G-функция Мейера

График G-функции Мейгера G(((a 1,...,an),(a n+1,...,ap)),((b 1,...,bm),(b m+ 1,...,bq)),z) вход (( ⁠ 1 / 2 ⁠ ),()),(( ⁠ 1 / 3 ⁠ ),()) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i

В математике G-функция была введена Корнелисом Саймоном Мейером ( 1936 ) как очень общая функция, призванная включать большинство известных специальных функций как частные случаи. Это была не единственная попытка такого рода: обобщенная гипергеометрическая функция и E-функция МакРоберта преследовали одну и ту же цель, но G-функция Мейера смогла включить и их как частные случаи. Первое определение было дано Мейером с использованием ряда ; в настоящее время общепринятым и более общим определением является линейный интеграл на комплексной плоскости , введенный во всей своей обобщенности Артуром Эрдели в 1953 году.

В современном определении большинство установленных специальных функций можно представить через G-функцию Мейера. Примечательным свойством является замыкание множества всех G-функций не только при дифференцировании, но и при неопределенном интегрировании. В сочетании с функциональным уравнением , позволяющим освободить из G-функции G ( z ) любой множитель z ^р то есть постоянная степень своего аргумента z , замыкание означает, что всякий раз, когда функция выражается как G-функция постоянного кратного некоторой постоянной степени аргумента функции, f ( x ) = G ( cx ^с ), производная и первообразная этой функции тоже выражаемы.

Широкий охват специальных функций также дает возможность использовать G-функцию Мейера помимо представления и манипулирования производными и первообразными. Например, определенный интеграл по положительной вещественной оси любой функции g ( x ), который можно записать в виде произведения G ₁ ( cx ^с ) · G ₂ ( dx ^д ) двух G-функций с рациональным γ / δ равна просто еще одной G-функции, а обобщения интегральных преобразований , таких как преобразование Ханкеля и преобразование Лапласа , а также их обратные результаты, возникают, когда в качестве ядер преобразования используются подходящие пары G-функций.

Еще более общей функцией, которая вводит дополнительные параметры в G-функцию Мейера, является H-функция Фокса .

Одним из применений G-функции Мейера был спектр частиц излучения инерционного горизонта в модели движущегося зеркала динамического эффекта Казимира ( Good 2020 ).

Определение G

Общее определение G-функции Мейера дается следующим линейным интегралом на комплексной плоскости ( Bateman & Erdélyi 1953 , § 5.3-1):

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,$

где Γ обозначает гамма-функцию . Этот интеграл относится к так называемому типу Меллина-Барнса и может рассматриваться как обратное преобразование Меллина . Определение справедливо при следующих предположениях:

• 0 ≤ m ≤ q и 0 ≤ n ≤ p , где m , n , p и q — целые числа.
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... для любой комбинации {k, j}, для которой k = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., m , из чего следует, что ни один полюс любого Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , не совпадает ни с одним полюсом любого Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., н
• г ≠ 0

Обратите внимание, что по историческим причинам первый нижний и второй верхний индекс относятся к верхней строке параметров, а второй нижний и первый верхний индекс относятся к нижней строке параметров. Часто встречаются следующие более синтетические обозначения с использованием векторов :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).$

Реализации G-функции в системах компьютерной алгебры обычно используют отдельные векторные аргументы для четырех (возможно, пустых) групп параметров a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m , и b _{m +1} ... b _q и, таким образом, можно опустить порядки p , q , n и m как избыточные.

L . в интеграле обозначает путь, по которому следует идти при интегрировании Для этого пути возможны три варианта:

1. L бежит от −i ∞ до + i ∞ так, что все полюса Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , находятся справа от пути, а все полюсы Γ (1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , находятся слева. Тогда интеграл сходится при |arg z | < δπ где ,

$\delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);$

очевидной предпосылкой этого является δ > 0. Интеграл сходится дополнительно при |arg z | = δ π ≥ 0, если (q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1, где σ представляет Re( s ), когда переменная интегрирования s приближается как к + i ∞, так и к − i ∞, и где

$\nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.$

Как следствие, для |arg z | = δ π и p = q интеграл сходится независимо от σ всякий раз, когда Re( ν ) < −1.

2. L — цикл, начинающийся и заканчивающийся в +∞, охватывающий все полюса Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m ровно один раз в отрицательном направлении, но не охватывающий ни один полюс Γ(1 − ak _k + s ), знак равно 1, 2, ..., n . Тогда интеграл сходится для всех z, если q > p ≥ 0; он также сходится при q = p > 0, пока | г | < 1. В последнем случае интеграл дополнительно сходится при | г | = 1, если Re( ν ) < −1, где ν определяется как для первого пути.

