Списки интегралов

Интегрирование является основной операцией интегрального исчисления . В то время как дифференцирование имеет простые правила , с помощью которых производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых составляющих функций, у интегрирования нет таких правил, поэтому часто бывают полезны таблицы известных интегралов. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространенных первообразных .

интегралов развитие Историческое

Компиляция списка интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления была опубликована немецким математиком Мейером Хиршем [ де ] (также пишется Мейер Хирш) в 1810 году. ^[1] Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Дэвидом Биренсом де Хааном для его «Таблиц определенных интегралов» , дополненных Дополнением к таблицам определенных интегралов ок. 1864. В 1867 году вышло новое издание под названием « Новые таблицы определенных интегралов» .

Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика . У Градштейна и Рыжика интегралы, взятые из книги Биренса де Хаана, обозначаются через BI.

Не все выражения закрытой формы имеют первообразные в закрытой форме; Это исследование составляет предмет дифференциальной теории Галуа , которая была первоначально разработана Жозефом Лиувиллем в 1830-х и 1840-х годах, что привело к теореме Лиувилля , которая классифицирует выражения, имеющие первообразные в замкнутой форме. Простой пример функции без первообразной в замкнутой форме: $e - х 2$ , первообразная которой является (с точностью до констант) функцией ошибок .

С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределенных интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции , обычно с использованием системы компьютерной алгебры . Интегралами, которые не могут быть выражены с помощью элементарных функций, можно символически манипулировать с помощью общих функций, таких как G-функция Мейера .

Списки интегралов [ править ]

можно найти на следующих страницах Более подробную информацию о списках интегралов :

Градштейна , Рыжика , Геронимуса , Цейтлина , Джеффри, Цвиллингера и Молла (GR) Таблица интегралов, рядов и произведений содержит большую коллекцию результатов. Еще более крупная многотомная таблица — « Интегралы и ряды» , Прудникова Брычкова и Маричева ( в томах 1–3 перечислены интегралы и ряды элементарных и специальных функций , тома 4–5 — таблицы преобразований Лапласа ). Брычкова, Маричева, Прудникова Более компактные коллекции можно найти, например, в «Таблицах неопределенных интегралов» Цвиллингера или в виде глав в «Стандартных математических таблицах и формулах CRC» или Бронштейна и Семендяева , в «Путеводителе по математике» « Справочнике по математике» или «Руководстве пользователя по математике» . и другие математические справочники.

Другие полезные ресурсы включают Абрамовица и Стегуна, а также Проект рукописей Бейтмана . Обе работы содержат множество тождеств, касающихся конкретных интегралов, которые сгруппированы по наиболее актуальной теме, а не собраны в отдельную таблицу. Два тома «Рукописи Бейтмана» посвящены интегральным преобразованиям.

Существует несколько веб-сайтов, на которых есть таблицы интегралов и интегралов по запросу. Wolfram Alpha может показывать результаты, а для некоторых более простых выражений — и промежуточные этапы интегрирования. Wolfram Research также управляет еще одним онлайн-сервисом — Mathematica Online Integrator.

Интегралы от простых функций [ править ]

C используется для произвольной константы интегрирования , которую можно определить только в том случае, если известно что-то о значении интеграла в какой-то момент. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразных .

Эти формулы лишь выражают в иной форме утверждения таблицы производных .

Интегралы с особенностью [ править ]

есть особенность Когда в интегрируемой функции , из-за которой первообразная становится неопределенной или в какой-то момент (особенность), тогда C не обязательно должен быть одинаковым по обе стороны от особенности. Приведенные ниже формы обычно предполагают главное значение Коши вокруг сингулярности значения C, но, как правило, в этом нет необходимости. Например в

\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C

в точке 0 имеется особенность, и там первообразная обращается в бесконечность. Если бы приведенный выше интеграл использовался для вычисления определенного интеграла между -1 и 1, можно было бы получить неправильный ответ 0. Однако это главное значение Коши интеграла вокруг особенности. Если интегрирование выполняется в комплексной плоскости, результат зависит от пути вокруг начала координат, в этом случае сингулярность вносит свой вклад - i

