Обобщенная гипергеометрическая функция

Другие обобщения гипергеометрической функции см. в разделе «Гипергеометрическая функция» .

Не путать с общей гипергеометрической функцией .

«PFq» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. PFQ (значения) .

Создан график обобщенной гипергеометрической функции pFq(abz) с a=(2,4,6,8) и b=(2,3,5,7,11) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с функцией Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике обобщенный гипергеометрический ряд — это степенной ряд , в котором отношение последовательных коэффициентов, индексированных n, является рациональной функцией от n . Ряд, если он сходится, определяет обобщенную гипергеометрическую функцию , которая затем может быть определена в более широкой области аргумента путем аналитического продолжения . Обобщенный гипергеометрический ряд иногда называют просто гипергеометрическим рядом, хотя этот термин также иногда относится просто к гауссову гипергеометрическому ряду . Обобщенные гипергеометрические функции включают (гауссову) гипергеометрическую функцию и конфлюэнтную гипергеометрическую функцию в качестве особых случаев, которые, в свою очередь, имеют множество частных специальных функций в качестве особых случаев, таких как элементарные функции , функции Бесселя и классические ортогональные многочлены .

Обозначения

Гипергеометрический ряд формально определяется как степенной ряд

$\beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}$

в котором отношение последовательных коэффициентов является рациональной функцией от n . То есть,

${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}$

где A ( n ) и B ( n ) — полиномы от n .

Например, в случае ряда для показательной функции

$1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,$

у нас есть:

$\beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.$

Итак, это удовлетворяет определению с A ( n ) = 1 и B ( n ) = n + 1 .

Обычно главный член выносят за скобки, поэтому β ₀ предполагается равным 1. Полиномы можно разложить на линейные множители вида ( a _j + n ) и ( b _k + n ) соответственно, где a _j и bk _— комплексные числа .

По историческим причинам предполагается, что (1 + ) является коэффициентом B. n Если это еще не так, то и A , и B можно умножить на этот коэффициент; коэффициент отменяется, поэтому условия остаются неизменными и нет потери общности.

Соотношение между последовательными коэффициентами теперь имеет вид

${\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}$,

где c и d старшие коэффициенты A и B. — Тогда ряд имеет вид

$1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots$,

или, масштабируя z соответствующим коэффициентом и переставляя,

$1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots$.

Это имеет форму экспоненциальной производящей функции . Эту серию обычно обозначают

${}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)$

или

$\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].$

Использование восходящего факториала или символа Поххаммера

${\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}$

это можно написать

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.$

(Обратите внимание, что такое использование символа Поххаммера не является стандартным; однако в данном контексте это стандартное использование.)

Терминология

Когда все члены ряда определены и он имеет ненулевой радиус сходимости , тогда ряд определяет аналитическую функцию . Такая функция и ее аналитические продолжения называются гипергеометрической функцией .

Случай, когда радиус сходимости равен 0, дает множество интересных математических рядов, например, неполная гамма-функция имеет асимптотическое разложение

$\Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)$

что можно было бы записать z ^{а -1} и ^-z  ₂ F ₀ (1− a ,1;;− z ⁻¹ ). Однако использование термина «гипергеометрический ряд» обычно ограничивается случаем, когда ряд определяет реальную аналитическую функцию.

Обыкновенный гипергеометрический ряд не следует путать с основным гипергеометрическим рядом , который, несмотря на свое название, является гораздо более сложным и малопонятным рядом. «Базовый» ряд является q-аналогом обычного гипергеометрического ряда. Существует несколько таких обобщений обычных гипергеометрических рядов, в том числе исходящих от зональных сферических функций на римановых симметрических пространствах .

Ряд без множителя n ! в знаменателе (суммируемом по всем целым числам n , включая отрицательные) называется двусторонним гипергеометрическим рядом .

Условия сходимости

Существуют определенные значения a _j и b _k, для которых числитель или знаменатель коэффициентов равен 0.

• Если любой a _j является неположительным целым числом (0, −1, −2 и т. д.), то ряд имеет только конечное число членов и фактически является многочленом степени − a _j .
• Если какое-либо ) _. , знаменатели _то становятся равными _{bk является неположительным целым числом (за исключением предыдущего случая, когда bk <aj} 0, и ряд не определен

Исключая эти случаи, критерий соотношения для определения радиуса сходимости можно применить .