3. L — петля, начинающаяся и заканчивающаяся в точке −∞ и охватывающая все полюсы Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , ровно один раз в положительном направлении, но не охватывающая ни один полюс полюс Γ( b _j - s ), j знак равно 1, 2, ..., м . Теперь интеграл сходится для всех z, если p > q ≥ 0; он также сходится при p = q > 0, пока | г | > 1. Как отмечено и для второго пути, в случае p = q интеграл сходится и при | г | = 1, когда Re( ν ) < −1.

Условия сходимости легко устанавливаются путем применения асимптотического приближения Стирлинга к гамма-функциям в подынтегральном выражении. Когда интеграл сходится более чем по одному из этих путей, можно показать, что результаты интегрирования согласуются; если он сходится только для одного пути, то его следует рассматривать только один. Фактически, численное интегрирование по траекториям в комплексной плоскости представляет собой практичный и разумный подход к вычислению G-функций Мейера.

Как следствие этого определения, G-функция Мейера является аналитической функцией от z, за исключением, возможно, начала координат z = 0 и единичной окружности | г | = 1.

Дифференциальное уравнение

G-функция удовлетворяет следующему линейному дифференциальному уравнению порядка max( p , q ):

$\left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.$

В качестве фундаментального набора решений этого уравнения в случае p ≤ q можно принять:

$G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,$

и аналогично в случае p ≥ q :

$G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.$

Эти частные решения являются аналитическими, за исключением возможной особенности при z = 0 (а также возможной особенности при z = ∞), а в случае p = q еще и неизбежной особенности при z = (−1) ^{п - м - п} . Как мы увидим далее, их можно отождествить с обобщенными гипергеометрическими функциями _p F _{q −1} аргумента (−1) ^{п - м - п} z, умноженные на степень z ^{б _ч} , и с обобщенными гипергеометрическими функциями _q F _{p −1} аргумента (−1) ^{д - м - п} С ⁻¹ которые умножены на степень z ^{а _ч -1} , соответственно.

Связь между G-функцией и

Если интеграл сходится при вычислении по второму пути, введенному выше, и если не появляется сливающихся полюсов среди Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , то G-функция Мейера может быть выражена как сумму вычетов через обобщенные гипергеометрические функции _p F _{q −1} (теорема Слейтера):

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times$

$_{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).$

Звездочка указывает на то, что член, соответствующий j = h, опущен. Чтобы интеграл сходился по второму пути, необходимо либо p < q , либо p = q и | г | < 1, и для того, чтобы полюса были различны, ни одна пара среди b _j , j = 1, 2, ..., m , не может отличаться на целое число или ноль. Звездочки в соотношении напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = h следующим образом: в произведении это означает замену Γ(0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции, если вспомнить смысл вектора обозначения,

$1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),$

это равносильно сокращению длины вектора с q до q −1.

Обратите внимание, что когда m = 0, второй путь не содержит полюсов, поэтому интеграл должен тождественно обращаться в нуль:

$G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,$

если либо p < q , либо p = q и | г | < 1.

Аналогично, если интеграл сходится при вычислении по третьему пути, указанному выше, и если среди Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n не появляется сливающихся полюсов , то G-функция может быть выражено как:

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times$

$_{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).$

Для этого либо p > q , либо p = q и | г | > 1 требуются, и ни одна пара среди a _k , k = 1, 2, ..., n не может отличаться на целое число или ноль. Следовательно, для n = 0 имеем:

$G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,$

если либо p > q , либо p = q и | г | > 1.

С другой стороны, любую обобщенную гипергеометрическую функцию легко выразить через G-функцию Мейера:

$\;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),$

где мы использовали векторную запись:

$\Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).$

Это справедливо, если только неположительное целое значение хотя бы одного из ее параметров a _p не сводит гипергеометрическую функцию к конечному многочлену, и в этом случае гамма-префактор любой G-функции обращается в нуль, а наборы параметров G-функций нарушают требование a _k - b _j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., m из определения выше. Помимо этого ограничения, соотношение справедливо всякий раз, когда обобщенный гипергеометрический ряд _p F _q ( z ) сходится, т.е. для любого конечного z , когда p ⩽ q , и для | г | < 1, когда p = q + 1. В последнем случае связь с G-функцией автоматически обеспечивает аналитическое продолжение _p F _q ( z ) до | г | ≥ 1 с разрезом от 1 до ∞ вдоль вещественной оси. Наконец, это соотношение обеспечивает естественное расширение определения гипергеометрической функции на порядки p > q + 1. Таким образом, с помощью G-функции мы можем решить обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение для p > q также и + 1.

