Выпуклая серия

В математике, особенно в функциональном анализе и выпуклом анализе , выпуклый ряд – это ряд вида $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ где $x_{1},x_{2},\ldots$ все элементы топологического векторного пространства $X$, и все $r_{1},r_{2},\ldots$ являются неотрицательными действительными числами , сумма которых равна $1$ (то есть такой, что $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1$).

Виды серии Convex

Предположим, что $S$ является подмножеством $X$ и $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ является выпуклым рядом $X.$

• Если все $x_{1},x_{2},\ldots$ принадлежать $S$ тогда выпуклый ряд $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ называется выпуклый ряд с элементами $S$.
• Если набор $\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}$ является ограниченным (по фон Нейману) множеством , то ряд, называемый б-выпуклый ряд .
• Выпуклая серия $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ Говорят, что это сходящийся ряд, если последовательность частичных сумм $\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ сходится в $X$ к какому-то элементу $X,$ который называется сумма выпуклого ряда .
• Выпуклый ряд называется Коши, если $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ является рядом Коши , что по определению означает, что последовательность частичных сумм $\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ является последовательностью Коши .

Типы подмножеств

Выпуклые серии позволяют определять специальные типы подмножеств, которые хорошо себя ведут и полезны с очень хорошими свойствами стабильности.

Если $S$ является подмножеством топологического векторного пространства $X$ затем $S$ говорят, что это:

• cs-замкнутое множество , если любой сходящийся выпуклый ряд с элементами $S$ имеет свою (каждую) сумму в $S.$
  • В этом определении $X$ не обязательно должно быть Хаусдорфом, и в этом случае сумма может быть не уникальной. В любом таком случае мы требуем, чтобы каждая сумма принадлежала $S.$
• нижний CS-замкнутый набор или lcs-замкнутое множество, если существует пространство Фреше $Y$ такой, что $S$ равно проекции на $X$ (через каноническую проекцию) некоторого cs-замкнутого подмножества $B$ из $X\times Y$ Каждое cs-замкнутое множество является снизу cs-замкнутым, а каждое нижнее cs-замкнутое множество снизу идеально выпуклым и выпуклым (обратное, вообще говоря, неверно).
• идеально выпуклое множество , если любой сходящийся b-ряд с элементами $S$ имеет свою сумму в $S.$
• нижнее идеально выпуклое множество или li-выпуклое множество, если существует пространство Фреше $Y$ такой, что $S$ равно проекции на $X$ (через каноническую проекцию) некоторого идеально выпуклого подмножества $B$ из $X\times Y.$ Всякое идеально выпуклое множество является идеально выпуклым снизу. Любое нижнее идеально выпуклое множество является выпуклым, но обратное, вообще говоря, неверно.
• cs-полное множество , если любой выпуклый ряд Коши с элементами $S$ сходится, и его сумма находится в $S.$
• bcs-полное множество , если любой b-выпуклый ряд Коши с элементами $S$ сходится, и его сумма находится в $S.$

является Пустое множество выпуклым, идеально выпуклым, bcs-полным, cs-полным и cs-замкнутым.

Условия (Hx) и (Hwx)

Если $X$ и $Y$ являются топологическими векторными пространствами, $A$ является подмножеством $X\times Y,$ и $x\in X$ затем $A$ Говорят, что он удовлетворяет:

• Условие (H x ) : Всякий раз, когда $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})$ представляет собой выпуклый ряд с элементами $A$ такой, что $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}$ сходится в $Y$ с суммой $y$ и $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ есть Коши, тогда $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ сходится в $X$ и его сумма $x$ таков, что $(x,y)\in A.$
• Условие (Hw x ) : Всякий раз, когда $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}(x_{i},y_{i})$ представляет собой b-выпуклый ряд с элементами $A$ такой, что $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}y_{i}$ сходится в $Y$ с суммой $y$ и $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ есть Коши, тогда $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ сходится в $X$ и его сумма $x$ таков, что $(x,y)\in A.$
  • Если X локально выпукло, то утверждение «и $\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}$ является Коши» может быть исключено из определения условия (Hw x ).

Многофункциональность

Используются следующие обозначения и понятия, где ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ и ${\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z$ являются многофункциональными и $S\subseteq X$ является непустым подмножеством топологического векторного пространства. $X:$

• The график мультифункции ${\mathcal {R}}$ это набор $\operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$
• ${\mathcal {R}}$ является закрыто (соответственно, cs-закрыто , нижний cs-закрыт , выпуклый , идеально выпуклая , нижняя идеально выпуклая , cs-полный , bcs-complete ), если то же самое верно и для графа ${\mathcal {R}}$ в $X\times Y.$
  • Многофункциональность ${\mathcal {R}}$ выпукло тогда и только тогда, когда для всех $x_{0},x_{1}\in X$ и все $r\in [0,1],$ $r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).$
• The инверсия многофункционального ${\mathcal {R}}$ это многофункциональность ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ определяется ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.$ Для любого подмножества $B\subseteq Y,$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$
• The область многофункциональности ${\mathcal {R}}$ является $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.$
• The изображение многофункционального устройства ${\mathcal {R}}$ является $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ Для любого подмножества $A\subseteq X,$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$
• The композиция ${\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z$ определяется $\left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)$ для каждого $x\in X.$

Отношения

Позволять $X,Y,{\text{ and }}Z$ быть топологическими векторными пространствами, $S\subseteq X,T\subseteq Y,$ и $A\subseteq X\times Y.$ Имеют место следующие последствия:

полный $\implies$ cs-полный $\implies$ cs-закрытый $\implies$ нижняя cs-замкнутая (lcs-замкнутая) и идеально выпуклая.

