Регулируемый интеграл

В математике регулируемый интеграл представляет собой определение интегрирования для регулируемых функций , которые определяются как равномерные пределы ступенчатых функций . Использование регулируемого интеграла вместо интеграла Римана защищали Николя Бурбаки и Жан Дьедонне .

Определение

Определение ступенчатых функций

Пусть [ a , b фиксированный замкнутый ограниченный ] — интервал на прямой R. вещественной Действительная функция φ : [ a , b ] → R называется ступенчатой ​​функцией , если существует конечное разбиение

$\Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}$

из [ a , b ] такая, что φ постоянна на каждом открытом интервале ( t _i , t _{i +1} ) из Π; предположим, что это постоянное значение равно c _i ∈ R . Затем определите интеграл от ступенчатой ​​функции φ как

$\int _{a}^{b}\varphi (t)\,\mathrm {d} t:=\sum _{i=0}^{k-1}c_{i}|t_{i+1}-t_{i}|.$

Можно показать, что это определение не зависит от выбора разбиения, поскольку если Π ₁ является другим разбиением [ a , b ] таким, что φ постоянна на открытых интервалах Π ₁ , то числовое значение интеграла от φ такая же, _{для Π 1} как и для Π.

Расширение регулируемых функций

Функция f : [ a , b ] → R называется регулируемой функцией , если она является равномерным пределом последовательности ступенчатых функций на [ a , b ]:

• существует последовательность ступенчатых функций ( φ _n ) _{n ∈ N} такая, что || φ _п - ж || _∞ → 0 при n → ∞; или, что то же самое,
• для всех ε > 0 существует ступенчатая функция φ _ε такая, что || φ _ε - ж || _∞ < ε ; или, что то же самое,
• f лежит в замыкании пространства ступенчатых функций, причем замыкание осуществляется в пространстве всех ограниченных функций [ a , b ] → R и по норме супремума || ⋅ || _∞ ; или эквивалентно,
• для каждого t ∈ [ a , b ) правый предел

  $f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f(s)$

  существует, и для каждого t ∈ ( a , b ] левосторонний предел

  $f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f(s)$

  существует также.

Определим интеграл регулируемой функции f как

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}\varphi _{n}(t)\,\mathrm {d} t,$

где ( φ _n ) _{n ∈ N} — любая последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящаяся к f .

Необходимо проверить, что этот предел существует и не зависит от выбранной последовательности, но этоявляется непосредственным следствием теоремы о непрерывном линейном продолжении элементарногофункциональный анализ: ограниченный линейный оператор T _0, определенный на плотном линейном подпространстве E ₀ нормированного линейного пространства E и принимающий значения в банаховом пространстве F, однозначно продолжается до ограниченного линейного оператора T : E → F с тем же (конечным) оператором норма .

Свойства регламентированного интеграла

• Интеграл является линейным оператором : для любых регулируемых функций f и g и констант α и β ,

  $\int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\,\mathrm {d} t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,\mathrm {d} t.$

• Интеграл также является ограниченным оператором : каждая регулируемая функция f ограничена, и если m ⩽ f ( t ) ⩽ M для всех t ∈ [ a , b ], то

  $m|b-a|\leq \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\leq M|b-a|.$

  В частности:

  $\left|\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,\mathrm {d} t.$

• Поскольку ступенчатые функции интегрируемы, а интегрируемость и значение интеграла Римана совместимы с равномерными пределами, регламентированный интеграл является частным случаем интеграла Римана.

Расширение функций, определенных на всей реальной строке

Определения ступенчатой ​​функции и регулируемой функции, а также связанных с ними интегралов можно расширить до функций, определенных на всей действительной линии . Однако необходимо уделить внимание некоторым техническим моментам:

• разбиение, на открытых интервалах которого ступенчатая функция должна быть постоянной, может быть счетным множеством, но должно быть дискретным множеством , т.е. не иметь предельных точек ;
• требование равномерной сходимости должно быть ослаблено до требования равномерной сходимости на компактах , т. е. на замкнутых и ограниченных интервалах;
• не каждая ограниченная функция интегрируема (например, функция с постоянным значением 1). Это приводит к понятию локальной интегрируемости .

Расширение векторных функций

Приведенные выше определения действуют с соответствующими изменениями в случае функций, принимающих значения в пространстве X. банаховом

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Римана

Ссылки

• Берберян, СК (1979). «Регулируемые функции: альтернатива Бурбаки интегралу Римана». Американский математический ежемесячник . 86 (3). Математическая ассоциация Америки: 208. doi : 10.2307/2321526 . JSTOR   2321526 .
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Аспирантура по математике , 4. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3805-9 .