Полиномиальные случаи

Чтобы выразить полиномиальные случаи обобщенных гипергеометрических функций через G-функции Мейера, вообще говоря, необходима линейная комбинация двух G-функций:

$\;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times$

$\left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],$

где h = 0, 1, 2, ... равно степени многочлена _{p +1} F _q ( z ). Порядки m и n могут выбираться свободно в диапазонах 0 ≤ m ≤ q и 0 ≤ n ≤ p , что позволяет избежать того, чтобы конкретные целочисленные значения или целочисленные различия между параметрами a _p и b _q полинома приводили к расхождению гамма-функции в префакторе или к конфликту с определением G-функции . Обратите внимание, что первая G-функция обращается в нуль при n = 0, если p > q , а вторая G-функция исчезает при m = 0, если p < q . Опять же, формулу можно проверить, выразив две G-функции как суммы остатков ; здесь не нужно исключать случаи слияния полюсов , допускаемые определением G-функции.

Основные свойства G-функции

Как видно из определения G-функции появляются равные параметры , если среди a _p и b _q , определяющие множители в числителе и знаменателе подынтегрального выражения, дробь можно упростить, а тем самым и порядок функции. быть уменьшено. Уменьшится ли порядок m или n, зависит от конкретного положения рассматриваемых параметров. Таким образом, если одно из a _k , k = 1, 2, ..., n равняется одному из b _j , j = m + 1, ..., q , G-функция понижает свои порядки p , q и н :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.$

По той же причине, если одно из a _k , k = n + 1, ..., p , равно одному из b _j , j = 1, 2, ..., m , то G-функция понижает свою порядки p , q и m :

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.$

Исходя из определения, также можно вывести следующие свойства:

$z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),$

$G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,$

$G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,$

$G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .$

Аббревиатуры ν и δ были введены в определение G-функции выше.

Производные и первообразные

Что касается производных G-функции, то можно найти следующие соотношения:

${\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,$

${\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,$

Из этих четырех эквивалентных отношений можно вывести, просто вычислив производную в левой части и немного поработав. Получается, например:

$z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.$

Более того, для производных произвольного порядка h имеем

$z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),$

$z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),$

которые справедливы и для h < 0, что позволяет получить первообразную любой G-функции так же легко, как и производную. Выбирая тот или иной из двух результатов, представленных в любой формуле, всегда можно предотвратить нарушение набора параметров в результате условия a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2,..., n и j = 1,2,..., m , что наложено определением G-функции . Обратите внимание, что каждая пара результатов становится неравной в случае h < 0.

Из этих соотношений можно вывести соответствующие свойства гипергеометрической функции Гаусса и других специальных функций.

Рекуррентные отношения

Приравнивая различные выражения для производных первого порядка, можно прийти к следующим трехчленным рекуррентным соотношениям между смежными G-функциями:

$(a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,$

$(b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,$

$(b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,$

$(a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.$

Аналогичные соотношения для пар диагональных параметров a ₁ , b _q и b ₁ , a _p следуют за подходящей комбинацией вышеизложенного. Опять же, из этих рекуррентных соотношений можно вывести соответствующие свойства гипергеометрических и других специальных функций.

Теоремы умножения

При условии, что z ≠ 0, имеют место следующие соотношения:

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,$

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.$

За ними следует разложение Тейлора относительно w = 1 с помощью основных свойств , обсуждавшихся выше. Радиусы сходимости будут зависеть от значения z и от разлагаемой G-функции. Разложения можно рассматривать как обобщения аналогичных теорем для Бесселя , гипергеометрических и конфлюэнтных гипергеометрических функций.

включающие G-

Среди определенных интегралов, включающих произвольную G-функцию, есть:

$\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.$

Заметим, что здесь опущены ограничения, при которых существует этот интеграл. Разумеется, неудивительно, что преобразование Меллина G-функции должно привести обратно к подынтегральной функции, фигурирующей в приведенном выше определении .

Интегралы типа Эйлера для G-функции имеют вид:

$\int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),$

$\int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).$

Обширные ограничения, при которых существуют эти интегралы, можно найти на с. 417 «Таблицы интегральных преобразований», вып. II (1954), под редакцией А. Эрдели. Заметим, что ввиду влияния на G-функцию эти интегралы могут быть использованы для определения операции дробного интегрирования для достаточно большого класса функций ( операторов Эрдейи–Кобера ).

Результатом фундаментальной важности является то, что произведение двух произвольных G-функций, интегрированных по положительной вещественной оси, может быть представлено просто еще одной G-функцией (теорема о свертке):

$\int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=$

$={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=$

$={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).$

Ограничения, при которых существует интеграл, можно найти в Meijer, CS, 1941: Nederl. Акад. Ветенш, Proc. 44, стр. 82–92. Обратите внимание, что преобразование Меллина результата просто собирает гамма-факторы из преобразований Меллина двух функций в подынтегральном выражении.

Формулу свертки можно получить, заменив определяющий интеграл Меллина – Барнса на одну из G-функций, изменив порядок интегрирования на противоположный и вычислив внутренний интеграл преобразования Меллина. Предыдущие интегралы типа Эйлера следуют аналогично.

Преобразование Лапласа

Используя приведенный выше интеграл свертки и основные свойства, можно показать, что:

$\int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),$

где Re( ω ) > 0. Это преобразование Лапласа функции G ( ηx ), умноженной на степень x ^{− а} ; если мы положим α = 0, мы получим преобразование Лапласа G-функции. Как обычно, обратное преобразование задается формулой:

$x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,$

где c — действительная положительная константа, которая помещает путь интегрирования справа от любого полюса подынтегральной функции.

Другая формула преобразования Лапласа G-функции:

$\int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),$

где снова Re( ω ) > 0. Подробности ограничений, при которых существуют интегралы, в обоих случаях опущены.

Интегральные преобразования на основе G-функции

В общем, две функции k ( z , y ) и h ( z , y ) называются парой ядер преобразования, если для любой подходящей функции f ( z ) или любой подходящей функции g ( z ) одновременно выполняются следующие два соотношения: :

$g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.$

Пара ядер называется симметричной, если k ( z , y ) = h ( z , y ).

Преобразование Нараина

Руп Нараин ( 1962 , 1963а , 1963б ) показал, что функции:

$k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),$

$h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)$

являются асимметричной парой ядер преобразования, где γ > 0, n - p = m - q > 0, и:

$\sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},$

а также дальнейшие условия сходимости. В частности, если p = q , m = n , a _j + b _j = 0 для j = 1, 2, ..., p и c _j + d _j = 0 для j = 1, 2, ..., m , то пара ядер становится симметричной. Известное преобразование Ханкеля представляет собой симметричный частный случай преобразования Нарайна ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c ₁ = − d ₁ = ^н ⁄ ₂ ).

Трансформация слабака

Джет Вимп ( 1964 ) показал, что эти функции представляют собой асимметричную пару ядер преобразования:

$k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),$

$h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],$

где функция A (·) определяется как:

$A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).$

Лапласа

Преобразование Лапласа можно обобщить по аналогии с обобщением Нараина преобразования Ханкеля:

$g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,$

$f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,$

где γ > 0 , p ≤ q и:

$(q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\sum _{j=1}^{p}a_{j}-\sum _{j=1}^{q}b_{j},$

и где константа c > 0 помещает второй путь интегрирования справа от любого полюса подынтегральной функции. Для γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = 0 и p = q = 0, это соответствует знакомому преобразованию Лапласа.

Преобразование Мейера

Два частных случая этого обобщения были даны К. С. Мейером в 1940 и 1941 годах. Случай, полученный для γ = 1, ρ = − ν , p = 0, q = 1 и b ₁ = ν, можно записать (Meijer 1940 ):

$g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,$

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,$

и случай, полученный при γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = − m − k , p = q = 1, a ₁ = m − k и b ₁ = 2 m можно записать (Meijer 1941a ):

$g(s)=\int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st)\,f(t)\;dt,$

$f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds.$

Здесь I _ν и K _ν — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода соответственно, M _{k , m} и W _{k , m} — функции Уиттекера применены постоянные масштабные коэффициенты. , а к функциям f и g и их аргументам s и t в первом случае.

Представление других функций в терминах G-функции

В следующем списке показано, как знакомые элементарные функции являются частными случаями G-функции Мейера:

$e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x$

$\cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x$

$\sin x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x$

$\sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$\arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$\arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,2,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

Здесь H обозначает ступенчатую функцию Хевисайда .

