (2010), Фернфлорес (2011), Касснер (2012), Натарио (2014), Льюис, Барнс и Стика (2018), Буш (2018). Аналогичная проблема обсуждалась и в отношении угловых ускорений : Грён (1979), МакГрегор (1981), Грин (1982, 2003).

Немедленное ускорение

Диаграмма Минковского : Длина $L'$ между кораблями в S' после ускорения больше предыдущей длины $L'_{old}$ в S' и длиннее неизмененной длины $L$ в S. Тонкие линии — это «линии одновременности».

Диаграмма Леделя того же сценария

Аналогично, в случае парадокса космического корабля Белла соотношение между начальной длиной покоя $L$ между кораблями (идентична длине движения в S после ускорения) и новой длиной покоя $L'$ в S' после ускорения составляет:

$L'=\gamma L$.

Это увеличение длины можно рассчитать по-разному. Например, если ускорение завершено, корабли будут постоянно оставаться в одном и том же месте в последнем кадре покоя S', поэтому необходимо только вычислить расстояние между координатами x, преобразованными из S в S'. Если $x_{A}$ и $x_{B}=x_{A}+L$ — это позиции кораблей в S, позиции в их новом кадре покоя S' таковы:

${\begin{aligned}x'_{A}&=\gamma \left(x_{A}-vt\right)\\x'_{B}&=\gamma \left(x_{A}+L-vt\right)\\L'&=x'_{B}-x'_{A}\\&=\gamma L\end{aligned}}$

Другой метод был показан Деваном (1963), который продемонстрировал важность относительности одновременности . Описана перспектива кадра S', в которой оба корабля будут находиться в состоянии покоя после завершения ускорения. Корабли одновременно ускоряются $t_{A}=t_{B}$ в S (предполагая ускорение за бесконечно малое время), хотя B ускоряется и останавливается в S ' раньше A из-за относительности одновременности с разницей во времени:

${\begin{aligned}\Delta t'&=t'_{B}-t'_{A}=\gamma \left(t_{B}-{\frac {vx_{B}}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(t_{A}-{\frac {vx_{A}}{c^{2}}}\right)\\&={\frac {\gamma vL}{c^{2}}}\end{aligned}}$

Поскольку до ускорения корабли движутся с одинаковой скоростью в S', начальная длина покоя $L$ в S сокращается в S' на $L'_{old}=L/\gamma$ из-за сокращения длины. В системе отсчета S' B начинает ускоряться раньше A и также прекращает ускоряться раньше A. Благодаря этому B всегда будет иметь более высокую скорость, чем A, до тех пор, пока A не закончит ускоряться, и оба они покоятся относительно С'. Расстояние между B и A продолжает увеличиваться, пока A не перестанет ускоряться. Хотя временная шкала ускорения А задерживается из-за смещения $\Delta t'$, и A, и B проходят одинаковое расстояние с соответствующими ускорениями. Но временная шкала B содержит ускорение, а также состояние покоя в S` в течение $\Delta t'$ пока А не перестанет ускоряться. Следовательно, дополнительное расстояние, пройденное B на протяжении всего маршрута, можно рассчитать путем измерения расстояния, пройденного B на этом этапе. Деван пришел к соотношению (в других обозначениях):

${\begin{aligned}L'&=L'_{old}+v\Delta t'={\frac {L}{\gamma }}+{\frac {\gamma v^{2}L}{c^{2}}}\\&=\gamma L\end{aligned}}$

Некоторые авторы также отметили, что постоянная длина в S и увеличенная длина в S 'согласуются с формулой сокращения длины. $L=L'/\gamma$, поскольку начальная длина покоя $L$ увеличивается на $\gamma$ в S', который сжимается в S в том же коэффициенте, поэтому он остается в S таким же:

$L_{contr.}=L'/\gamma =\gamma L/\gamma =L$

Подведение итогов: В то время как остальная дистанция между кораблями увеличивается до $\gamma L$ в S' принцип относительности требует, чтобы струна (физическое строение которой не изменилась) сохраняла свою длину покоя. $L$ в своей новой системе покоя S'. Следовательно, он ломается в S' из-за увеличения расстояния между кораблями. Как объяснялось выше , то же самое можно получить, рассматривая только начальный кадр S с использованием сокращения длины струны (или сжатия ее движущихся молекулярных полей), в то время как расстояние между кораблями остается неизменным из-за одинакового ускорения.

