Метрическая подпись

В математике сигнатура рассматриваемая ( v , p , r ) метрического тензора g (или, что то же самое, вещественная квадратичная форма, как вещественная симметричная билинейная форма в конечномерном векторном пространстве ) — это число (подсчитанное с кратностью) положительные, отрицательные и нулевые собственные значения вещественной симметричной матрицы g _ab метрического тензора относительно базиса . В релятивистской физике v традиционно представляет количество временных или виртуальных измерений, а p — количество пространственных или физических измерений. В качестве альтернативы его можно определить как размеры максимального положительного и нулевого подпространства . По закону инерции Сильвестра эти числа не зависят от выбора базиса и, следовательно, могут использоваться для классификации метрики. Подпись часто обозначается парой целых чисел ( v , p ), подразумевающих r = 0, или явным списком знаков собственных значений, таких как (+, −, −, −) или (−, +, +, +). для подписей (1, 3, 0) и (3, 1, 0) соответственно.

Сигнатура называется неопределенной или смешанной , если v и p не равны нулю, и вырожденной, если r не равно нулю. Риманова метрика — это метрика с положительно определенной сигнатурой ( v , 0) . Лоренцева метрика — это метрика с сигнатурой ( p , 1) или (1, p ) .

Существует другое понятие сигнатуры невырожденного метрического тензора, заданное одним числом s, определяемым как ( v − p ) , где v и p такие же, как указано выше, что эквивалентно приведенному выше определению, когда размерность n = v + p. задана или неявное. Например, s = 1 - 3 = -2 для (+, -, -, -) и его отражение s' = - s = +2 для (-, +, +, +) .

Определение

Сигнатура метрического тензора определяется как сигнатура соответствующей квадратичной формы . Это число ( v , p , r ) положительных, отрицательных и нулевых собственных значений любой матрицы (т. е. в любом базисе основного векторного пространства), представляющего форму, подсчитанное с учетом их алгебраических кратностей . Обычно требуется r = 0 , что означает, что метрический тензор должен быть невырожденным, т. е. ни один ненулевой вектор не ортогонален всем векторам.

По закону инерции Сильвестра числа ( v , p , r ) не зависят от базиса.

Свойства

Подпись и размер

По спектральной теореме симметричная матрица размера n × n над действительными числами всегда диагонализуема и, следовательно, имеет ровно n вещественных собственных значений (считающихся с алгебраической кратностью ). Таким образом, v + p = n = dim( V ) .

инерции Сильвестра: независимость выбора базиса и существование

Согласно закону инерции Сильвестра , сигнатура скалярного произведения (она же вещественная симметричная билинейная форма) g не зависит от выбора базиса. Более того, для каждой метрики g сигнатуры ( v , p , r ) существует базис такой, что g _ab = +1 для a = b = 1, ..., v , g _ab = −1 для a = b = v + 1, ..., v + p и g _ab = 0 в противном случае. Отсюда следует, что существует изометрия ( V ₁ , g ₁ ) → ( V ₂ , g ₂ ) тогда и только тогда, когда сигнатуры g ₁ и g ₂ равны. Аналогично, подпись равна для двух конгруэнтных матриц и классифицирует матрицу с точностью до конгруэнтности. Эквивалентно, сигнатура постоянна на орбитах полной линейной группы GL( V ) в пространстве симметричных контравариантных тензоров ранга 2 S ² V ^∗ и классифицирует каждую орбиту.

Геометрическая интерпретация индексов

Число v (соответственно p ) — это максимальная размерность векторного подпространства, на котором скалярное произведение g является положительно определенным (соответственно отрицательно определенным), а r — это размерность радикала скалярного произведения g или нулевого значения. подпространство симметричной матрицы g _ab скалярного произведения . Таким образом, невырожденное скалярное произведение имеет сигнатуру ( v , p , 0) с v + p = n . Двойственность особых случаев ( v , p , 0) соответствует двум скалярным собственным значениям, которые могут быть преобразованы друг в друга путем взаимного зеркального отражения.

Примеры

Матрицы

Подпись n × n единичной матрицы размера равна ( n , 0, 0) . Сигнатурой диагональной матрицы является количество положительных, отрицательных и нулевых чисел на ее главной диагонали .

Следующие матрицы имеют одинаковую подпись (1, 1, 0) , поэтому они конгруэнтны из-за закона инерции Сильвестра :

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Скалярные произведения

Стандартное скалярное произведение, определенное на $\mathbb {R} ^{n}$ имеет n -мерные сигнатуры ( v , p , r ) , где v + p = n и ранг r = 0 .

В физике пространство Минковского представляет собой многообразие пространства-времени. $\mathbb {R} ^{4}$ с v = 1 и p = 3 основаниями и имеет скалярное произведение, определяемое либо ${\check {g}}$ матрица:

${\check {g}}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

у которого есть подпись $(1,3,0)^{-}$ и известный как космическое превосходство или космическое; или зеркальная подпись $(1,3,0)^{+}$, известное как виртуальное превосходство или времяподобное с ${\hat {g}}$ матрица.

${\hat {g}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=-{\check {g}}$

Как вычислить подпись

Существует несколько методов вычисления подписи матрицы.

• Для любой невырожденной симметричной размера n × n матрицы диагонализуйте ее (или найдите все ее собственные значения ) и подсчитайте количество положительных и отрицательных знаков.
• Для симметричной матрицы характеристический многочлен будет иметь все действительные корни, знаки которых в некоторых случаях могут быть полностью определены правилом знаков Декарта .
• Алгоритм Лагранжа дает возможность вычислить ортогональный базис и, таким образом, вычислить диагональную матрицу, конгруэнтную (то есть с той же сигнатурой) другой: сигнатурой диагональной матрицы является количество положительных, отрицательных и нулевых элементов на ее диагонали. .
• Согласно критерию Якоби, симметричная матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все определители ее главных миноров положительны.

Сигнатура по физике

В математике обычным соглашением для любого риманова многообразия является использование положительно определенного метрического тензора (это означает, что после диагонализации все элементы на диагонали положительны).

В теоретической физике пространство -время моделируется псевдоримановым многообразием . Сигнатура подсчитывает, сколько времениподобных или пространственноподобных символов находится в пространстве-времени в смысле, определенном специальной теорией относительности : в физике элементарных частиц метрика имеет собственное значение в времениподобном подпространстве и свое зеркальное собственное значение в пространстве-времени. пространственноподобное подпространство.В частном случае Минковского метрики

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},$

метрическая подпись $(1,3,0)^{+}$ или (+, −, −, −), если его собственное значение определено во временном направлении, или $(1,3,0)^{-}$ или (-, +, +, +), если собственное значение определено в трех пространственных направлениях x , y и z . (Иногда используется противоположное соглашение о знаках , но с приведенным здесь s непосредственно измеряет собственное время .)

Изменение подписи

Если метрика везде регулярна, то сигнатура метрики постоянна. Однако если учесть метрики, вырожденные или разрывные на некоторых гиперповерхностях, то сигнатура метрики может измениться на этих поверхностях. Такие метрики изменения сигнатуры могут найти применение в космологии и квантовой гравитации .

См. также

• псевдориманово многообразие
• Соглашение о подписании