π

при использовании пути выше начала координат и i

π

для пути ниже начала координат. Функция на реальной линии может использовать совершенно другое значение C по обе стороны от начала координат, например: ^[2]

\int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}

Рациональные функции [ править ]

$\int a\,dx=ax+C$

Следующая функция имеет неинтегрируемую особенность в точке 0 при $n \leq -1$ :

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$ ( квадратурная формула Кавальери )
$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}$
$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$ $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
- В более общем смысле, ^[3] $\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$
$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Экспоненциальные функции [ править ]

$\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C$
$\int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C$
(если $n$ является положительным целым числом)
$\int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C$
(если $n$ является положительным целым числом)

Логарифмы [ править ]

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C$

Тригонометрические функции [ править ]

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
$\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$
$\int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$ $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\ dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C$
- (См. Интеграл от секанса . Этот результат был хорошо известной гипотезой 17 века.)
$\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C$
$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
$\int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C$
$\int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C$
$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$ $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$
- (См. интеграл секущего в кубе .)
$\int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C$
$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Обратные тригонометрические функции [ править ]

$\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1$
$\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$
$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1$

Гиперболические функции [ править ]

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
$\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
$\int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C$
$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
$\int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C$
$\int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C$
$\int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C$
$\int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C$

Обратные гиперболические функции [ править ]

$\int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
$\int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
$\int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
$\int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
$\int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
$\int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

Произведения функций, пропорциональных вторым их производным

$\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
$\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
$\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
$\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$

Функции абсолютного значения [ править ]

Пусть $f$ — непрерывная функция , имеющая не более одного нуля . Если $f$ имеет ноль, пусть $g$ будет единственной первообразной $f$ , которая равна нулю в корне $f$ ; в противном случае пусть $g$ будет любой первообразной $f$ . Затем

\int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,

где

sn(x)

— знаковая функция , которая принимает значения −1, 0, 1, когда

x

соответственно отрицательный, нулевой или положительный.

Это можно доказать, вычислив производную правой части формулы, принимая во внимание, что условие на $g$ здесь предназначено для обеспечения непрерывности интеграла.

Это дает следующие формулы (где $a \neq 0$ ), которые действительны на любом интервале, где $f$ является непрерывным (на больших интервалах константа $C$ должна быть заменена кусочно-постоянной функцией):

$\int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C$
когда $n$ нечетно, и $n\neq -1$ .
$\int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C$
когда ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ для некоторого целого числа $n$ .
$\int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C$
когда $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ для некоторого целого числа $n$ .
$\int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C$
когда ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ для некоторого целого числа $n$ .
$\int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C$
когда $ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)$ для некоторого целого числа $n$ .

Если функция $f$ не имеет какой-либо непрерывной первообразной, принимающей нулевое значение в нулях $f$ (это относится к функциям синуса и косинуса), то $sn(f (x)) \int f (x) dx$ является первообразная $f$ на каждом интервале , на котором $f$ не равен нулю, но может быть разрывной в точках, где $f (x) = 0$ . Таким образом, чтобы иметь непрерывную первообразную, необходимо добавить правильно выбранную ступенчатую функцию . Если мы также воспользуемся тем фактом, что абсолютные значения синуса и косинуса являются периодическими с периодом $π$ , то получим:

$\int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C$ ^{[ нужна ссылка ]}
$\int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C$ ^{[ нужна ссылка ]}

Специальные функции [ править ]

$Ci$ , $Si$ : тригонометрические интегралы , $Ei$ : экспоненциальный интеграл , $li$ : логарифмическая интегральная функция , $erf$ : функция ошибки

$\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$
$\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$
$\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$
$\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$
$\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$
$\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

замкнутой формы первообразных интегралы без Определенные

Существуют функции, первообразные которых не могут быть выражены в замкнутой форме . Однако значения определенных интегралов некоторых из этих функций на некоторых общих интервалах можно вычислить. Ниже приведены несколько полезных интегралов.

