Полиномы Хана

В математике полиномы Хана — это семейство ортогональных полиномов в схеме Аски гипергеометрических ортогональных полиномов, введенное Пафнутием Чебышевым в 1875 году ( Чебышев 1907 ) и заново открытое Вольфгангом Ханом ( Хан 1949 ). Класс Хана — это название особых случаев полиномов Хана, включая полиномы Хана, полиномы Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье . Иногда класс Хана включает предельные случаи этих многочленов, и в этом случае он также включает классические ортогональные многочлены .

Полиномы Хана определяются в терминах обобщенных гипергеометрических функций следующим образом:

$Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\$

Рулоф Кукук, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартау ( 2010 , 14) приводят подробный список своей собственности.

Если $\alpha =\beta =0$, эти полиномы идентичны дискретным полиномам Чебышева, за исключением масштабного коэффициента.

Тесно связанные полиномы включают двойственные полиномы Хана R _n ( x ;γ,δ, N ), непрерывные полиномы Хана p _n ( x , a , b , a , b ) и непрерывные двойственные полиномы Хана S _n ( x ; a , б , в ). Все эти полиномы имеют q -аналоги с дополнительным параметром q , такие как q-полиномы Хана Q _n ( x ;α,β, N ; q ) и так далее.

Ортогональность

$\sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},$

$\sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}$

где δ _x,y — дельта-функция Кронекера, а весовые функции —

$\rho (x)=\rho (x;\alpha ;\beta ,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}$

и

$\pi _{n}=\pi _{n}(\alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}$.

Связь с другими полиномами

• Полиномы Рака являются обобщением полиномов Хана.

Ссылки

• Чебышев П. (1907), «Об интерполяции эквидистантных величин», Марков А.; Сонин Н. (ред.), Сочинения П. Л. Чебычева , вып. 2, с. 219–242, перепечатано Челси.
• Хан, Вольфганг (1949), «Об ортогональных полиномах, удовлетворяющих q-разностным уравнениям», Mathematical News , 2 : 4–34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN   0025-584X , MR   0030647
• Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8 , МР   2656096
• Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Класс Хана: Определения» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .