Ортогональный базис

В математике , особенно в линейной алгебре , ортогональный базис для пространства внутреннего продукта. $V$ является основой для $V$векторы которых взаимно ортогональны . Если векторы ортогонального базиса нормализованы , результирующий базис является ортонормированным базисом .

По координатам

Для определения системы ортогональных координат можно использовать любой ортогональный базис. $V.$ Ортогональные (не обязательно ортонормированные) базисы важны из-за их появления из криволинейных ортогональных координат в евклидовых пространствах , а также в римановых и псевдоримановых многообразиях.

В функциональном анализе

В функциональном анализе ортогональный базис — это любой базис, полученный из ортонормированного базиса (или базиса Гильберта) с помощью умножения на ненулевые скаляры .

Расширения

Симметричная билинейная форма

Концепция ортогонального базиса применима к векторному пространству. $V$ (над любым полем ), снабженный симметричной билинейной формой $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, где ортогональность двух векторов $v$ и $w$ означает $\langle v,w\rangle =0$. Для ортогонального базиса $\left\{e_{k}\right\}$:

$$\langle e_{j},e_{k}\rangle ={\begin{cases}q(e_{k})&j=k\\0&j\neq k,\end{cases}}$$

где $q$ представляет собой квадратичную форму , связанную с $\langle \cdot ,\cdot \rangle :$ $q(v)=\langle v,v\rangle$ (во внутреннем пространстве продукта, $q(v)=\Vert v\Vert ^{2}$).

Следовательно, для ортогонального базиса $\left\{e_{k}\right\}$,

$$\langle v,w\rangle =\sum _{k}q(e_{k})v^{k}w^{k},$$

где $v_{k}$ и $w_{k}$ являются компонентами $v$ и $w$ в основе.

Квадратичная форма

Понятие ортогональности можно распространить на векторное пространство над любым полем характеристики, отличной от 2, снабженной квадратичной формой. $q(v)$. Исходя из наблюдения, что, когда характеристика основного поля не равна 2, соответствующая симметричная билинейная форма $\langle v,w\rangle ={\tfrac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))$ позволяет векторам $v$ и $w$ быть определен как ортогональный относительно $q$ когда $q(v+w)-q(v)-q(w)=0$.

См. также

• Базис (линейная алгебра) - набор векторов, используемых для определения координат.
• Ортонормированный базис - Конкретный линейный базис (математика)
• Ортонормальная система координат – Евклидово пространство без расстояний и углов.
• Базис Шаудера – вычислительный инструмент
• Полный набор - подмножество топологического векторного пространства, линейный диапазон которого плотен. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 572–585, ISBN.  978-0-387-95385-4
• Милнор, Дж .; Хуземоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы . Результаты математики и ее пограничные области . Том 73. Шпрингер-Верлаг . п. 6. ISBN  3-540-06009-Х . Збл   0292.10016 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ортогональный базис» . Математический мир .