Правильная длина

Правильная длина ^[1] или длина отдыха ^[2] длина объекта в кадре покоя объекта .

Измерение длин в теории относительности более сложное , чем в классической механике . В классической механике длины измеряются исходя из предположения, что положения всех задействованных точек измеряются одновременно. Но в теории относительности понятие одновременности зависит от наблюдателя.

Другой термин, собственное расстояние , обеспечивает инвариантную меру, значение которой одинаково для всех наблюдателей.

Правильное расстояние аналогично собственному времени . Разница в том, что правильное расстояние определяется между двумя пространственно-подобными событиями (или вдоль пространственно-подобного пути), а собственное время определяется между двумя времяподобными событиями, разделенными (или вдоль времениподобного пути).

Правильная длина или длина отдыха

Правильная длина ^[1] или длина отдыха ^[2] длины объекта — длина объекта, измеренная покоящимся относительно него наблюдателем путем приложения к объекту эталонных измерительных стержней. Измерение конечных точек объекта не обязательно должно быть одновременным, поскольку конечные точки постоянно находятся в одних и тех же положениях в системе покоя объекта, поэтому оно не зависит от Δ t . Таким образом, эта длина определяется выражением:

L_{0}=\Delta x.

Однако в относительно движущихся кадрах конечные точки объекта приходится измерять одновременно, поскольку они постоянно меняют свое положение. Результирующая длина короче остальной длины и определяется формулой сокращения длины (где γ является фактором Лоренца ):

L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.

Для сравнения, инвариантное правильное расстояние между двумя произвольными событиями, происходящими в конечных точках одного и того же объекта, определяется формулой:

\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.

Таким образом, Δ σ зависит от Δ t , тогда как (как объяснялось выше) длина покоя объекта L ₀ может быть измерена независимо от Δ t . Отсюда следует, что Δ σ и L ₀ , измеренные в конечных точках одного и того же объекта, согласуются друг с другом только тогда, когда события измерения были одновременными в системе покоя объекта, так что Δ t равно нулю. Как объяснил Файнгольд: ^[1]

п. 407: «Обратите внимание, что правильное расстояние между двумя событиями обычно не совпадает с правильной длиной объекта, конечные точки которого соответственно совпадают с этими событиями. Рассмотрим сплошной стержень постоянной собственной длины l ₀ . Если вы находитесь в оставшуюся часть стержня К ₀ , и вы хотите измерить его длину, вы можете сделать это, предварительно отметив его концы. И не обязательно отмечать их одновременно в К _0. Вы можете отметить один конец сейчас (в точке а. момент t ₁ ), а другой конец позже (в момент t ₂ ) в K ₀ , а затем спокойно измерить расстояние между метками. Мы можем даже рассматривать такое измерение как возможное оперативное определение собственной длины. В экспериментальной физике требование одновременного нанесения меток является излишним для неподвижного объекта постоянной формы и размера и в этом случае может быть исключено из такого определения. Поскольку стержень неподвижен в K ₀ , расстоянием между метками является расстояние. правильную длину стержня независимо от промежутка времени между двумя отметками. С другой стороны, это не тот надлежащее расстояние между событиями маркировки, если маркировки не производятся одновременно в K ₀ ».

Правильное расстояние между двумя событиями в плоском пространстве

В специальной теории относительности правильное расстояние между двумя пространственно-подобными событиями — это расстояние между двумя событиями, измеренное в инерциальной системе отсчета , в которой события происходят одновременно. ^[3]^[4] В таком конкретном кадре расстояние определяется выражением

$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},$

где

Δ x , Δ y и Δ z это разности линейных , ортогональных — пространственных координат двух событий.

Определение может быть дано эквивалентно по отношению к любой инерциальной системе отсчета (без требования одновременности событий в этой системе отсчета) следующим образом:

$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},$

где

Δ t — разница во временных координатах двух событий, а
с — скорость света .

Эти две формулы эквивалентны из-за инвариантности пространственно-временных интервалов и поскольку ∆t = 0 именно тогда, когда события одновременны в данном кадре.

Два события разделены пространственноподобно тогда и только тогда, когда приведенная выше формула дает действительное, ненулевое значение для Δ σ .

Правильное расстояние по пути

Приведенная выше формула для определения правильного расстояния между двумя событиями предполагает, что пространство-время, в котором происходят эти два события, плоское. Следовательно, приведенную выше формулу вообще нельзя использовать в общей теории относительности , в которой рассматриваются искривленные пространства-времени. Однако можно определить правильное расстояние по пути в любом пространстве-времени, искривленном или плоском. В плоском пространстве-времени правильное расстояние между двумя событиями — это правильное расстояние по прямой траектории между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени между двумя событиями может быть более одного прямого пути ( геодезического ), поэтому правильное расстояние по прямому пути между двумя событиями не будет однозначно определять правильное расстояние между двумя событиями.

Вдоль произвольного пространственноподобного пути P задается правильное расстояние в тензорном синтаксисе линейным интегралом

$L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},$

где

g _µν — метрический тензор для текущего отображения пространства-времени и координат , а
дх ^м — координатам между соседними событиями на пути P. расстояние по

В приведенном выше уравнении предполагается, что метрический тензор использует +−−− метрическая подпись и предполагается, что она нормализована и возвращает время вместо расстояния. Знак – в уравнении следует опустить при использовании метрического тензора, который вместо этого использует −+++ метрическая подпись. Кроме того, $c$ следует отбросить с помощью метрического тензора, нормализованного по расстоянию или использующего геометрические единицы .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Моисей Файнгольд (2009). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3527406074 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Перейти обратно: ^а ^б Франклин, Джерролд (2010). «Лоренцево сокращение, космические корабли Белла и движение твердого тела в специальной теории относительности». Европейский журнал физики . 31 (2): 291–298. arXiv : 0906.1919 . Бибкод : 2010EJPh...31..291F . дои : 10.1088/0143-0807/31/2/006 . S2CID 18059490 .
^ Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд М. (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская (иллюстрированное изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 191. ИСБН 978-1-107-03286-6 . Выдержка со страницы 191
^ Копейкин, Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. п. 136. ИСБН 978-3-527-63457-6 . Выдержка со страницы 136

[fayngold-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Моисей Файнгольд (2009). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3527406074 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[franklin-2] Перейти обратно: ^а ^б Франклин, Джерролд (2010). «Лоренцево сокращение, космические корабли Белла и движение твердого тела в специальной теории относительности». Европейский журнал физики . 31 (2): 291–298. arXiv : 0906.1919 . Бибкод : 2010EJPh...31..291F . дои : 10.1088/0143-0807/31/2/006 . S2CID 18059490 .

[3] Пуассон, Эрик; Уилл, Клиффорд М. (2014). Гравитация: ньютоновская, постньютоновская, релятивистская (иллюстрированное изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 191. ИСБН 978-1-107-03286-6 . Выдержка со страницы 191

[4] Копейкин, Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011). Релятивистская небесная механика Солнечной системы . Джон Уайли и сыновья. п. 136. ИСБН 978-3-527-63457-6 . Выдержка со страницы 136

[1]

[2]

[3]

[4]