Рефлексивное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , рефлексивное пространство представляет собой локально выпуклое топологическое векторное пространство , для которого каноническая оценочная карта из $X$ в его бидуал (который является сильным двойником сильного двойника $X$) является гомеоморфизмом (или, что то же самое, TVS-изоморфизмом ). Нормированное пространство является рефлексивным тогда и только тогда, когда это каноническое отображение оценки сюръективно , и в этом случае это (всегда линейное) отображение оценки является изометрическим изоморфизмом , а нормированное пространство является банаховым пространством . Те пространства, для которых каноническое отображение оценки сюръективно, называются полурефлексивными пространствами.

В 1951 году Р. К. Джеймс открыл банахово пространство, теперь известное как пространство Джеймса , которое не является рефлексивным (это означает, что каноническое отображение оценки не является изоморфизмом), но тем не менее изометрически изоморфно своему бидуальному (любой такой изометрический изоморфизм обязательно не является каноническая оценочная карта). Очень важно то, что для того, чтобы банахово пространство было рефлексивным, недостаточно, чтобы оно было изометрически изоморфно своему бидуальному пространству; именно каноническое отображение оценки должно быть гомеоморфизмом.

Рефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых ТВС и в теории банаховых пространств в частности. Гильбертовы пространства являются яркими примерами рефлексивных банаховых пространств. Рефлексивные банаховые пространства часто характеризуются своими геометрическими свойствами.

Определение

Определение бидуального

Основная статья: Бидуальный

Предположим, что $X$ представляет собой топологическое векторное пространство (ТВП) над полем $\mathbb {F}$ (которые являются либо действительными, либо комплексными числами), чье непрерывное двойственное пространство , $X^{\prime },$ разделяет точки на $X$ (то есть для любого $x\in X,x\neq 0$ существует какой-то $x^{\prime }\in X^{\prime }$ такой, что $x^{\prime }(x)\neq 0$). Позволять $X_{b}^{\prime }$ (некоторые тексты пишут $X_{\beta }^{\prime }$) обозначают сильный двойственный элемент $X,$ что такое векторное пространство $X^{\prime }$ непрерывных линейных функционалов на $X$ наделенный топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $X$; эта топология также называется сильной дуальной топологией и является топологией «по умолчанию», размещенной в непрерывном дуальном пространстве (если не указана другая топология). Если $X$ является нормированным пространством, то сильный двойник $X$ это непрерывное двойственное пространство $X^{\prime }$ со своей обычной нормальной топологией. Бидуал ​ ​ $X,$ обозначается $X^{\prime \prime },$ является сильным двойником $X_{b}^{\prime }$; то есть это пространство $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$ Если $X$ является нормированным пространством, то $X^{\prime \prime }$ является непрерывным дуальным пространством банахова пространства $X_{b}^{\prime }$ со своей обычной нормальной топологией.

Определения оценочной карты и рефлексивных пространств

Для любого $x\in X,$ позволять $J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F}$ определяться $J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),$ где $J_{x}$ представляет собой линейную карту, называемую картой оценки в $x$; с $J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ обязательно непрерывен, отсюда следует, что $J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.$ С $X^{\prime }$ разделяет точки на $X,$ линейная карта $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ определяется $J(x):=J_{x}$ является инъективным, где это отображение называется оценочным или каноническим отображением . Вызов $X$ полурефлексивный, если $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }$ является биективным (или, что то же самое, сюръективным ), и мы называем $X$ рефлексивно, если вдобавок $J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ является изоморфизмом TVS. Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда оно полурефлексивно или, что то же самое, тогда и только тогда, когда отображение оценки сюръективно.

банаховы

Предполагать $X$ — нормированное векторное пространство над числовым полем $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ или $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ ( действительные числа или комплексные числа ), с нормой $\|\,\cdot \,\|.$ Рассмотрим его двойственное нормированное пространство $X^{\prime },$ состоящий из всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to \mathbb {F}$ и оснащен двойной нормой $\|\,\cdot \,\|^{\prime }$ определяется

$$\|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.$$

Двойной $X^{\prime }$ является нормированным пространством ( банаховым пространством ), а его двойственное нормированное пространство точнее, $X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }$ называется бидуальным пространством для $X.$ Бидуал состоит из всех непрерывных линейных функционалов $h:X^{\prime }\to \mathbb {F}$ и оснащен нормой $\|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }$ двойной к $\|\,\cdot \,\|^{\prime }.$ Каждый вектор $x\in X$ генерирует скалярную функцию $J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F}$ по формуле:

$$J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },$$

и $J(x)$ является непрерывным линейным функционалом на $X^{\prime },$ то есть, $J(x)\in X^{\prime \prime }.$ Таким образом получается карта

$$J:X\to X^{\prime \prime }$$

называется оценочной картой , которая является линейной. следует Из теоремы Хана–Банаха , что $J$ инъективен и сохраняет нормы:

$${\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,$$

то есть, $J$ карты $X$ изометрически на его изображение $J(X)$ в $X^{\prime \prime }.$ Более того, изображение $J(X)$ закрыт в $X^{\prime \prime },$ но оно не обязательно должно быть равно $X^{\prime \prime }.$

Нормированное пространство $X$ называется рефлексивным, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:

1. оценочная карта $J:X\to X^{\prime \prime }$ является сюръективным ,
2. оценочная карта $J:X\to X^{\prime \prime }$ является изометрическим изоморфизмом нормированных пространств,
3. оценочная карта $J:X\to X^{\prime \prime }$ является изоморфизмом нормированных пространств.

Рефлексивное пространство $X$ является банаховым пространством, поскольку $X$ тогда изометрично банаховому пространству $X^{\prime \prime }.$

Примечание

Банахово пространство $X$ рефлексивно, если оно линейно изометрично своему бидуалу при этом каноническом вложении $J.$ Пространство Джеймса является примером нерефлексивного пространства, линейно изометричного своему бидуальному пространству . Более того, образ пространства Джеймса при каноническом вложении $J$ имеет коразмерность один в своем бидуале. Банахово пространство $X$ называется квазирефлексивным (порядка $d$), если частное $X^{\prime \prime }/J(X)$ имеет конечную размерность $d.$

Примеры

1. Каждое конечномерное нормированное пространство рефлексивно просто потому, что в этом случае пространство, его двойственное и бидуальное пространство имеют одинаковую линейную размерность, следовательно, линейное вложение $J$ из определения является взаимно однозначным по теореме о ранге-нулевости .
2. Банахово пространство $c_{0}$ скалярных последовательностей, стремящихся к 0 на бесконечности, снабженных супремум-нормой, не является рефлексивным. Из приведенных ниже общих свойств следует, что $\ell ^{1}$ и $\ell ^{\infty }$ не являются рефлексивными, поскольку $\ell ^{1}$ изоморфен двойственному $c_{0}$ и $\ell ^{\infty }$ изоморфен двойственному $\ell ^{1}.$
3. Все гильбертовы пространства рефлексивны, как и пространства Lp. $L^{p}$ для $1<p<\infty .$ В более общем плане: все равномерно выпуклые банаховы пространства рефлексивны согласно теореме Милмана-Петтиса . $L^{1}(\mu )$ и $L^{\infty }(\mu )$ Пространства не рефлексивны (если только они не конечномерны, что происходит, например, когда $\mu$ является мерой на конечном множестве). Аналогично, банахово пространство $C([0,1])$ непрерывных функций на $[0,1]$ не является рефлексивным.
4. Пространства $S_{p}(H)$ операторов класса Шаттена в гильбертовом пространстве $H$ равномерно выпуклы и, следовательно, рефлексивны, когда $1<p<\infty .$ Когда размерность $H$ бесконечно, то $S_{1}(H)$ ( класс следа ) не рефлексивен, поскольку содержит подпространство, изоморфное $\ell ^{1},$ и $S_{\infty }(H)=L(H)$ (ограниченные линейные операторы на $H$) не рефлексивно, так как содержит подпространство, изоморфное $\ell ^{\infty }.$ В обоих случаях подпространство может быть выбрано в качестве диагонали операторов относительно заданного ортонормированного базиса $H.$

Свойства

Поскольку всякое конечномерное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством , нерефлексивными могут быть только бесконечномерные пространства.

Если банахово пространство $Y$ изоморфно рефлексивному банаховому пространству $X$ затем $Y$ является рефлексивным.

Каждое замкнутое линейное подпространство рефлексивного пространства рефлексивно. Непрерывное двойственное рефлексивному пространству рефлексивно. Всякий фактор рефлексивного пространства по замкнутому подпространству рефлексивен.

Позволять $X$ быть банаховым пространством. Следующие действия эквивалентны.

1. Пространство $X$ является рефлексивным.
2. Непрерывный двойник $X$ является рефлексивным.
3. Замкнутый единичный шар $X$ компактен . в топологии слабой (Это известно как теорема Какутани.)
4. Любая ограниченная последовательность в $X$ имеет слабо сходящуюся подпоследовательность.
5. Утверждение леммы Рисса справедливо, когда действительное число это точно $1.$ Явно, для любого замкнутого собственного векторного подпространства $Y$ из $X,$ существует некоторый вектор $u\in X$ единичной нормы $\|u\|=1$ такой, что $\|u-y\|\geq 1$ для всех $y\in Y.$
   • С использованием $d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|$ для обозначения расстояния между вектором $u$ и набор $Y,$ это можно переформулировать более простым языком так: $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда для любого замкнутого собственного векторного подпространства $Y,$ есть какой-то вектор $u$ на единичной сфере $X$ это всегда как минимум расстояние $1=d(u,Y)$ вдали от подпространства.
   • Например, если рефлексивное банахово пространство $X=\mathbb {R} ^{3}$ наделена обычной евклидовой нормой и $Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}$ это $x-y$ плоскость, затем точки $u=(0,0,\pm 1)$ удовлетворить заключение $d(u,Y)=1.$ Если $Y$ вместо этого $z$-ось, то каждая точка, принадлежащая единичному кругу в $x-y$ самолет удовлетворяет заключению.
6. Каждый непрерывный линейный функционал на $X$ достигает своей верхней точки на замкнутом единичном шаре в $X.$ ( теорема Джеймса )

Поскольку выпуклые подмножества , замкнутые по норме, в банаховом пространстве слабо замкнуты, из третьего свойства следует, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества рефлексивного пространства $X$ слабо компактны. Таким образом, для любой убывающей последовательности непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств $X,$ пересечение не пусто. Как следствие, каждая непрерывная выпуклая функция $f$ на замкнутом выпуклом подмножестве $C$ из $X,$ такой, что набор

$$C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}$$

непусто и ограничено для некоторого действительного числа $t,$ достигает минимального значения при $C.$

Обещанное геометрическое свойство рефлексивных банаховых пространств состоит в следующем: если $C$ — замкнутое непустое выпуклое подмножество рефлексивного пространства $X,$ тогда для каждого $x\in X$ существует $c\in C$ такой, что $\|x-c\|$ минимизирует расстояние между $x$ и точки $C.$ Это следует из предыдущего результата для выпуклых функций, примененного к $f(y)+\|y-x\|.$ Обратите внимание, что хотя минимальное расстояние между $x$ и $C$ однозначно определяется $x,$ суть $c$ нет. Самая близкая точка $c$ уникален, когда $X$ является равномерно выпуклым.