Следующий список показывает, как некоторые высшие функции могут быть выражены через G-функцию:

$\gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$\Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x$

$J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0$

$K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}$

$\Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots$

$\Phi (x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots$

Даже производные γ( α , x ) и Γ( α , x ) по α могут быть выражены через G-функцию Мейера. Здесь γ и Γ — нижняя и верхняя неполные гамма-функции , J _ν и Y _ν — функции Бесселя первого и второго рода соответственно, I _ν и K _ν — соответствующие модифицированные функции Бесселя, Φ — трансцендент Лерха .

См. также

• Gradshteyn and Ryzhik

Ссылки

• Эндрюс, LC (1985). Специальные функции для инженеров и прикладных математиков . Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN  978-0-02-948650-4 .
• Аски, РА ; Даалхейс, Адри Б. Ольде (2010), «G-функция Мейера» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Бейтман, Х .; Эрдели, А. (1953). Высшие трансцендентные функции, Vol. Я (PDF) . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. (см. § 5.3, «Определение G-функции», стр. 206)
• Билз, Ричард; Шмигельский, Яцек (2013). «G-функции Мейера: краткое введение» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 60 (7): 866. дои : 10.1090/noti1016 .
• Брычков, Ю. А.; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Преобразование Мейера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.3.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5 . LCCN   2014010276 .
• Климык, А.Ю. (2001) [1994], «G-функции Мейера» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Люк, Юделл Л. (1969). Специальные функции и их приближения, Vol. Я. ​Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-459901-7 . (см. главу V «Обобщенная гипергеометрическая функция и G-функция», стр. 136)
• Мейер, CS (1936). «О функциях Уиттекера или Бесселя и их произведениях». Nieuw Archief voor Wiskunde (2) (на немецком языке). 18 (4): 10–39. ЖФМ   62.0421.02 .
• Мейер, CS (1940). «О расширении преобразования Лапласа – I, II». Труды секции наук Королевской академии Ветеншаппен (Амстердам) (на немецком языке). 43 : 599–608 и 702–711. ЖФМ   66.0523.01 .
• Мейер, CS (1941a). «Новое расширение преобразования Лапласа – I, II». Труды секции наук Королевской академии Ветеншаппен (Амстердам) (на немецком языке). 44 : 727–737 и 831–839. ЖФМ   67.0396.01 .
• Мейер, CS (1941b). «Теоремы умножения для функции $\scriptstyle G_{p,q}^{\,m,n}(z)$ 44 Труды секции наук Королевской академии наук (Амстердам) на немецком языке : 1062–1070 )   ( .
• Нараин, Руп (1962). «G-функции как несимметричные ядра Фурье – I» (PDF) . Труды Американского математического общества . 13 (6): 950–959. дои : 10.1090/S0002-9939-1962-0144157-5 . МР   0144157 .
• Нараин, Руп (1963a). «G-функции как несимметричные ядра Фурье – II» (PDF) . Труды Американского математического общества . 14 (1): 18–28. дои : 10.1090/S0002-9939-1963-0145263-2 . МР   0145263 .
• Нараин, Руп (1963b). «G-функции как несимметричные ядра Фурье – III» (PDF) . Труды Американского математического общества . 14 (2): 271–277. дои : 10.1090/S0002-9939-1963-0149210-9 . МР   0149210 .
• Прудников А.П.; Маричев О.И.; Брычков, Ю. А. (1990). Интегралы и ряды, Vol. 3: Дополнительные специальные функции . Ньюарк, Нью-Джерси: Гордон и Брич. ISBN  978-2-88124-682-1 . (см. § 8.2, «G-функция Мейера», стр. 617)
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06483-5 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )
• Слабак, Джет (1964). «Класс интегральных преобразований» . Труды Эдинбургского математического общества . Серия 2. 14 : 33–40. дои : 10.1017/S0013091500011202 . МР   0164204 . Збл   0127.05701 .
• Матай, Саксена, А.М. и Р.К. (1973). Обобщенные гипергеометрические функции с приложениями в статистике и физических науках . Спрингер . ISBN  9780387064826 .
• Хорошо, Майкл (2020). «Излучение инерционного зеркального горизонта» . Вселенная . 6(9) (131): 131. arXiv : 2008.08776 . Бибкод : 2020Унив....6..131Г . дои : 10.3390/universe6090131 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «G-функция Мейера» . Математический мир .
• гипергеом на GitLab