• Если p < q + 1, то отношение коэффициентов стремится к нулю. Это означает, что ряд сходится для любого конечного значения z и, таким образом, определяет целую функцию z . Примером может служить степенной ряд для показательной функции.
• Если p = q + 1, то отношение коэффициентов стремится к единице. Отсюда следует, что ряд сходится при | г | < 1 и расходится при | г | > 1. Сойдется ли оно при | г | = 1 определить сложнее. Аналитическое продолжение можно использовать для больших значений z .
• Если p > q + 1, то отношение коэффициентов неограниченно растет. Отсюда следует, что, кроме z = 0, ряд расходится. Тогда это расходящийся или асимптотический ряд, или его можно интерпретировать как символическое сокращение дифференциального уравнения, которому сумма удовлетворяет формально.

Вопрос о сходимости при p = q +1, когда z находится на единичной окружности, более сложен. Можно показать, что ряд сходится абсолютно при z = 1, если

$\Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0$.

Далее, если p = q +1, $\sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}$ и z действительно, то справедлив следующий результат сходимости Quigley et al. (2013) :

$\lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}$.

Основные свойства

определения непосредственно следует, что порядок параметров aj _Из или порядок параметров bk _{можно изменить ,} не меняя значения функции. Кроме того, если какой-либо из параметров a _j равен любому из параметров b _k , то совпадающие параметры могут быть «отменены», за некоторыми исключениями, когда параметры являются неположительными целыми числами. Например,

$\,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)$.

Это сокращение является частным случаем формулы сокращения, которая может применяться всякий раз, когда параметр в верхней строке отличается от параметра в нижней строке на неотрицательное целое число.

${}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]$

Интегральное преобразование Эйлера

Следующее основное тождество очень полезно, поскольку оно связывает гипергеометрические функции более высокого порядка через интегралы по функциям более низкого порядка.

${}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt$

Дифференциация

Обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет условию

${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}$

Кроме того,

${\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}$

Их объединение дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет w = _p F _q :

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w$.

Непрерывная функция и связанные тождества

Возьмем следующий оператор:

$\vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.$

Из приведенных выше формул дифференцирования линейное пространство, натянутое на

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

содержит каждый из

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),$

$z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),$

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Поскольку пространство имеет размерность 2, любые три из этих функций p + q +2 линейно зависимы:

$(a_{i}-b_{j}+1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..;...,b_{j}...;z)-(b_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}-1...;z).$

$(a_{i}-a_{j}){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}..;.....;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..a_{j}..;......;z)-a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}+1...;....;z).$

$b_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1....;..b_{j}+1...;z)+(b_{j}-a_{i}){}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}+1...;z).$

$(a_{i}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j};...;z)=(a_{i}-a_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j};...;z)+a_{j}{}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j}+1;...;z).$

Эти зависимости могут быть записаны для генерации большого количества тождеств, включающих ${}_{p}F_{q}$.

Например, в простейшем нетривиальном случае

$\;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

$z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)$,

Так

$\;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)$.

Этот и другие важные примеры

$\;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$,

$\;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)$

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

$\;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)$,

может использоваться для создания выражений непрерывных дробей, известных как непрерывная дробь Гаусса .

Аналогично, дважды применив формулы дифференцирования, получим ${\binom {p+q+3}{2}}$ такие функции содержатся в

$\{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),$

который имеет размерность три, поэтому любые четыре линейно зависимы. Это генерирует больше личностей, и процесс можно продолжить. Созданные таким образом идентичности можно комбинировать друг с другом для создания новых иным способом.

Функция, полученная добавлением ±1 ровно к одному из параметров a _j , b _k в

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)$

называется прилегающим к

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).$

Используя описанную выше технику, тождество, связанное ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ и двум его смежным функциям можно дать шесть тождеств, связывающих ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ и любые две из его четырех смежных функций, а также пятнадцать тождеств, относящихся ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ и были найдены любые две из шести смежных функций. (Первый из них был выведен в предыдущем абзаце. Последние пятнадцать были даны Гауссом в его статье 1812 года.)