Рефлексивное банахово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда его непрерывное двойственное пространство сепарабельно. Это следует из того, что для любого нормированного пространства $Y,$ отделимость непрерывного двойственного $Y^{\prime }$ подразумевает разделимость $Y.$

Суперрефлексивное пространство

Неформально, суперрефлексивное банахово пространство. $X$ обладает следующим свойством: в произвольном банаховом пространстве $Y,$ если все конечномерные подпространства $Y$ где-то есть очень похожая копия $X,$ затем $Y$ должно быть рефлексивным. По этому определению пространство $X$ само по себе должно быть рефлексивным. В качестве элементарного примера каждое банахово пространство $Y$ двумерные подпространства которого изометричны подпространствам $X=\ell ^{2}$ удовлетворяет закону параллелограмма , следовательно $Y$ является гильбертовым пространством, поэтому $Y$ является рефлексивным. Так $\ell ^{2}$ является сверхрефлексивным.

В формальном определении используются не изометрии, а почти изометрии. Банахово пространство $Y$ представимо конечно в банаховом пространстве $X$ если для любого конечномерного подпространства $Y_{0}$ из $Y$ и каждый $\epsilon >0,$ есть подпространство $X_{0}$ из $X$ такие, что мультипликативное расстояние Банаха–Мазура между $X_{0}$ и $Y_{0}$ удовлетворяет

$$d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .$$

Банахово пространство, конечно представимое в $\ell ^{2}$ является гильбертовым пространством. Каждое банахово пространство конечно представимо в $c_{0}.$ Пространство Lp $L^{p}([0,1])$ конечно представимо в $\ell ^{p}.$

Банахово пространство $X$ является суперрефлексивным, если все банаховы пространства $Y$ конечно представимо в $X$ рефлексивны, или, другими словами, если нет нерефлексивного пространства $Y$ конечно представимо в $X.$ Понятие ультрапроизведения семейства банаховых пространств. позволяет дать краткое определение: банахово пространство. $X$ является сверхрефлексивным, когда его сверхспособности рефлексивны.

Джеймс доказал, что пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда его двойственное пространство суперрефлексивно.

Конечные деревья в банаховых пространствах

Одна из характеристик суперрефлексивности Джеймса использует рост отдельных деревьев. Описание векторного двоичного дерева начинается с корневого двоичного дерева, помеченного векторами: дерева высоты $n$ в банаховом пространстве $X$ это семья $2^{n+1}-1$ векторы $X,$ которые могут быть организованы в последовательные уровни, начиная с уровня 0, состоящего из одного вектора. $x_{\varnothing },$ корень затем дерева, а $k=1,\ldots ,n,$ семьей $s^{k}$2 вектора, образующие уровень $k:$

$$\left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,$$

которые являются детьми вершин уровня $k-1.$ Помимо древовидной структуры , здесь требуется, чтобы каждый вектор, являющийся внутренней вершиной дерева, был средней точкой между двумя его дочерними элементами:

$$x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.$$

Учитывая положительное действительное число $t,$ Говорят, что дерево $t$-разделены , если для каждой внутренней вершины два дочерних элемента $t$-разделены в заданной пространственной норме:

$$\left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.$$

Теорема. Банахово пространство $X$ является сверхрефлексивным тогда и только тогда, когда для любого $t\in (0,2\pi ],$ есть номер $n(t)$ такой, что каждый $t$-разделенное дерево, содержащееся в единичном шаре $X$ имеет высоту меньше $n(t).$

Равномерно выпуклые пространства сверхрефлексивны. Позволять $X$ быть равномерно выпуклым, с модулем выпуклости $\delta _{X}$ и пусть $t$ быть действительным числом в $(0,2].$ По свойствам модуля выпуклости a $t$-отдельное дерево высоты $n,$ содержащийся в единичном шаре, должен иметь все точки уровня $n-1$ содержится в шаре радиуса $1-\delta _{X}(t)<1.$ По индукции следует, что все точки уровня $n-k$ содержатся в шаре радиуса

$$\left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.$$

Если высота $n$ был настолько велик, что

$$\left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,$$

тогда две точки $x_{1},x_{-1}$ первого уровня не могло быть $t$-отделены, вопреки предположению. Это дает требуемую границу $n(t),$ функция $\delta _{X}(t)$ только.