Постоянное правильное ускорение

Мировые линии (темно-синие кривые) двух наблюдателей A и B, которые ускоряются в одном направлении с одинаковым собственным ускорением постоянной величины (гиперболическое движение). В точках A' и B' наблюдатели перестают ускоряться.

Два наблюдателя в условиях жесткого ускорения Борна, имеющие одинаковый горизонт Риндлера . Они могут выбрать собственное время одного из них в качестве координатного времени системы Риндлера.

Два наблюдателя, имеющие одинаковое собственное ускорение (космические корабли Белла). Они не находятся в состоянии покоя в одной системе координат Риндлера и, следовательно, имеют разные горизонты Риндлера.

Основные статьи: гиперболическое движение (относительность) , координаты Риндлера и жесткость Борна.

Вместо мгновенных изменений направления специальная теория относительности также позволяет описать более реалистичный сценарий постоянного собственного ускорения , то есть ускорения, указываемого движущимся акселерометром. Это приводит к гиперболическому движению , при котором наблюдатель непрерывно меняет мгновенные инерциальные системы отсчета.

${\begin{aligned}x&={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right)\\c\tau &={\frac {c^{2}}{\alpha }}\operatorname {asinh} {\frac {\alpha t}{c}},\quad ct={\frac {c^{2}}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}}\end{aligned}}$

где $t$ – координатное время во внешней инерциальной системе отсчета, а $\tau$ собственное время в мгновенной системе отсчета, а мгновенная скорость определяется выражением

$v={\frac {\alpha t}{\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}}=c\tanh {\frac {\alpha \tau }{c}}$

Математическая трактовка этого парадокса аналогична трактовке твердого движения Борна. Однако вместо того, чтобы задаваться вопросом о разделении космических кораблей с одинаковым ускорением в инерциальной системе отсчета, задача о жестком движении Борна спрашивает: «Какой профиль ускорения требуется второму космическому кораблю, чтобы расстояние между космическими кораблями оставалось постоянным в их собственной системе отсчета?» ?" Чтобы два космических корабля, первоначально покоящиеся в инерциальной системе отсчета, сохраняли постоянное правильное расстояние, ведущий космический корабль должен иметь более низкое собственное ускорение.

Эту жесткую систему Борна можно описать с помощью координат Риндлера (координаты Коттлера-Мёллера).

${\begin{aligned}ct&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\sinh {\frac {\alpha t'}{c}},&y&=y',\\x&=\left(x'+{\frac {c^{2}}{\alpha }}\right)\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}-{\frac {c^{2}}{\alpha }},&z&=z'.\end{aligned}}\ (t'=\tau )$

Условие борновской жесткости требует, чтобы собственное ускорение космических кораблей отличалось на

$\alpha _{2}={\frac {\alpha _{1}}{1+{\frac {\alpha _{1}L'}{c^{2}}}}}$

и длина $L'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }$ измеренный в системе Риндлера (или мгновенной инерциальной системе отсчета) одним из наблюдателей, Лоренц сжимает до $L=x_{2}-x_{1}$ во внешней инерциальной системе отсчета

$L={\frac {L'}{\cosh {\frac {\alpha t'}{c}}}}=L'{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

что является тем же результатом, что и выше. Следовательно, в случае борновской жесткости постоянство длины L' в мгновенной системе отсчета означает, что L во внешней системе отсчета постоянно уменьшается, нить не рвется. Однако в случае парадокса космического корабля Белла условие борновской жесткости нарушается, поскольку из постоянства длины L во внешней системе отсчета следует, что L' в мгновенной системе отсчета увеличивается, нить рвется (кроме того, выражение для увеличения расстояния между двумя наблюдателями, имеющими одинаковое собственное ускорение, также становится более сложным в мгновенной системе отсчета. ).

См. также

• Гиперболическое движение (относительность)
• Физический парадокс
• Координаты Риндлера
• Парадокс Саппли
• Парадокс близнецов

Внешние ссылки

• Майкл Вайс; Дон Кокс (1995–2017): Парадокс космического корабля Белла , Часто задаваемые вопросы по теории относительности USENET
• Матье Руо (2022): Лифт Эйнштейна: мировые линии, эксперимент Майкельсона-Морли и релятивистский парадокс . Еще один релятивистский парадокс в ускоренной системе отсчета с тремя ракетами: частица материи, кажется, движется быстрее света.