нижний cs-закрытый (lcs-закрытый) или идеально выпуклый $\implies$ нижний идеально выпуклый (li-выпуклый) $\implies$ выпуклый.

(В х ) $\implies$ (Хв х ) $\implies$ выпуклый.

Обратные импликации, вообще говоря, не справедливы.

Если $X$ тогда завершено,

1. $S$ является cs-полным (соответственно bcs-полным) тогда и только тогда, когда $S$ является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым).
2. $A$ удовлетворяет (H x ) тогда и только тогда, когда $A$ является cs-закрытым.
3. $A$ удовлетворяет (Hw x ) тогда и только тогда, когда $A$ идеально выпуклая.

Если $Y$ тогда завершено,

1. $A$ удовлетворяет (H x ) тогда и только тогда, когда $A$ является cs-полным.
2. $A$ удовлетворяет (Hw x ) тогда и только тогда, когда $A$ является bcs-полным.
3. Если $B\subseteq X\times Y\times Z$ и $y\in Y$ затем:
   1. $B$ удовлетворяет (H (x, y) ) тогда и только тогда, когда $B$ удовлетворяет (H x ).
   2. $B$ удовлетворяет (Hw (x, y) ) тогда и только тогда, когда $B$ удовлетворяет (Hw x ).

Если $X$ является локально выпуклым и $\operatorname {Pr} _{X}(A)$ ограничен тогда,

1. Если $A$ удовлетворяет (H x ), тогда $\operatorname {Pr} _{X}(A)$ является cs-закрытым.
2. Если $A$ удовлетворяет (Hw x ), тогда $\operatorname {Pr} _{X}(A)$ идеально выпуклая.

Сохраненные свойства

Позволять $X_{0}$ быть линейным подпространством $X.$ Позволять ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ и ${\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z$ быть многофункциональным .

• Если $S$ является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством $X$ затем $X_{0}\cap S$ также является cs-замкнутым (соответственно идеально выпуклым) подмножеством $X_{0}.$
• Если $X$ сначала счетно, тогда $X_{0}$ является cs-замкнутым (соответственно cs-полным) тогда и только тогда, когда $X_{0}$ закрыто (соответственно завершено); более того, если $X$ локально выпукло, то $X_{0}$ закрыто тогда и только тогда, когда $X_{0}$ идеально выпуклая.
• $S\times T$ является cs-замкнутым (соответственно cs-полным, идеально выпуклым, bcs-полным) в $X\times Y$ тогда и только тогда, когда одно и то же верно для обоих $S$ в $X$ и из $T$ в $Y.$
• Все свойства cs-замкнутости, cs-замкнутости снизу, идеально выпуклости, идеально выпуклости снизу, cs-полноты и bcs-полноты сохраняются при изоморфизмах топологических векторных пространств.
• Пересечение произвольного числа cs-замкнутых (соответственно идеально выпуклых) подмножеств $X$ имеет то же свойство.
• Декартово произведение cs-замкнутых (соответственно идеально выпуклых) подмножеств произвольного числа топологических векторных пространств обладает тем же свойством (в пространстве произведения, наделенном топологией произведения ).
• Пересечение счетного числа нижних идеально выпуклых (соответственно нижних cs-замкнутых) подмножеств $X$ имеет то же свойство.
• Декартово произведение нижних идеально выпуклых (соответственно нижних cs-замкнутых) подмножеств счетного числа топологических векторных пространств обладает тем же свойством (в пространстве произведений, наделенном топологией произведения ).
• Предполагать $X$ является пространством Фреше , а $A$ и $B$ являются подмножествами. Если $A$ и $B$ нижние идеально выпуклые (соответственно нижние cs-замкнутые), то $A+B.$
• Предполагать $X$ является пространством Фреше и $A$ является подмножеством $X.$ Если $A$ и ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ нижние идеально выпуклые (соответственно нижние cs-замкнутые), то ${\mathcal {R}}(A).$
• Предполагать $Y$ является пространством Фреше и ${\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y$ является многофункциональным. Если ${\mathcal {R}},{\mathcal {R}}_{2},{\mathcal {S}}$ все нижние идеально выпуклые (соответственно нижние cs-замкнутые), то такие же ${\mathcal {R}}+{\mathcal {R}}_{2}:X\rightrightarrows Y$ и ${\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z.$

Свойства

Если $S$ быть непустым выпуклым подмножеством топологического векторного пространства. $X$ затем,

1. Если $S$ закрыт или открыт тогда $S$ является cs-закрытым.
2. Если $X$ хаусдорфов то и конечномерен, $S$ является cs-закрытым.
3. Если $X$ является первым счетным и $S$ идеально выпукло, то $\operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).$

Позволять $X$ быть пространством Фреше , $Y$ быть топологическим векторным пространством, $A\subseteq X\times Y,$ и $\operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y$ быть канонической проекцией. Если $A$ снизу идеально выпуклая (соответственно нижняя cs-замкнутая), то то же самое верно и для $\operatorname {Pr} _{Y}(A).$

Если $X$ является бочоночным первым счетным пространством, и если $C\subseteq X$ затем:

1. Если $C$ является нижней идеально выпуклой, тогда $C^{i}=\operatorname {int} C,$ где $C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C$ обозначает алгебраическую внутренность $C$ в $X.$
2. Если $C$ идеально выпукло, то $C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.$

См. также

• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности

Ссылки

• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .
• Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. дои : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN   0002-9939 .