Блендеры для цельнозерновой муки

В математике названный интегралы Фруллани представляют собой особый тип несобственного интеграла, в честь итальянского математика Джулиано Фруллани . Интегралы имеют вид

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x$

где $f$ — это функция, определенная для всех неотрицательных действительных чисел , имеющая предел при $\infty$, который мы обозначим через $f(\infty )$.

Следующая формула для их общего решения справедлива, если $f$ постоянно включен $(0,\infty )$, имеет конечный предел при $\infty$, и $a,b>0$:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\frac {a}{b}}.$

Доказательство непрерывно дифференцируемых функций

Простое доказательство формулы (при более сильных предположениях, чем изложенные выше, а именно $f\in {\mathcal {C}}^{1}(0,\infty )$) можно получить, используя Фундаментальную теорему исчисления для выражения подынтегральной функции как интеграла от $f'(xt)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {f(xt)}{x}}\right)$:

${\begin{aligned}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}&=\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,\\&=\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\\\end{aligned}}$

а затем используйте теорему Тонелли, чтобы поменять местами два интеграла:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x\to \infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, что интеграл во второй строке выше взят за интервал $[b,a]$, нет $[a,b]$.

Приложения

Формулу можно использовать для получения интегрального представления натурального логарифма. $\ln(x)$ позволяя $f(x)=e^{-x}$ и $a=1$:

${\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{n}}}-e^{0}{\Big )}\ln {\Big (}{\frac {1}{b}}}{\Big )}=\ln(b)$

Формулу также можно обобщить несколькими различными способами.

Ссылки

• Г. Борос, Виктор Гюго Молл , Непреодолимые интегралы (2004), стр. 98.
• Джон Ариас-де-Рейна, О теореме Фруллани (PDF; 884 КБ), Proc. АМС 109 (1990), 165–175.
• ProofWiki, Фруллани доказательство интеграла