Используя древовидную характеристику, Энфло доказал: что суперрефлексивные банаховы пространства допускают эквивалентную равномерно выпуклую норму. Деревья в банаховом пространстве — это особый случай мартингалов с векторным знаком . Добавляя методы скалярной теории мартингала, Пизье улучшил результат Энфло, показав что суперрефлексивное пространство $X$ допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет, для некоторой постоянной $c>0$ и какое-то действительное число $q\geq 2,$

$$\delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].$$

Рефлексивные локально выпуклые пространства

Понятие рефлексивного банахова пространства можно обобщить на топологические векторные пространства следующим образом.

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством над числовым полем $\mathbb {F}$ ( действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C}$). Рассмотрим его сильное двойное пространство $X_{b}^{\prime },$ который состоит из всех непрерывных линейных функционалов $f:X\to \mathbb {F}$ и оснащен сильной топологией $b\left(X^{\prime },X\right),$ то есть топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в $X.$ Пространство $X_{b}^{\prime }$ является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассматривать его сильное двойственное пространство $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },$ которое называется сильным бидуальным пространством для $X.$ Он состоит из всех непрерывных линейных функционалов $h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ и оснащен сильной топологией $b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).$ Каждый вектор $x\in X$ генерирует карту $J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F}$ по следующей формуле:

$$J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.$$

Это непрерывный линейный функционал на $X_{b}^{\prime },$ то есть,, $J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$ Это создает карту, называемую оценочной картой :

$$J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.$$

Эта карта линейна. Если $X$ локально выпукла, из теоремы Хана–Банаха следует, что $J$ инъективен и открыт (т.е. для каждой окрестности нуля $U$ в $X$ существует окрестность нуля $V$ в $\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ такой, что $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). Но оно может быть несюръективным и/или прерывистым.

Локально выпуклое пространство $X$ называется

• полурефлексивно, если оценочная карта $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ сюръективен (следовательно, биективен),
• рефлексивно, если оценочная карта $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ сюръективен и непрерывен (в этом случае $J$ является изоморфизмом топологических векторных пространств ).

Теорема — Локально выпуклое Хаусдорфово пространство. $X$ полурефлексивно тогда и только тогда, когда $X$ с $\sigma (X,X^{*})$-топология обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества $X$ слабо компактны).

Теорема — Локально выпуклое пространство $X$ рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно и бочкообразно .

Теорема — Сильный дуал полурефлексивного пространства бочкообразен.

Теорема - Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то каноническая инъекция из $X$ в свой бидуал является топологическим вложением тогда и только тогда, когда $X$ является инфраствольным .

Полурефлексивные пространства

Основная статья: Полурефлексивное пространство

Характеристики

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является полурефлексивным;
2. Слабая топология на $X$ имело свойство Гейне-Бореля (т.е. для слабой топологии $\sigma \left(X,X^{\prime }\right),$ каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X_{\sigma }$ слабо компактен).
3. Если линейная форма на $X^{\prime }$ это непрерывно, когда $X^{\prime }$ имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда $X^{\prime }$ имеет слабую топологию;
4. $X_{\tau }^{\prime }$ имеет ствол;
5. $X$ со слабой топологией $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ является квазиполным .

Характеристики

Если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является рефлексивным;
2. $X$ является полурефлексивным и инфраствольным ;
3. $X$ является полурефлексивным и бочкообразным ;
4. $X$ бочкообразный на и слабая топология $X$ имело свойство Гейне-Бореля (т.е. для слабой топологии $\sigma \left(X,X^{\prime }\right),$ каждое замкнутое и ограниченное подмножество $X_{\sigma }$ слабо компактен).
5. $X$ является полурефлексивным и квазиствольным .