Личности

Для тождеств, включающих гипергеометрическую функцию Гаусса ₂ F ₁ , см. Гипергеометрическую функцию .

Ряд других гипергеометрических функциональных тождеств был открыт в девятнадцатом и двадцатом веках. Вкладом XX века в методологию доказательства этих тождеств является метод Егорычева .

Теорема Заальшюца

Теорема Заальшюца ( Заальшютц, 1890 г. )

${}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.$

Расширение этой теоремы см. в исследовательской работе Ракхи и Рэти.

Личность Диксона

Основная статья: Личность Диксона

Личность Диксона, впервые доказанный Диксоном (1902) , дает сумму хорошо сбалансированного ₃ F ₂ в 1:

${}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.$

Обобщение идентичности Диксона см. в статье Лавуа и др.

Формула Дугалла

Формула Дугалла ( Dougall   1907 ) дает сумму очень хорошо сбалансированного ряда, завершающегося и 2-сбалансированного.

${\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}$

Завершение означает, что m является неотрицательным целым числом, а 2-сбалансированное означает, что

$1+2a=b+c+d+e-m.$

Многие другие формулы для особых значений гипергеометрических функций могут быть выведены из этого как особые или предельные случаи.

Обобщение преобразований Куммера и тождеств для ₂ F ₂

Личность 1.

$e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)$

где

$f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}$;

Личность 2.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),$

которая связывает функции Бесселя с ₂ F ₂ ; это сводится ко второй формуле Куммера для b = 2 a :

Личность 3.

$e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)$.

Личность 4.

${\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}$

что является конечной суммой, если bd — неотрицательное целое число.

Отношение Куммера

Соотношение Куммера

${}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).$

Формула Клаузена

Основная статья: формула Клаузена

Формула Клаузена

${}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}$

был использован де Бранжем для доказательства гипотезы Бибербаха .

Особые случаи

Многие специальные функции в математике являются частными случаями вырожденной гипергеометрической функции или гипергеометрической функции ; примеры см. в соответствующих статьях.

Серия ₀ Ф ₀

Основная статья: Экспоненциальная функция

Как отмечалось ранее, ${}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}$. Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид ${\frac {d}{dz}}w=w$, который имеет решения $w=ke^{z}$ где k — константа.

Серия ₀ Ф ₁

Функции формы ${}_{0}F_{1}(;a;z)$ называются конфлюэнтными гипергеометрическими предельными функциями и тесно связаны с функциями Бесселя .

Отношения:

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

$I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

$w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.$

Если a не является целым положительным числом, замена

$w=z^{1-a}u,$

дает линейно независимое решение

$z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),$

поэтому общее решение

$k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)$

где k , l — константы. (Если a — целое положительное число, независимое решение дается соответствующей функцией Бесселя второго рода.)

Особый случай:

${}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z$

Серия ₁ Ф ₀

Основная статья: Биномиальный ряд

Важный случай:

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,$

или

$(1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,$

который имеет решения

$w=k(1-z)^{-a}$

где k — константа.

${}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}$ — геометрическая прогрессия с отношением z и коэффициентом 1.

$z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}$ тоже полезно.

Серия ₁ Ф ₁

Основная статья: Вырожденная гипергеометрическая функция

Функции формы ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ называются вырожденными гипергеометрическими функциями первого рода , также пишутся $M(a;b;z)$. Неполная гамма-функция $\gamma (a,z)$ это особый случай.

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$

Когда b не является целым положительным числом, замена

$w=z^{1-b}u,$

дает линейно независимое решение

$z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),$

поэтому общее решение

$k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)$

где k , l — константы.

Когда a является неположительным целым числом, − n , ${}_{1}F_{1}(-n;b;z)$ является полиномом. С точностью до постоянных множителей это полиномы Лагерра . Это означает, что полиномы Эрмита можно выразить через ₁ F ₁ также .

Серия ₁ Ф ₂

Связь с другими функциями известна только для определенных комбинаций параметров.

Функция $x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)$ является первообразной кардинального синуса . С измененными значениями $a_{1}$ и $b_{1}$, получаем первообразную $\sin(x^{\beta })/x^{\alpha }$.

Функция Ломмеля ​ $s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}})$.

Серия ₂ Ф ₀

Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода может быть записана как:

$U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).$

Серия ₂ Ф ₁

Основная статья: Гипергеометрическая функция

Исторически наиболее важными являются функции формы ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$. Иногда их называют гипергеометрическими функциями Гаусса , классическими стандартными гипергеометрическими или часто просто гипергеометрическими функциями. Термин «обобщенная гипергеометрическая функция» используется для функций _p F _q , если существует риск путаницы. Эту функцию впервые детально изучил Карл Фридрих Гаусс , исследовавший условия ее сходимости.

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

$\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}$

или

$z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.$

Оно известно как гипергеометрическое дифференциальное уравнение . Когда c не является положительным целым числом, замена

$w=z^{1-c}u$

дает линейно независимое решение

$z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),$

поэтому общее решение для | г | <1 есть

$k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$

где k , l — константы. могут быть получены разные решения Для других значений z . Фактически существует 24 решения, известных как решения Куммера , которые можно вывести с использованием различных тождеств, действительных в разных областях комплексной плоскости.

Когда a является неположительным целым числом, − n ,

${}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)$

является полиномом. С точностью до постоянных множителей и масштабирования это полиномы Якоби . можно выразить с помощью ₂ F ₁ Несколько других классов ортогональных полиномов, с точностью до постоянных множителей, являются частными случаями полиномов Якоби, поэтому их также . Сюда входят полиномы Лежандра и полиномы Чебышева .

С помощью гипергеометрической функции можно выразить широкий спектр интегралов от элементарных функций, например:

$\int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.$

Серия ₃ Ф ₀

Полиномы Мотта можно записать как:

$s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).$

Серия ₃ Ф ₂

Функция

$\operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)$

это дилогарифм

Функция

$Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)$

является полиномом Хана .

Серия ₄ Ф ₃

Функция

$p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)$

является полиномом Вильсона .

Все корни уравнения пятой степени могут быть выражены через радикалы и радикал Приведения , который является реальным решением уравнения. $x^{5}+x+a=0$. Радикал «Принести» можно записать как:

$\operatorname {BR} (t)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).$

Ряд _q+1 F _q

Функции

$\operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)$

$\operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)$

для $q\in \mathbb {N} _{0}$ и $p\in \mathbb {N}$ являются полилогарифмами .

Для каждого целого числа n ≥2 корни многочлена x ^н − x +t можно выразить как сумму не более N −1 гипергеометрических функций типа _{n +1} F _n , которую всегда можно уменьшить, исключив хотя бы одну пару параметров a и b .

Обобщения

Обобщенная гипергеометрическая функция связана с G-функцией Мейера и E-функцией МакРоберта . Гипергеометрические ряды были обобщены на несколько переменных, например, Полем Эмилем Аппелем и Жозефом Кампе де Ферье ; но на появление сопоставимой общей теории потребовалось много времени. Было найдено множество личностей, некоторые весьма примечательные. Обобщение, аналоги серии q , называемые основными гипергеометрическими рядами , были даны Эдуардом Гейне в конце девятнадцатого века. Здесь отношения, рассматриваемые последовательными членами, вместо рациональной функции от n являются рациональной функцией от q. ^н . Другое обобщение, эллиптические гипергеометрические ряды , — это те ряды, в которых отношение членов является эллиптической функцией (двоякопериодической мероморфной функцией ) от n .

В двадцатом веке это была плодотворная область комбинаторной математики, имевшая многочисленные связи с другими областями. Есть ряд новых определений общих гипергеометрических функций , предложенных Аомото, Исраэлем Гельфандом и другими; и приложения, например, к комбинаторике расположения нескольких гиперплоскостей в комплексном N -пространстве (см. Расположение гиперплоскостей ).

Специальные гипергеометрические функции встречаются как зональные сферические функции на римановых симметрических пространствах и полупростых группах Ли . Их важность и роль можно понять на следующем примере: гипергеометрический ряд ₂ F ₁ имеет полиномы Лежандра как частный случай, и, если рассматривать их в виде сферических гармоник , эти полиномы отражают в определенном смысле свойства симметрии двусфера или, что то же самое, вращения, заданные группой Ли SO(3) . В тензорных разложениях конкретных представлений этой группы коэффициенты Клебша–Гордана встречаются ₃ F ₂ , которые можно записать в виде гипергеометрического ряда .

Двусторонние гипергеометрические ряды — это обобщение гипергеометрических функций, в которых сумма суммируется по всем целым числам, а не только по положительным.

Функции Фокса–Райта представляют собой обобщение обобщенных гипергеометрических функций, где символы Поххаммера в выражении ряда обобщаются до гамма-функций линейных выражений с индексом n .

См. также

• Аппелл серия
• серия Гумберт
• Функция Кампе де Ферье
• Гипергеометрическая серия Лауриселлы

Ссылки

• Аски, РА; Даалхейс, Адри Б. Олде (2010), «Обобщенная гипергеометрическая функция» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 71. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-78988-2 . МР   1688958 .
• Бейли, WN (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. Том. 32. Лондон: Издательство Кембриджского университета. Збл   0011.02303 .
• Диксон, AC (1902). «Суммирование определенного ряда» . Учеб. Лондонская математика. Соц . 35 (1): 284–291. дои : 10.1112/plms/s1-35.1.284 . ЖФМ   34.0490.02 .
• Дугалл, Дж. (1907). «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях» . Учеб. Эдинбургская математика. Соц . 25 : 114–132. дои : 10.1017/S0013091500033642 .
• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Том. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. МР   0066496 .
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 96 (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83357-8 . МР   2128719 . Збл   1129.33005 . (первое издание имеет ISBN   0-521-35049-2 )
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). «Общие рассуждения о бесконечной серии $1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}$ Геттинген Комментарии Королевского общества ученых Геттингена (на латыни). ( 2. перепечатку этой статьи можно найти у Карла Фридриха Гаусса, Werke , стр. 125).
• Гриншпан, А.З. (2013), «Обобщенные гипергеометрические функции: тождества произведений и неравенства с взвешенной нормой», The Ramanujan Journal , 31 (1–2): 53–66, doi : 10.1007/s11139-013-9487-x , S2CID   121054930

• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах . Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN  978-0-12-336170-7 . (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Лавуа, Дж.Л.; Грондин, Ф.; Рэти, АК; Арора, К. (1994). «Обобщения теоремы Диксона о сумме 3F2». Математика. Комп . 62 (205): 267–276. дои : 10.2307/2153407 . JSTOR   2153407 .
• Миллер, Арканзас; Париж, РБ (2011). «Преобразования типа Эйлера для обобщенной гипергеометрической функции _r+2 F _r+1 » . З. Энджью. Математика. Физ . 62 (1): 31–45. Бибкод : 2011ЗаМП...62...31М . дои : 10.1007/s00033-010-0085-0 . S2CID   30484300 .
• Куигли, Дж.; Уилсон, К.Дж.; Уоллс, Л.; Бедфорд, Т. (2013). «Линейный байесовский метод Байеса для оценки частоты коррелированных событий» (PDF) . Анализ рисков . 33 (12): 2209–2224. Бибкод : 2013РискА..33.2209Q . дои : 10.1111/risa.12035 . ПМИД   23551053 . S2CID   24476762 .
• Рэти, Арджун К.; Погани, Тибор К. (2008). «Новая формула суммирования для ₃ F ₂ (1/2) и преобразование Куммера II типа ₂ F ₂ ( x )» . Математические коммуникации . 13 : 63–66. МР   2422088 . Збл   1146.33002 .
• Ракха, Массачусетс; Рэти, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца» . Бык. Корейская математика. Соц . 48 (1): 151–156. дои : 10.4134/bkms.2011.48.1.151 .
• Заальшюц, Л. (1890). «Формула суммирования». Журнал математики и физики (на немецком языке). 35 : 186-188. ЖФМ   22.0262.03 .
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06483-5 . МР   0201688 . Збл   0135.28101 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN   978-0-521-09061-2 )
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, любовь моя: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг/Висбаден: Фридр. Вьюег и сын. ISBN  978-3-528-06925-4 . МР   1453580 .

Внешние ссылки

• Книга «А = Б» , эту книгу можно бесплатно скачать в Интернете.
• Математический мир
  • Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенная гипергеометрическая функция» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Выполненная гипергеометрическая функция первого рода» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Выполненная гипергеометрическая предельная функция» . Математический мир .