$\int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (см. также Гамма-функция )
$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}$ при $a > 0$ ( интеграл Гаусса )
$\int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}$ для $а > 0$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}$
для $a > 0$ n $—$ положительное целое число и $!!$ это двойной факториал .
$\int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}$ когда $а > 0$
$\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}$
для $a > 0$ , $n = 0, 1, 2, ....$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (см. также число Бернулли )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}$
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$ (см. функцию sinc и интеграл Дирихле )
$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$
$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$
(если $n$ — целое положительное число и !! — двойной факториал ).
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(для $α, β, m, n$ целых чисел с $β \neq 0$ и $m, n \geq 0$ , см. также Биномиальный коэффициент )
$\int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0$
(для $α, β$ вещественное, $n —$ неотрицательное целое число, а $m$ — нечетное положительное целое число; поскольку подынтегральная функция нечетна )
$\int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(для $α, β, m, n$ целых чисел с $β \neq 0$ и $m, n \geq 0$ , см. также Биномиальный коэффициент )
$\int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
(для $α, β, m, n$ целых чисел с $β \neq 0$ и $m, n \geq 0$ , см. также Биномиальный коэффициент )
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$
(где $exp[u]$ — показательная функция $e в$ , и $а > 0$ .)
$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$
(где $\Gamma (z)$ это гамма-функция )
$\int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)$
$\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$
(для $Re(α) > 0$ и $Re(β) > 0$ см. Бета-функция )
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (где $I 0 (x)$ — модифицированная функция Бесселя первого рода)
$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$
$\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}$
(для $ν > 0$ связано с функцией плотности вероятности Стьюдента t ) -распределения это

Если функция $f$ имеет ограниченную вариацию на интервале $[a, b]$ , то метод исчерпания дает формулу для интеграла:

\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).

« Мечта второкурсника »:

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}

приписывают Иоганну Бернулли .

См. также [ править ]

Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
Неполная гамма-функция . Виды специальных математических функций.
Неопределенная сумма – обратная конечная разность.
Интегрирование по формуле Эйлера - использование комплексных чисел для вычисления интегралов.
Теорема Лиувилля (дифференциальная алгебра) - говорит, когда первообразные элементарных функций могут быть выражены как элементарные функции.
Список лимитов
Список математических тождеств
Список математических рядов
Неэлементарный интеграл - интегралы, не выражаемые в замкнутой форме из элементарных функций.
Символическое интегрирование . В математике вычисление первообразной в закрытой форме.

Ссылки [ править ]

^ Хирш, Мейер (1810). Интегральные таблицы: или сборник интегральных формул (на немецком языке). Дункер и Хамблот.
^ Серж Ланг . Первый курс исчисления , 5-е издание, с. 290
^ « Опрос читателей: журнал | x | + C », Том Ленстер, The n -category Café , 19 марта 2012 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
Бронштейн Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Карманный учебник по математике (на немецком языке). Том 1. Перевод Циглера Виктора. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch (и BG Teubner Verlagsgesellschaft , Лейпциг). ISBN 3-87144-492-8 .
Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. Цвиллингер, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 . (А также несколько предыдущих выпусков.)
Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981−1986 (Russian)]. Integrals and Series . Vol. 1–5. Translated by Queen, N. M. (1 ed.). ( Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/ CRC Press . ISBN 2-88124-097-6 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) . Издание второе переработанное (на русском языке), том 1–3, Физико-математическая литература, 2003.
Юрий А. Брычков (Ю. А. Брычков), Справочник специальных функций: производные, интегралы, ряды и другие формулы . Русское издание, Физико-Математическая Литература, 2006. Английское издание, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564.
Дэниел Цвиллингер. Стандартные математические таблицы и формулы CRC , 31-е издание. Чепмен и Холл/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (Также многие более ранние издания.)
Мейер Хирш [ де ] , интегральные таблицы или сборник интегральных формул (Дункер и Гумблот, Берлин, 1810 г.)
Мейер Хирш [ де ] , Интегральные таблицы или сборник интегральных формул (Бейнс и сын, Лондон, 1823 г.) [английский перевод Integraltafeln ]
Дэвид Биренс де Хаан , Новые таблицы определенных интегралов (Энгельс, Лейден, 1862 г.)
Бенджамин О. Пирс Краткая таблица интегралов - исправленное издание (Ginn & Co., Бостон, 1899 г.)

Внешние ссылки [ править ]

Таблицы интегралов [ править ]

Онлайн-заметки Пола по математике
А. Дикманн, Таблица интегралов (эллиптические функции, квадратные корни, обратные тангенсы и более экзотические функции): неопределенные интегралы , определенные интегралы
Математика: таблица интегралов
О'Брайен, Фрэнсис Дж. Младший «500 интегралов элементарных и специальных функций» . Производные интегралы показательных, логарифмических функций и специальных функций.
Интеграция на основе правил Точно определенные неопределенные правила интеграции, охватывающие широкий класс подынтегральных выражений.
Матар, Ричард Дж. (2012). «Еще одна таблица интегралов». arXiv : 1207.5845 [ math.CA ].

v т и Исчисление
Предварительное исчисление	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля секанс Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний лимит Предел последовательности Порядок приближения (д, г)-определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Вторая производная Частная производная Дифференциал Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначения Обозначения Лейбница Обозначения Ньютона Правила дифференциации линейность Власть Сумма Цепь Больница Продукт Правило генерала Лейбница частное Другие методы Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Сопутствующие тарифы Стационарные точки Первый производный тест Второй производный тест Теорема об экстремальных значениях Максимум и минимум Дальнейшие применения метод Ньютона Теорема Тейлора Дифференциальное уравнение Обыкновенное дифференциальное уравнение Уравнение в частных производных Стохастическое дифференциальное уравнение
Интегральное исчисление	Первообразная Длина дуги Интеграл Римана Основные свойства Константа интегрирования Основная теорема исчисления Дифференцирование под знаком интеграла Интеграция по частям Интегрирование путем замены тригонометрический Эйлер Замена касательной полуугла Частные дроби при интегрировании Квадратичный интеграл Правило трапеции Объемы Метод шайбы Метод оболочки Интегральное уравнение Интегро-дифференциальное уравнение
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Дивергенция Градиент лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многомерное исчисление	Теорема о дивергенции Геометрический Матрица Гессе Матрица Якобиана и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Множественный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Интеграл объема Расширенные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Виды серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический бесконечный Власть Маклорен Тейлор телескопирование Тесты сходимости Авеля Переменная серия Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле Интеграл Предельное сравнение Соотношение Корень Срок
Специальные функции и цифры	Числа Бернулли е (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц бесконечно малый Бесконечно-малое исчисление Исаак Ньютон Флюксия Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюксий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов показательных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов от обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов тригонометрических функций секанс Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Комплексное исчисление Контурный интеграл Дифференциальная геометрия Коллектор Кривизна кривых поверхностей Тензор Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Интеграционная пчела Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый

v т и Основные темы математического анализа
Исчисление : Интеграция Дифференциация Дифференциальные уравнения обычный частичный стохастический Основная теорема исчисления Вариационное исчисление Векторное исчисление Тензорное исчисление Матричное исчисление Списки интегралов Таблица производных
Реальный анализ Комплексный анализ Гиперкомплексный анализ ( кватернионный анализ ) Функциональный анализ Фурье-анализ Спектральный анализ методом наименьших квадратов Гармонический анализ P-адический анализ ( P-адические числа ) Теория меры Теория представлений Функции Непрерывная функция Специальные функции Лимит Ряд Бесконечность
Математический портал

интегралов развитие Историческое ​