Если $X$ является нормированным пространством, то следующие условия эквивалентны:

1. $X$ является рефлексивным;
2. Закрытый единичный шар компактен, если $X$ имеет слабую топологию $\sigma \left(X,X^{\prime }\right).$
3. $X$ является банаховым пространством и $X_{b}^{\prime }$ является рефлексивным.
4. Каждая последовательность $\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },$ с $C_{n+1}\subseteq C_{n}$ для всех $n$ непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств $X$ имеет непустое пересечение.

Теорема — Вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью .

Теорема Джеймса — банахово пространство. $B$ рефлексивно тогда и только тогда, когда каждый непрерывный линейный функционал на $B$ достигает своей верхней границы на замкнутом единичном шаре в $B.$

Достаточные условия

Нормированные пространства

Полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. Замкнутое векторное подпространство рефлексивного банахова пространства рефлексивно.

Позволять $X$ быть банаховым пространством и $M$ замкнутое векторное подпространство $X.$ Если двое из $X,M,$ и $X/M$ рефлексивны, то они все таковы. Вот почему рефлексивность называют свойством трехпространства .

Топологические векторные пространства

Если бочкообразное локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно, то оно рефлексивно.

Сильный двойник рефлексивного пространства рефлексивен. Каждое пространство Монтеля рефлексивно. А сильным двойником пространства Монтеля является пространство Монтеля (и, следовательно, оно рефлексивно).

Свойства

Локально выпуклое рефлексивное пространство Хаусдорфа имеет бочкообразную форму .Если $X$ это нормированное пространство, тогда $I:X\to X^{\prime \prime }$ является изометрией замкнутого подпространства $X^{\prime \prime }.$ Эту изометрию можно выразить следующим образом:

$$\|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.$$

Предположим, что $X$ является нормированным пространством и $X^{\prime \prime }$ оснащен ли его бидуал бидуальной нормой. Тогда единичный шар $X,$$I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})$ плотен в единичном шаре $\left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}$ из $X^{\prime \prime }$ для слабой топологии $\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).$

Примеры

1. Каждое конечномерное топологическое векторное пространство Хаусдорфа рефлексивно, поскольку $J$ является биективным с точки зрения линейной алгебры, а также потому, что существует уникальная топология векторного пространства Хаусдорфа в конечномерном векторном пространстве.
2. Нормированное пространство $X$ рефлексивно как нормированное пространство тогда и только тогда, когда оно рефлексивно как локально выпуклое пространство. Это следует из того, что для нормированного пространства $X$ его двойственное нормированное пространство $X^{\prime }$ совпадает как топологическое векторное пространство с сильным дуальным пространством $X_{b}^{\prime }.$ Как следствие, оценочная карта $J:X\to X^{\prime \prime }$ совпадает с оценочной картой $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },$ и следующие условия становятся эквивалентными:
   1. $X$ является рефлексивным нормированным пространством (т.е. $J:X\to X^{\prime \prime }$ является изоморфизмом нормированных пространств),
   2. $X$ — рефлексивное локально выпуклое пространство (т. е. $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ является изоморфизмом топологических векторных пространств ),
   3. $X$ — полурефлексивное локально выпуклое пространство (т. е. $J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }$ является сюръективным).
3. (Несколько искусственный) пример полурефлексивного пространства, которое не является рефлексивным, получается следующим образом: пусть $Y$ — бесконечномерное рефлексивное банахово пространство, и пусть $X$ быть топологическим векторным пространством $\left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),$ то есть векторное пространство $Y$ оснащен слабой топологией. Тогда непрерывный двойственный $X$ и $Y^{\prime }$ представляют собой один и тот же набор функционалов и ограниченные подмножества $X$ (т.е. слабо ограниченные подмножества $Y$) ограничены по норме, следовательно, банахово пространство $Y^{\prime }$ является сильным двойником $X.$ С $Y$ является рефлексивным, непрерывным двойственным $X^{\prime }=Y^{\prime }$ равно изображению $J(X)$ из $X$ при каноническом вложении $J,$ но топология на $X$ (слабая топология $Y$) не является сильной топологией $\beta \left(X,X^{\prime }\right),$ что соответствует нормальной топологии $Y.$
4. Пространства Монтеля — это рефлексивные локально выпуклые топологические векторные пространства. В частности, следующие функциональные пространства, часто используемые в функциональном анализе, являются рефлексивными локально-выпуклыми пространствами:
   • пространство $C^{\infty }(M)$ гладких функций на произвольном (вещественном) гладком многообразии $M,$ и его сильное двойное пространство $\left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)$ дистрибутивов с компактной поддержкой на $M,$
   • пространство ${\mathcal {D}}(M)$ гладких функций с компактным носителем на произвольном (вещественном) гладком многообразии $M,$ и его сильное двойное пространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(M)$ раздач на $M,$
   • пространство ${\mathcal {O}}(M)$ голоморфных функций на произвольном комплексном многообразии $M,$ и его сильное двойное пространство ${\mathcal {O}}^{\prime }(M)$ аналитических функционалов на $M,$
   • Шварца пространство ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ на $\mathbb {R} ^{n},$ и его сильное двойное пространство ${\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ умеренных распределений на $\mathbb {R} ^{n}.$

Контрпримеры

• Существует нерефлексивная локально выпуклая ТВС, сильный двойник которой рефлексивен.

Другие виды рефлексивности

Стереотипное пространство, или полярное рефлексивное пространство, определяется как топологическое векторное пространство (TVS), удовлетворяющее аналогичному условию рефлексивности, но с топологией равномерной сходимости на полностью ограниченных подмножествах (вместо ограниченных подмножеств) в определении двойственного пространства. $X^{\prime }.$ Точнее ТВС $X$ называется полярным рефлексивным или стереотип, если оценка отображается во втором двойном пространстве

$$J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }$$

является изоморфизмом топологических векторных пространств . Здесь стереотип двойного пространства $X^{\star }$ определяется как пространство непрерывных линейных функционалов $X^{\prime }$ наделенный топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в $X$ (и стереотип второго двойного пространства $X^{\star \star }$ это пространство, двойственное к $X^{\star }$ в том же смысле).

В отличие от классических рефлексивных пространств класс Ste стереотипных пространств очень широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и, следовательно, все банаховые пространства ), он образует замкнутую моноидальную категорию и допускает стандартные операции (определенные внутри Ste ) построения новых пространств, таких как взятие замкнутых подпространств, факторпространств, проективных и инъективных пределов, пространства операторов, тензорных произведений и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности для некоммутативных групп.

Аналогично можно заменить класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в $X$ в определении двойного пространства $X^{\prime },$ другими классами подмножеств, например классом компактных подмножеств в $X$ – пространства, определяемые соответствующим условием рефлексивности, называются рефлексивными , и они образуют еще более широкий класс, чем Ste , но неясно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, аналогичными свойствам Ste .

См. также

• Пространство Гротендика
  • Обобщением, обладающим некоторыми свойствами рефлексивных пространств и включающим многие пространства практического значения, является понятие пространства Гротендика .
• Рефлексивная операторная алгебра - операторная алгебра, имеющая достаточно инвариантных подпространств, чтобы ее охарактеризовать. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

Общие ссылки

• Бернардес, Нильсон К. младший (2012), О вложенных последовательностях выпуклых множеств в банаховых пространствах , том. 389, Журнал математического анализа и приложений, стр. 558–561 .
• Конвей, Джон Б. (1985). Курс функционального анализа . Спрингер.
• Дистель, Джо (1984). Последовательности и ряды в банаховых пространствах . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90859-5 . OCLC   9556781 .
• Эдвардс, RE (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN  0030505356 .
• Джеймс, Роберт К. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. математики. Исследования, том. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Пресс, стр. 159–175 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Колмогоров А.Н.; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахового пространства , Тексты для аспирантов по математике, том. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN.  0-387-98431-3
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Гельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства . Нью-Йорк: Компания Macmillan.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .